2.3 等腰三角形的性质定理 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

2.3 等腰三角形的性质定理 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4，则AC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，以点P为圆心，以PC长为半径作弧交边BC于点D，连接PD，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，直线l分别与边AB，AC交于点D，E，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A．AB＝2BD B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 题型2 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式2】如图中每个小正三角形的面积都是1，则最大的正三角形的面积为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式3】用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A．39 B．27 C．24 D．25 过 关 验 收 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 3．如图，AD＝AB＝BC，那么∠1和∠2之间的关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠1﹣∠2＝180° 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点M在边AB上，点P在边AC上，且满足AP＝BM，过M作MN⊥BC于点N，过P作PQ⊥BC于点Q，则MN+PQ的值是（　　） A．3 B．4 C． D． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为　 　 ． 6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　 cm． 7．△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，点D在直线BC上，连接AD，若AC＝DC，则∠BAD的度数为　 　 ． 8．如图，∠MAN是一个钢架结构，已知∠MAN＝15°，在角内部构造钢条BC，CD，DE，…且满足AB＝BC＝CD＝DE＝…则这样的钢条最多可以构造　 　 根． 9．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝65°，则∠A＝　 　 °． 12．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AC＝AD，过点A作AE⊥CD于点E，过点C作CG⊥AD于点G，与AB交于点F． （1）若∠CAD＝50°，求∠BCF的度数； （2）当∠B＝45°时，判断△ACF的形状，并说明理由． 13．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　 　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 B （填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E． （1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 15．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，请判断△ACD与△ABC是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在△ABC中，若∠A＝42°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B的度数． 16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 17．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 18．如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点，且OD∥BC，交AB于点D，OF∥AB，交AC于点F，OE∥AC，交BC于点E，则OD+OE+OF的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 19．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　 °． 20．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　 （填番号） 21．如图，△ABC和△DPQ均为等边三角形，其中D，E分别为AB和AC的中点，点P在BC上．若AB＝6，BP＝5，则QE＝ 　 ． 22．如图，已知△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝90°，则∠1＝ 　 　 ． 23．已知两个等边三角形的面积比为3：2，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 ． 24．如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE＝ 　 　 ． 25．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝ ．（用含字母S和a的代数式表示） 26．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数． 27．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF． （1）若∠AED＝20°，求∠AFD的度数； （2）若AD＝3，求△BDE的周长． 28．如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　 　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 29．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 等腰三角形的性质定理 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4，则AC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：由等角对等边可得AC＝AB， 又∵AB＝4， ∴AC＝4． 故选：B． 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，以点P为圆心，以PC长为半径作弧交边BC于点D，连接PD，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E， ∴∠ACB＝∠E， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB（等边对等角）， ∴∠B＝∠E， ∴PB＝PE（等角对等边）， 根据作图步骤可知，PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴∠B+∠BPD＝∠E+∠EPC， ∴∠BPD＝∠EPC， 在△PDB和△PCE中， ， ∴△PDB≌△PCE（SAS）， ∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）， ∵PE∥AC， ∴，即， ∴， ∴， 则的值为， 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，直线l分别与边AB，AC交于点D，E，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【答案】D 【解答】解：∵AB＝BC， ∴， ∵∠2＝∠1+∠A， ∴∠2﹣∠1＝∠A＝45°， 故选：D． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　） A．AB＝2BD B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 【答案】A 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点 ∴∠B＝∠C，（故B正确） AD⊥BC，（故D正确） ∠BAD＝∠CAD（故C正确） 无法得到AB＝2BD，（故A不正确）． 故选：A． 题型2 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 【答案】D 【解答】解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°． 故选：D． 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°， 故选：B． 【变式2】如图中每个小正三角形的面积都是1，则最大的正三角形的面积为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【解答】解：如图，过A作AH⊥BC与H， 设BC＝2x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，BH＝x，AB＝2x， ∴AHx， ∴S△ABCBC•AHx2＝1， ∴x， ∴BC＝2，AH， ∴BE＝4BC＝8， ∵△DBE是等边三角形， ∴BE边上的高＝4AH＝4， ∴S△BDE8416． 故选：D． 【变式3】用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A．39 B．27 C．24 D．25 【答案】B 【解答】解：设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形． 113 x＝24 24+3＝27 故选：B． 过 关 验 收 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4， ∴它的“优美比”； 当等腰三角形的底边长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的腰长（20﹣8）＝6， ∴它的“优美比”； 综上所述：它的“优美比”为或， 故选：D． 3．如图，AD＝AB＝BC，那么∠1和∠2之间的关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠1﹣∠2＝180° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠1＝∠BCA（等边对等角）， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠2（等边对等角）， ∵∠1+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， ∴2∠1+∠2＝180°． 故选：B． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点M在边AB上，点P在边AC上，且满足AP＝BM，过M作MN⊥BC于点N，过P作PQ⊥BC于点Q，则MN+PQ的值是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解答】解：作AD⊥BC于点D，PE⊥AD于E， ∴PE∥CD， ∴∠APE＝∠C， ∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C，BD＝CD4， ∴∠B＝∠APE， ∵∠MNB＝∠AEP＝90°，AP＝BM， ∴△BMN≌△PAE（AAS）， ∴AE＝MN， ∵AD⊥BC，PQ⊥BC，PE⊥AD， ∴四边形PEDQ是矩形， ∴PQ＝ED， ∴MN+PQ＝AE+ED＝AD， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， ∴AD3， ∴MN+PQ＝3， 故选：A． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由题意可得：BD＝CD， ∵△ABC的周长为16， ∴AB+BDC△ABC＝8， ∵△ABD的周长为12， ∴AD＝12﹣8＝4． 故答案为：4． 6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　　 cm． 【答案】． 【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm， 由△ABC周长为16cm得： 2x+y＝16， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， 又BD是△ABD和△BCD的公共边， ∴|x﹣y|＝4， 分两种情况讨论： （1）当x＞y时，x﹣y＝4， 联立方程组， 两式相加得3x＝20，解得， 代入x﹣y＝4得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意． （2）当x＜y时，y﹣x＝4， 联立方程组， 解得， 此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去． 综上，底边BC的长为． 故答案为：． 7．△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，点D在直线BC上，连接AD，若AC＝DC，则∠BAD的度数为　40°或130°　 ． 【答案】40°或130°． 【解答】解：当点D在点C左侧时，如图： ∵AC＝DC， ∴∠CAD＝∠CDA（180°﹣∠ACB）（180°﹣40°）＝70°， 又∵∠ABC＝30°， ∴∠BAD＝∠CDA﹣∠ABC＝70°﹣30°＝40°； 当点D在点C右侧时，如图： ∵AC＝DC， ∴∠CAD＝∠CDA∠ACB＝20°， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝110°+20°＝130°． 故答案为：40°或130°； 8．如图，∠MAN是一个钢架结构，已知∠MAN＝15°，在角内部构造钢条BC，CD，DE，…且满足AB＝BC＝CD＝DE＝…则这样的钢条最多可以构造　5　 根． 【答案】5 【解答】解：∵BC＝AB， ∴∠BCA＝∠A＝15°， ∴∠DBC＝∠BCA+∠A＝30°． 同理，∠CDB＝∠DBC＝30°， ∴∠DCE＝∠CDB+∠A＝45°，∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴∠FDE＝∠DEC+∠A＝60°，∠DFE＝∠FDE＝60°， ∴∠FEM＝∠DFE+∠A＝90°． 再作与AB相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的线段是：BC、CD、DE、EF共有5条． 故答案为：5． 9．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　25°　 ． 【答案】25°． 【解答】解：∵CP＝OC＝OA， ∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO， ∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P， ∴∠CAO＝2∠P， ∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°， ∴∠P＝25°． 故答案为：25°． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【答案】1.8． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2AB•EMAC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝65°，则∠A＝　50　 °． 【答案】50． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝65°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°， 故答案为：50． 12．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AC＝AD，过点A作AE⊥CD于点E，过点C作CG⊥AD于点G，与AB交于点F． （1）若∠CAD＝50°，求∠BCF的度数； （2）当∠B＝45°时，判断△ACF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解答】解：（1）∵AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣50°）＝65°． ∵CG⊥AD， ∴∠BCF＝180°﹣65°﹣90°＝25°． （2）证明：∵∠B＝45°，AE⊥CD， ∴∠BAE＝45°． ∵∠BAC＝45°+∠EAC， ∠AFC＝45°+∠BCF， 又∵∠EAC＝∠DAE， ∠BCF＝∠DAE， ∴∠EAC＝∠BCF， ∴∠BAC＝∠AFC， ∴AC＝FC， ∴△ACF是等腰三角形． 13．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　是　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 B （填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 【答案】（1）见解答： （2）是，B； （3）70°或40°或100°或10°． 【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝36°． ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝72°， ∵∠B＝72°， ∴∠B＝∠BDC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴△ABC是“钻石三角形”． （2）解：是， 理由：如图，取AC的中点D连接BD， ∵∠ABC＝90°， ∴BD＝CD＝AD， ∴△BCD和△ABD是等腰三角形， ∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B． 故答案为：是，B； （3）解：如图a， 当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图b， 当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 如图c， 当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝10°， 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E． （1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∠ABE＝40°， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝40° ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE ＝70°﹣40° ＝30°； （2）∵△ABC的周长为41cm，BC的长为11cm， ∴AB+AC＝30， ∴AB＝AC＝15cm， ∵AE＝BE， ∴△BCE的周长＝BC+BE+CE ＝BC+AC ＝11+15 ＝26（cm）． 15．引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，请判断△ACD与△ABC是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在△ABC中，若∠A＝42°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B的度数． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）见解析； （3）54°或27°或32°或46°． 【解答】解：（1）△ACD与△ABC互为“等角三角形”，理由如下： ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”； （2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵在△ABC中，CD为角平分线， ∴， ∴∠ACD＝∠A， ∴AD＝CD， ∴△ACD是等腰三角形， 又∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B， ∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”， ∴CD是△ABC的“巧等线”； （3）①如图，当AD＝CD时，△ACD是等腰三角形， 则∠ACD＝∠A＝42°， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝84°≠∠A， ∵CD为△ABC的“巧等线”， ∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”， ∵∠B＝∠B，∠BDC≠∠A， ∴∠BDC＝∠ACB＝84°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝54°， ②如图，当AD＝AC时，△ACD是等腰三角形， 则， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝111°≠∠A， ∵CD为△ABC的“巧等线”， ∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”， ∵∠B＝∠B，∠BDC≠∠A， ∴∠BDC＝∠ACB＝111°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝27°， ③如图，当CD＝AC时，△ACD是等腰三角形， ∴∠ADC＝∠A＝42°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝96°，∠BDC＝180°﹣∠ADC＝138°≠∠A， ∵CD为△ABC的“巧等线”， ∴△BCD与△ABC互为“等角三角形”， ∵∠B＝∠B，∠BDC≠∠A， ∴∠BDC＝∠ACB＝138°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝0°，不符合题意，舍去， ④如图，当BD＝CD时，△BCD是等腰三角形， ∴∠BCD＝∠B， ∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝2∠B＞∠B， ∵CD为△ABC的“巧等线”， ∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”， ∵∠A＝∠A，∠ADC＞∠B， ∴∠ACB＝∠ADC＝2∠B， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝42°， ∴42°+∠B+2∠B＝180°， 解得∠B＝46°， ⑤如图，当BD＝BC时，△BCD是等腰三角形， ∴， ∴， ∵CD为△ABC的“巧等线”， ∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”， ∵∠A＝∠A，∠ADC＞∠B， ∴， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝42°， ∴， ∴， ∴， 解得∠B＝32°， ⑥如图，当BC＝CD时，△BCD是等腰三角形， ∴∠BDC＝∠B， ∴∠ADC＝∠BCD+∠B＞∠B，∠ADC＝180°﹣∠BDC＝180°﹣∠B， ∵CD为△ABC的“巧等线”， ∴△ACD与△ABC互为“等角三角形”， ∵∠A＝∠A，∠ADC＞∠B， ∴∠ACB＝∠ADC＝180°﹣∠B， ∴∠A+∠B+∠ACB＝42°+∠B+180°﹣∠B＝42°+180°＝222°＞180°，不符合题意，舍去， 综上，所有可能的∠B的度数为54°或27°或32°或46°． 16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 17．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝50°， 在等边△ABC中，∠A＝60°， ∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣60°﹣50°＝70°， 故选：C． 18．如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点，且OD∥BC，交AB于点D，OF∥AB，交AC于点F，OE∥AC，交BC于点E，则OD+OE+OF的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：延长OD交AC于点G， ∵OE∥CG，OG∥CE， ∴四边形OGCE是平行四边形，有OE＝CG，∠OGF＝∠C＝60°， ∵OF∥AB， ∴∠OFG＝∠A＝60°， ∴OF＝OG， ∴△OGF是等边三角形， ∴OF＝FG， ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠B＝60° ∴梯形OFAD是等腰梯形，有OD＝AF，即OD+OE+OF＝AF+FG+CG＝AC＝9． 故选：D． 19．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　85　 °． 【答案】85°． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝25°， ∴∠EAC＝∠BAC+∠1＝85°， ∵光线AE∥CF， ∴∠2＝∠EAC＝85°． 故答案为：85°． 20．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　①　 （填番号） 【答案】① 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，A，C，B三点不共线时①正确 A，C，B三点共线时①也成立，由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确 假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误； ∵∠DBC+∠CDB＝60°，∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确， ∴A，C，B不一定共线时①正确， ∴正确的有①， 故答案为：①． 21．如图，△ABC和△DPQ均为等边三角形，其中D，E分别为AB和AC的中点，点P在BC上．若AB＝6，BP＝5，则QE＝ 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：过点D作DF∥AC于点F，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，AB＝6， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴BDAB＝3， 又∵点E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝3，DE∥BC， ∴∠BDE＝180°﹣∠B＝120°，BD＝DE＝3 ∵DF∥AC， ∴∠DFB＝∠C＝60°， ∴∠DFB＝∠B＝60°， ∴△DBF是等边三角形， ∴BF＝BD＝DF＝3，∠BDF＝60°， ∴∠FDE＝∠BDE﹣∠BDF＝120°﹣60°＝60°，DF＝DE＝3， ∵△DPQ是等边三角形， ∴DP＝DQ，∠PDQ＝60°， ∴∠FDE＝∠PDQ＝60°， ∴∠FDE﹣∠PDE＝∠PDQ﹣∠PDE， 即∠FDP＝∠EDQ， 在△FDP和△EDQ中， ， ∴△FDP≌△EDQ（SAS）， ∴PF＝QE， ∵BP＝5，BF＝3， ∴PF＝BP﹣BF＝5﹣3＝2， ∴QE＝PF＝2． 故答案为：2． 22．如图，已知△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝90°，则∠1＝ 　75°　 ． 【答案】75°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠ACB＝60°，AB＝BC， ∵BC＝BD， ∴AB＝BD， ∴∠ADB＝∠DAB， ∵∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝60°+90°＝150°， ∴∠DAB（180°﹣150°）＝15°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝45°， ∴∠1＝ 180°﹣∠ACB﹣∠CAD＝75°． 故答案为：75°． 23．已知两个等边三角形的面积比为3：2，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵△ABC和△DEF均是等边三角形，AM平分∠BAC，DN平分∠EDF，如图所示： ∴AM⊥BC，DN⊥EF，设BM＝CM＝a，EN＝FN＝b， ∴AB＝BC＝2a，DE＝EF＝2b， 由勾股定理得：AM，DN， ∴， ∵S△ABCBC•AM，S△DEFEF•DN， 又∵这两个等边三角形的面积比为3：2， ∴， ∴， ∴， 即这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为． 24．如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE＝ 　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是等边△ABC的边AC上的中线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， ∵∠ACB＝∠DEC+∠CDE， ∴∠CDE＝30°． 故答案为：30°． 25．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝　　 ．（用含字母S和a的代数式表示） 【答案】． 【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°， 即∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a， ∵BG⊥AD，BH⊥CE， ∴∠AGB＝∠CHB＝90°， 在△ABG和△CBH中， ， ∴△ABG≌△CBH（AAS）， ∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH， ∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH， ∵∠ABC＝∠CBD＝60°， ∴∠CBG＝∠DBH， ∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°， ∴△BGH为等边三角形， ∴GH＝BH＝BG， ∴S△CBECE•BHa•GH， ∵AB＝3BE，△ABC的面积是S， ∴S△ABC＝3S△CBE， 即， ∴GH． 故答案为：． 26．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在等边三角形ABC中， ∴AB＝AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知）， ∴∠CAD∠BAC（等腰三角形三线合一）， ∵∠BAC＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠CAD＝30°（等量代换）， ∵AD＝AC（已知）， ∴∠ACD＝∠ADC（等边对等角）， ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠ACD＝75°（等式的性质）， ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠E＝45°（等式的性质）． 27．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF． （1）若∠AED＝20°，求∠AFD的度数； （2）若AD＝3，求△BDE的周长． 【答案】（1）40°； （2）7． 【解答】解：（1）∵AD＝DE，∠AED＝20°， ∴∠DAE＝∠AED＝20°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAE＝40°， ∵AD＝DF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠DAF＝40°； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠EBD＝∠DCF＝120°， ∴∠AED+∠EDB＝60°， ∵∠DAE＝∠AED， ∴∠DAE+∠EDB＝60°， ∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°， ∴∠EDB＝∠DAF， ∵∠DAF＝∠AFD， ∴∠EDB＝∠AFD， 在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CD， ∵等边三角形ABC的边长为4，AD＝3， ∴△BDE的周长为BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD＝4+3＝7． 28．如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　不变　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 【答案】不变，理由见解答过程． 【解答】解：∠ECF大小不发生变化，始终等于30°，理由如下： 设AE＝a，则BD＝2AE＝2a， 在CA上截取CN＝AE＝a，连接FN，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝60°， ∴AD＝AB﹣BD＝AB﹣2a，NE＝AC﹣（CN+AE）＝AB﹣2a， ∴AD＝NE， 在△ADE中，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，∠DEF＝60°， ∴∠AED+∠NEF＝180°﹣∠DEF＝120°， ∴∠ADE＝∠NEF， 在△ADE和△NEF中， ， ∴△ADE≌△NEF（SAS）， ∴∠A＝∠ENF＝60°，AE＝NF＝a， ∴CN＝NF＝a， ∴∠NFC＝∠ECF， ∵∠ENF是△NFC的外角， ∴∠ENF＝∠NFC+∠ECF， ∴2∠ECF＝60°， ∴∠ECF＝30°． 29．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1）PE+PF+PM＝BG，理由见解析； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由见解析． 【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF+PM＝BG； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF﹣PM＝BG． 学科网（北京）股份有限公司 $