精品解析：江西省九江市浔阳区江西省九江第一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

江西省2026届九年级第三次阶段适应性评估 数  学 ▶上册全部◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. “斗”是中国古代量粮食的工具，如图，这是一种“斗”的示意图，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 5. 点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 随的增大而增大 6. 如图，在正方形中，为的中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 为等边三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为______． 8. 已知反比例函数的图像在第一、三象限，则k的取值范围是________. 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 10. 在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为_____． 11. 如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为，高度为，现测得的长为，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书______________本． 12. 如图，将一个含角的直角三角尺放在平面直角坐标系中，轴，轴，已知，，直角顶点的坐标为，若该直角三角尺的顶点在反比例函数的图象上，则的值可以是________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．若，求的长． 14. 如图，已知，，，，求的长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，求点的对应点的坐标． 16. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 17. 下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分． （2）如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，则该台灯的电阻R的取值范围为________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为8，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，求的面积． （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 20. 某水果店销售赣南脐橙，原售价为每千克7.5元，连续两次降价后现在的售价为每千克4.8元，若每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，现在每千克赣南脐橙可盈利1元，且每天可售出500千克，水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克脐橙每涨价0.5元，日销售量将减少50千克．现该水果店要保证每天盈利800元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小林家有一根20分米长的竹竿倾斜悬挂在树上，最低点离地面的高度为16分米，如图1，当太阳直射时（图中虚线为太阳光线），竹竿的影长为16分米． （1）竹竿最高点离地面的高度为______分米． （2）如图2，某一时刻在太阳光的照射下（图中虚线为太阳光线），竹竿在地面上投影为，此时测量影长正好为20分米，求证：． （3）如图3，晚上在路灯（路灯在点的正上方）的照射下（图中虚线为路灯光线），竹竿在地面上的投影为，若，请求出路灯距地面的高度． 22. 追本溯源 题（1）来自课本中的练习题，请你提炼方法、类比探究，完成题（2）． （1）如图1，相交于点O，且，成立吗？为什么？ （2）如图2，在菱形中，，为上一点，连接，交于点． ①若，则 ； ②过点作，点在线段上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，若，，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在反比例函数的图像上，顶点，分别在轴、轴上，边，分别与反比例函数的图像交于点和点，其中点的坐标为． （1）求，的值． （2）连接，求线段所在直线的函数解析式． （3）定义：我们把只有一条对称轴的四边形叫做孤独轴对称四边形，对称轴叫做该四边形的孤独对称轴．已知是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是孤独轴对称四边形，且线段与关于孤独对称轴对称，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026届九年级第三次阶段适应性评估 数  学 ▶上册全部◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如的函数称为反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，即是反比例函数，不符合题意； B．，即是反比例函数，不符合题意； C．是反比例函数，不符合题意； D．是正比例函数，符合题意. 故选：D． 2. “斗”是中国古代量粮食的工具，如图，这是一种“斗”的示意图，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形是解题的关键． 直接根据主视图的定义解答即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形是一个上底比下底大的等腰梯形，且在下底下面有一条横着的实线，即看到的图形如下： 故选：A． 3. 如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 4. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 5. 点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．由点在反比例函数图象上，可求出，再根据反比例函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数解析式为 对于A：∵， ，故A错误； 对于B：当和同号时，函数在各自象限内随增大而增大， 但若，则，此时，故B错误； 对于C：若，则， ，， ，故C正确； 对于D：当时，函数图象在每个象限内，随的增大而增大，故D错误． 故选：C． 6. 如图，在正方形中，为的中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 为等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】可得，然后对运用勾股定理求解，即可判断A；过点作于点，根据同角的余角相等等量代换得到， 结合正方形的性质可证得，可得，，再通过角的等量代换证明，可得，结合为中点，通过线段的等量代换得到，即垂直平分， 从而得证，故可判断C；分别证得，，可得，即为中点，再根据角的等量代换证得，可得，故可判断B；设，则，则，可得，故可判断D． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故A正确； 如图，过点作于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 即， ， 垂直平分， ， 故C正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，故B正确； 设，则， ， ， ∴， ， 不是等边三角形，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，正方形的性质，同角（等角）的余角相等，勾股定理解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高之比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故答案为：． 8. 已知反比例函数的图像在第一、三象限，则k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可得关于k的不等式，解不等式即得答案. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键. 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，对于一元二次方程的两根，则是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得和，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：14． 10. 在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4， 所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率= 故答案为 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 11. 如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为，高度为，现测得的长为，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书______________本． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，由勾股定理可求得的值，再证明，得到，可求出的值，进而可求出的值，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书4本， 故答案为：4． 12. 如图，将一个含角的直角三角尺放在平面直角坐标系中，轴，轴，已知，，直角顶点的坐标为，若该直角三角尺的顶点在反比例函数的图象上，则的值可以是________． 【答案】或6或2 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、含30度直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，易得，再分三种情况，分别求k的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∵该直角三角尺的顶点在反比例函数的图象上， ∴当反比例函数经过点时，； 当反比例函数经过点时，； 当反比例函数经过点时，． 故答案为：或6或2． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．若，求的长． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，矩形的性质，三角形中位线定理． （1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）由矩形的性质，得到，，由三角形的中位线定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：（1） ∴ ∴ ∴或， 解得： （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 14. 如图，已知，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，由平行线等分线段定理正确列式是解题的关键. 直接由平行线等分线段列比例式求解即可. 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：. 15. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，求点的对应点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点的坐标可得到位似比为，再根据位似比即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点的坐标为， 与的相似比为， 点的对应点的坐标为，即． 16. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、列表法求概率等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）先根据题意列表，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为． 17. 下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分． （2）如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，画位似图形． （1）根据网格的特点找到的中点，连接，即可求解； （2）根据题意找到上的靠近点的三等分点，连接即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，取格点，连接交于点，根据网格作 ∵ ∴ ∴ ∴， 同理可得，则 ∴ 又∵， ∴． ∴与位似，且相似比为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，则该台灯的电阻R的取值范围为________． 【答案】（1）I关于R的函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． （1）设I关于R的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）求出最大电流和最小电流对应的电阻的值，即可得解． 【小问1详解】 解：设I关于R的函数解析式为， 将代入函数解析式可得， 解得：， ∴I关于R的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，此时， 当时，，此时， ∴该台灯的电阻R的取值范围为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为8，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，求的面积． （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、三角形的面积、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数解析式； （2）根据一次函数的解析式求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据函数图像确定一次函数在反比例函数图像上方部分所对应的自变量的取值范围即可解答．． 【小问1详解】 解：设， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点， ，解得， ∴ ， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ， ， 的面积． 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为8，点， ∴由函数图像可得：当时，自变量x的取值范围为或． 20. 某水果店销售赣南脐橙，原售价为每千克7.5元，连续两次降价后现在的售价为每千克4.8元，若每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，现在每千克赣南脐橙可盈利1元，且每天可售出500千克，水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克脐橙每涨价0.5元，日销售量将减少50千克．现该水果店要保证每天盈利800元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率为20%； （2）每千克应涨价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出，解方程即可求解； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x，依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要尽快减少库存， ， 答：每千克应涨价元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小林家有一根20分米长的竹竿倾斜悬挂在树上，最低点离地面的高度为16分米，如图1，当太阳直射时（图中虚线为太阳光线），竹竿的影长为16分米． （1）竹竿最高点离地面的高度为______分米． （2）如图2，某一时刻在太阳光的照射下（图中虚线为太阳光线），竹竿在地面上投影为，此时测量影长正好为20分米，求证：． （3）如图3，晚上在路灯（路灯在点的正上方）的照射下（图中虚线为路灯光线），竹竿在地面上的投影为，若，请求出路灯距地面的高度． 【答案】（1）28 （2） 解：如图2：过A作交于J，则，是平行四边形， 由题意可得：分米， ∴分米， ∵分米， ∴分米， ∴， ∴． （3）分米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等边对等角、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）如图1：过A作，则是矩形，由题意可得：分米，分米，分米，，由勾股定理可得分米，再根据线段的和差求得的长即可解答； （2）如图2：过A作交于J，则，是平行四边形，由题意可得：分米， 进而得到分米，由等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图：过点A作于点S，由题意可得：分米，分米， 由（1）可得分米，进而得到分米，再证明，最后运用相似三角形的性质列比例式求得的长即可． 【小问1详解】 解：如图1：过A作，则是矩形，由题意可得：分米，分米，分米， ∵ ∴分米， ∴分米，即竹竿最高点离地面的高度为28分米． 故答案为：28． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，∵路灯P在点B正上方． ∴P、B、F三点在同一直线上，且， 即 如图：过点A作于点S，由题意可得：分米，分米， 由（1）可得分米， ∵， ∴分米， ∴分米， ∵， ∴， ∴，即，解得：分米． 答：路灯P距地面高度为分米． 22. 追本溯源 题（1）来自课本中的练习题，请你提炼方法、类比探究，完成题（2）． （1）如图1，相交于点O，且，成立吗？为什么？ （2）如图2，在菱形中，，为上一点，连接，交于点． ①若，则 ； ②过点作，点在线段上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，若，，求的值． 【答案】（1） 解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，旋转的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明可得，据此可证明结论； （2）①根据菱形的性质可得，则可证明，证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得答案；②可证明，推出；证明是等边三角形，进而证明是等边三角形， 得到，则，证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在反比例函数的图像上，顶点，分别在轴、轴上，边，分别与反比例函数的图像交于点和点，其中点的坐标为． （1）求，的值． （2）连接，求线段所在直线的函数解析式． （3）定义：我们把只有一条对称轴的四边形叫做孤独轴对称四边形，对称轴叫做该四边形的孤独对称轴．已知是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是孤独轴对称四边形，且线段与关于孤独对称轴对称，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设正方形的边长为t，则，可得，利用待定系数法求出，则可求出，即，进而利用待定系数法可得k的值； （2）根据（1）所求可得，再利用待定系数法求解即可； （3）过点O作于T，可证明，则与一定没有交点，故和是以O、G、D、E为顶点的四边形的对边，再分两种情况：以O、G、D、E为顶点的四边形是四边形和以O、G、D、E为顶点的四边形是四边形，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为t，则， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， ∴， ∵点E在上， ∴点E的纵坐标为5， ∴，即， ∵在反比例函数的图像上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知反比例函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ； 如图所示，过点O作于T， ∴， ∴； ∵线段与关于孤独对称轴对称， ∴， ∴， ∴与一定没有交点， ∴和是以O、G、D、E为顶点的四边形的对边， 如图所示，当以O、G、D、E为顶点的四边形是四边形时， 设与的交点为P，线段的中点为Q，直线交x轴于H， ∵线段与关于孤独对称轴对称， ∴该四边形的对称轴一定经过点P和点Q，即该四边形的对称轴为直线 ∵， ∴； 设，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设的中点坐标为，则，即， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图所示，当以O、G、D、E为顶点的四边形是四边形时， 设与的交点为P，线段的中点为Q，直线交y轴于H， ∵线段与关于孤独对称轴对称， ∴该四边形的对称轴一定经过点P和点Q，即该四边形的对称轴为直线， ∵， ∴； 设，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设的中点坐标为，则，即， ∵， ∴， 解得或 ∴， ∴； 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解一元二次方程，轴对称的性质，两点距离计算公式，正方形的性质，反比例函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $