精品解析：江西九江市鹤湖学校2026-2027学年度 九年级上学期9月学情自测数学试题

绝密★启用前 九江市鹤湖学校9月份九年级数学同步练习 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号（准考证条形码）填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（　　） A. 邻边相等 B. 对角线互相平分 C. 四个角都是直角 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】首先弄清楚矩形、菱形、正方形各自的性质，然后从备选答案中一个一个的判断，属于这三个图形的公共特征的就是正确的． 【详解】解：选项A：邻边相等，是菱形、正方形的性质，但是矩形没有改性质，故A不符合题意； 选项B：对角线互相平分，是所有平行四边形的性质，而矩形、菱形、正方形都是特殊的正方形，故它们都具备对角线互相平分的性质，故B正确； 选项C：四个角都是直角，是矩形和正方形的性质，菱形不具备，故C不符合题意； 选项D：对角线相等，是矩形、正方形的性质，菱形不具有改性质，故D不符合题意． 故选B． 【点睛】此题考查正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，解题关键在于掌握各性质定义, 2. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解. 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个根x的范围是； 故选：B. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键. 3. 顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线性质可知：EH是△ADC的中位线，FG是△BAC的中位线，则EH∥AC，FG∥AC，得EH∥FG，同理另两边也平行，证得四边形EFGH是平行四边形，再证明∠FEH=90°，则中点四边形是矩形． 【详解】解：如图， 菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，则AC⊥BD， ∴EH∥AC，FG∥AC， ∴EH∥FG， 同理得EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同理得：四边形ENOM是平行四边形， ∴∠FEH=∠NOM=90°， ∴▱EFGH是矩形， ∴顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是矩形； 故选：A． 【点睛】本题考查了中点四边形和菱形的性质，运用三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；先证明中点四边形为平行四边形，再利用菱形对角线互相垂直的特性得出结论． 4. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3 【答案】A 【解析】 【分析】采用换元法，设，将方程变形为，然后解方程，再根据判断取值. 【详解】设，则原式可化为：，解得：， ∵， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查用换元法解方程，换元降次是关键，最后还要注意根据判断取值. 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点H，由矩形的性质和点C的坐标可得，，由折叠的性质得到，则，利用勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 6. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一、根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC，∠A=∠EBC=90°，再证，得出，进而得出即可；解法二、连接AC，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=AD，∠A=∠EBC=90°，再证，得出AE＝DF，利用等底等高三角形面积相似得出即可． 【详解】解法一、∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠A=∠EBC=90°， ∴∠ABF+∠AFB=90° ∵BF⊥CE， ∴∠ABF+∠BEC=90°， ∴∠AFB=∠BEC， 在△ABF和△BCE中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 解法二、连接AC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=AD，∠A=∠EBC=90°， ∴∠ABF+∠AFB=90°， ∵BF⊥CE， ∴∠ABF+∠BEC=90°， ∴∠AFB=∠BEC， 在△ABF和△BCE中， ， ∴， ∴AF=BE， ∴AE＝DF， ∴，即． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，等底等高三角形面积相等，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，等底等高三角形面积相等是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】逐个判断四个图形的对称性，筛选出同时满足既是轴对称图形又是中心对称图形的序号即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合要求； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 因此符合要求的序号为②③④． 8. 如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，那么m的值为______ 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可. 【详解】∵关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程， ∴ ，m-3≠0， 解得m=-3. 故答案为-3. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要特别注意二次项系数m-3≠0这一条件，当m-3=0时，上面的方程就是一元一次方程了． 9. 如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用矩形对角线相等的性质将转化为，由垂线段最短，用面积法求出点到的垂线段长度，即为最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 四边形是矩形， ， 当，即当与重合时，取得最小值， ，， ，， ， ， 可得， 解得， 故的最小值为． 10. 某制药厂在九月末进行统计发现：该月已生产万箱抗病毒药物，根据市场调研，计划接下来连续两个月加大投入提高生产量，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为，预计十一月份产量比九月份新增万箱．根据以上信息可以列出的正确的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】已知九月份产量为万箱，平均月增长率为，经过两次增长得到十一月产量，新增产量万箱即十一月产量比九月多万箱，按增长率规律列方程即可． 【详解】解：∵九月份生产量为万箱，平均每月增长百分率为， ∴十月份生产量为万箱， ∴十一月份生产量为万箱， ∵到十一月份新增生产万箱，即十一月份生产量比九月份增加万箱， ∴可得方程整理得． 11. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解图形． 根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，算出，，再根据勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下， ∵正方形的边长为4， ∴， 过点E作交的延长线于点H， 则， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，AD=13，AB=24，点E是边AB上的一个动点，将△CBE沿CE折叠，得到△CB′E连接AB′，DB′，若△ADB′为等腰三角形，则BE的长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】当的B′在矩形的内部时，分三种情形考虑：①DA=DB′．②AD=AB′．③B′A=B′D．当点B′落在矩形的外部时，有一种情形DA=DB′，分别求解即可． 【详解】如图，过点B′作MN⊥CD于M，交AB于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=13，CD=AB=24，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， 又∵MN⊥CD， ∴四边形ANMD是矩形，四边形BCMN是矩形， ∴AD=MN=13，AN=DM，MC=BN， 若AD=D B′=13， ∵将△CBE沿CE折叠，得到△CB′E连接AB′， ∴BC= B′C=13，BE= B′E， ∴B′C= B′D， 又∵MN⊥CD， ∴CM=DM=12， ∴B′M===5， ∴B′N=8， ∵B′E2=NE2＋B′N2， ∴BE2=64＋（12﹣BE）2， ∴BE=； ∵A B′的最小值=AC﹣CB′=﹣13＞13， AB′＞AD， 当B′A=B′D时， 点B′在线段AD的垂直平分线上， ∴B′M=B′N， ∴CB =CB′=2B′M， ∴∠B′CM=30°， ∴∠ECB=∠ECB′=30°， ∴BE=CB•tan30°=； 如图当点B′在直线CD的上方，AD=DB′时， 同法可知DM=CM=12，MB′=5， 在Rt△ENB′中，则有BE2=（BE﹣12）2＋182， 解得BE=， 综上所述，满足条件的BE的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 解方程：2x2﹣3x＝5． 【答案】x1＝，x2＝﹣1 【解析】 【分析】化等号右边为0，左边因式分解得（2x﹣5）（x+1）＝0，令两个一次因式等于0即可求出方程的解． 【详解】解：2x2﹣3x＝5． 移项，得：2x2﹣3x﹣5＝0， 因式分解，得：（2x﹣5）（x+1）＝0， 2x﹣5＝0或x+1＝0， 解得：x1＝，x2＝﹣1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟练掌握因式分解法的步骤是解决问题的关键． 14. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】略 15. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个实数根． ∴ ， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ， ∵， ∴． 16. 如图，在平行四边形中，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，为的中点，求作的中点； （2）在图2中，为的中点，延长交的延长线于点，求作的中点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接、相交于点，连接并延长交于点，则有，根据平行四边形的性质可知点为的中点； （2）连接、相交于点，根据平行四边形的性质可知点为的中点，连接，连接并延长，交于点，因为点是的中点，则是的中位线，则点是的中点，连接交于点，则点是的中点，所以是的中位线，连接并延长交于点，点即为的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示， 连接、相交于点，连接， 连接并延长，交于点， 连接交于点， 连接并延长交于点， 点即为的中点． 17. 阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，．当时，，所以，；当时，，所以，．故原方程的解为，，，． （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解方程． 【答案】（1）换元 （2）原方程的解为， 【解析】 【分析】（1）利用换元思想解方程； （2）设，则原方程化为，再解方程即可． 【小问1详解】 解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； 【小问2详解】 解：设，则原方程化为， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴方程无实数解，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∴，， 故原方程的解为，． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°， 由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°， ∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC， ∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF, ∴∠PDE=∠CDF， 在△PDE和△CDF中， , ∴（ASA）； （2）cm 【解析】 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点E作EG⊥BC交于点G， ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=EG=4cm， 又∵EF=5cm，∴cm, 设AE=xcm， ∴EP=xcm， 由知，EP=CF=xcm， ∴DE=GC=GF+FC=3+x， 在Rt△PED中，, 即， 解得，， ∴BC=BG+GC= (cm）． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键． 19. 某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． （1）若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ （2）如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ （3）如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【答案】（1）平均每天可销售180件 （2）单价应降低5元 （3）不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件． 【小问2详解】 解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元． 【小问3详解】 略 20. 【教材呈现】 在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直． 【结论运用】 （1）如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　； （2）如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：； （3）如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度． 【答案】（1）24 （2）见解析 （3）30 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可以求解； （2）先证四边形是平行四边形，可得，由线段垂直平分线的性质可得结论； （3）先证，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， 菱形的面积， 故答案为：24； 【小问2详解】 证明：如图，连接，交于， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形， ，，，， ，，垂直平分， 四边形是平行四边形，， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是菱形，四边形是菱形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分． 21. （1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形是正方形； （2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点B落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，如图2．线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由． 【答案】 解：（1）在矩形ABCD中， ∵， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质可知，， ∴矩形是正方形． （2）相等，理由如下， 如图，连接， 由（1）可知， 由折叠的性质可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先判断四边形是矩形，再由邻边相等即可证明； （2）连接，先证，再证即可求证； 【详解】略 【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【小问1详解】 解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 六、解答题：本大题共12分． 23. 【问题探究】四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）当点在边上时； ①如图1，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． ②如图2，过点作交直线于点，再过点作于点，求证：； 【思维拓展】 （2）当点在射线上运动时，若．过点作交直线于点，再过点作于点．则线段的长为_____________（直接写出答案）． 【答案】 （1）①猜想：， 理由如下：如图，在上截取． 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． ． ． ②证明：在上截取，连接． 则， 是直角三角形， 是等腰直角三角形， ，则， ， ， ． ； （2）4或12 【解析】 【分析】（1）①在上截取，先证，进而证明，可得．②在上截取，和均为等腰直角三角形，证明，可得； （2）分两种情况：当在上时，当在延长线上时，参照（1）②中的方法，添加辅助线构造全等三角形，等腰直角三角形，分别求解即可． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）线段的长为4或12． 解：当在线段上时，同（1）②，在上截取，连接，则是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴ 综上，线段的长为4或12． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线，注意分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 九江市鹤湖学校9月份九年级数学同步练习 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号（准考证条形码）填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（　　） A. 邻边相等 B. 对角线互相平分 C. 四个角都是直角 D. 对角线相等 2. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（） x 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 3. 顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 4. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在线段上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 8. 如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，那么m的值为______ 9. 如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为_______． 10. 某制药厂在九月末进行统计发现：该月已生产万箱抗病毒药物，根据市场调研，计划接下来连续两个月加大投入提高生产量，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为，预计十一月份产量比九月份新增万箱．根据以上信息可以列出的正确的方程为_______． 11. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为________． 12. 如图，在矩形ABCD中，AD=13，AB=24，点E是边AB上的一个动点，将△CBE沿CE折叠，得到△CB′E连接AB′，DB′，若△ADB′为等腰三角形，则BE的长为_____． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 解方程：2x2﹣3x＝5． 14. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 15. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 16. 如图，在平行四边形中，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，为的中点，求作的中点； （2）在图2中，为的中点，延长交的延长线于点，求作的中点． 17. 阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，．当时，，所以，；当时，，所以，．故原方程的解为，，，． （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解方程． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． （1）若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ （2）如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ （3）如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 20. 【教材呈现】 在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直． 【结论运用】 （1）如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　； （2）如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：； （3）如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分． 21. （1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形是正方形； （2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点B落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，如图2．线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由． 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 六、解答题：本大题共12分． 23. 【问题探究】四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）当点在边上时； ①如图1，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． ②如图2，过点作交直线于点，再过点作于点，求证：； 【思维拓展】 （2）当点在射线上运动时，若．过点作交直线于点，再过点作于点．则线段的长为_____________（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $