黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

哈三中2025—2026学年度上学期 高二学年期末考试数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 3. 若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 30 4. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ） A. 102种 B. 105种 C. 210种 D. 288种 6. 圆与圆相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的周长与该圆的直径具有相关关系 B. 当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好 D. 依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y是否有关联，经计算，可以推断两个变量有关联，犯错误的概率不超过0.05 10. 已知抛物线的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（ ） A. 焦点F与C的准线的距离为1 B. 的最小值为2 C. 存在直线l，使得 D. 若，则的最小值为 11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为1 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为25 D. 若，则的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 三条直线，，相交于一点，则__________． 13. 已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 14. 已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的离心率为，，分别为双曲线的左、右焦点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若斜率为1的直线l过点与双曲线C交于A，B两点，求的面积． 16. 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6折、7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． （1）在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率； （2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望． 17. 自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 核心产值规模 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 （1）若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）. （2）若用作为回归模型， ①求的值； ②已知该模型下的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模. 参考数据： 3 4.02 16.16 104.91 1.24 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）上表中； （2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数. 18. 已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的轨迹方程； （2）已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 19. 一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点． （1）求曲线C的方程； （2）在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有； （3）设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 哈三中2025—2026学年度上学期 高二学年期末考试数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 60 70 80 90 【17题答案】 【答案】（1） （2）①，，②预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为（亿元）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；② 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）是， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $