第6讲 图形的轴对称 优等生讲义（知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第6讲线 图形的轴对称 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，能识别对称轴 · 掌握轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等 · 能画简单图形关于给定直线的轴对称图形 · 理解线段垂直平分线的性质，并能与轴对称综合应用 · 能利用轴对称解决最短路径、坐标对称等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.轴对称与轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴 把两个图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称 轴对称图形是一个图形自身对称，成轴对称是两个图形之间的对称关系 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的有（　　）①线段　②角　③三角形　④圆　⑤正方形 解析：线段、角、圆、正方形沿某条直线折叠后两旁部分都能重合；一般三角形不一定是轴对称图形，只有等腰（等边）三角形才是。 ☆ 2.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形 对应点连线被对称轴垂直平分 对应线段相等，对应角相等 对应线段或延长线相交，交点在对称轴上 概念辨析例题：若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于O，则下列说法错误的是（　　）A．BO＝B′O　B．MN垂直平分BB′　C．AB＝A′B′　D．AB＝BC 解析：成轴对称的两个图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分，所以A、B、C都正确。AB与BC是同一个三角形的两边，没有必然相等关系，D错误。 ☆ 3.画轴对称图形 画轴对称图形的步骤：①找原图形的关键点；②作关键点关于对称轴的对称点；③按原图形顺序连接对称点 作点A关于直线l的对称点：过A作l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA 在坐标系中：点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)，关于y轴对称点为(-x,y) 对称轴方向可以是水平、竖直或斜线 概念辨析例题：蝴蝶图案关于y轴对称，点M坐标为(a,-3)，则其对称点M1的坐标为（　　）A．(a,3)　B．(-a,-3)　C．(-a,3)　D．(a,-3) 解析：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数，所以M1(-a,-3)。 ☆ 4.轴对称与垂直平分线综合 线段垂直平分线是轴对称的特例：线段关于它的垂直平分线对称 利用轴对称求最短路径：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线交点即为所求 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的高（中线、角平分线）所在直线 坐标系中利用对称点坐标可以快速求对称图形顶点 概念辨析例题：在△ABC中，分别以B、D为圆心画弧交于M、N，直线MN交AB于E，若AB＝9，AC＝7，求△ADE的周长 解析：MN是BD的垂直平分线，所以EB＝ED。△ADE周长＝AD+DE+AE＝AD+EB+AE＝AD+AB＝AC+AB＝7+9＝16（D在BC上，AD用AC长度代）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 轴对称图形 一个图形沿直线折叠两旁重合 对称轴可能不止一条 成轴对称 两个图形沿直线折叠重合 是两个图形的关系 性质1 两图形全等 对应边角相等 性质2 对应点连线被对称轴垂直平分 对称轴是垂直平分线 画轴对称 找关键点→作对称点→连线 坐标系中(x,y)→(x,-y)或(-x,y) 最短路径 作对称点后连线 两点之间线段最短 ⚠️ 核心考点 【考点1】轴对称及其性质（第1-15题） · 识别轴对称图形找对称轴 · 利用对应点连线被垂直平分求线段 · 成轴对称的两图形全等 · 坐标系中用对称点坐标规律 1．（2026•长沙校级一模）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四幅代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•禄丰市模拟）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•南平期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADC＝90°，点E与点C关于直线AD对称，连接BE，当∠BAC＝45°时，∠BEC的大小为（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．45° 4．（2025秋•洛龙区期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC 的（　　） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 5．（2025春•杏花岭区校级月考）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________ 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形（A，B，C，D位于棋盘的格点上）． 6．（2025秋•密云区月考）如图，△ABD和△FEC关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有 _____ 对全等三角形． 7．（2025秋•北京期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为BC边上一动点（不与端点重合），点P关于直线AB、AC的对称点分别为P1、P2，连接P1P2．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）________ ． ①△ABC≌△PP2P1； ②AP1＝AP2； ③△P1PP2一定是直角三角形； ④P1P2长度的最小值是． 8．（2025春•天宁区校级期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠C＝40°，∠B＝80°，则∠D＝ ________ ． 9．（2025秋•赵县期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上两点，点A与点A′关于DE对称，DA′∥BC，∠A＝34°，∠CEA′＝54°，则∠BDA′＝_________ ． 10．（2026春•武侯区校级月考）如图，△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一点，连接BD，作BA关于BD的对称线段BE，连接CE并延长，交BD的延长线于点F，若∠ABC＝50°，则∠F的大小为________ ． 11．（2026春•丰泽区期末）如图，∠AOB＝50°，点Q是∠AOB内部一点，过点Q分别作关于OA，OB的对称点C，D，连结OC，OD，则∠COD＝________ °． 12．（2025秋•莱西市期末）如图，有一长acm，宽bcm的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． （1）按这两种方式得到的几何体是________ ； （2）当a＝8cm，b＝6cm时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大； （3）若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的n倍，则a与b之间的数量关系为_________ ． 13．（2025秋•北流市期末）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E，F，已知MN＝10cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN，若∠APB＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由． 14．（2025秋•同步）（1）有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取．规定取得最后一枚者获胜．你认为获胜的策略是什么？ （2）如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么？ 15．（2025春•西城区校级期中）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示． （1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）； （2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理： ∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（①_____________ 此处填推理的依据） ∵BM'∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM'∥CN'．（②____________________ 此处填推理的依据） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论． 【考点2】线段的垂直平分线（第16-32题） · 垂直平分线上点到两端等距 · 周长转化：折线段拉直 · 尺规作垂直平分线 · 与等腰三角形综合 16．（2025秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 17．（2025秋•顺城区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 18．（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 19．（2026春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是13cm，AE＝2cm，则△ABD的周长是（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 20．（2026•大连模拟）如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AD＝4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（　　） A．20 B．21 C．25 D．30 21．（2025秋•淮南期末）已知线段a，b，c．小明利用尺规作图画出线段AB，则线段AB＝（　　） A．2a+b﹣c B．3a﹣c C．3a+b﹣c D．2a﹣1.5c 22．（2025秋•娄星区期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为________ ． 23．（2026春•南山区校级期中）如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD＝5cm，BC＝7cm，那么四边形ABCD的周长为 _______ cm． 24．（2025秋•海曙区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ _______________ cm． 25．（2025秋•惠城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，∠BDC＝_______ °． 26．（2025春•新城区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝75°，∠ABD＝25°，则∠ACF＝________ ． 27．（2026春•铜山区期中）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD． （1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 28．（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝________ °，∠EAN＝_______ °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝_______ °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系____________________ ． 29．（2025秋•沛县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E． （1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 30．（2025秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，AB，AC的垂直平分线l1，l2交于点P．连接AP，交BC于点D． （1）求证：AP为BC的垂直平分线； （2）若BC＝6，AD＝2，则AP＝___________________ ． 31．（2023秋•道县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且AB＝CE． （1）求证：AD平分∠BAE． （2）若∠BAE＝50°，求∠C的度数． 32．（2025秋•万州区期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D，射线BD交AC的延长线于点N，连接CD． （1）若AB＝14，BC＝8，CN＝12，△BCN的面积为20，求△ABD的面积； （2）若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数． 【考点3】画轴对称图形（第33-46题） · 找关键点作对称点 · 坐标系中对称点坐标 · 最短路径问题作对称点 · 折叠问题找对应点 33．（2025秋•绥棱县期末）点（1，2）关于x轴对称点的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2） 34．（2025秋•莲湖区期末）点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5） 35．（2025秋•兴庆区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32025 D．0 36．（2026春•新华区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣8，1） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8） 37．（2026•双桥区校级模拟）如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是（﹣4，a），（﹣2，a），（﹣3，a），（2，a），要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是（　　） A．将A点向右平移7个单位 B．将A点向右平移5个单位 C．将D点向右平移1个单位 D．将D点向右平移2个单位 38．（2025秋•宝安区期末）已知M（a﹣1，3）和N（2，b+1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为_______ ． 39．（2025秋•夏津县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为____________ ． 40．（2025秋•周口期末）若点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值为_____ ． 41．（2026春•奉贤区期末）如果点A（﹣3，2）和点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ____________ ． 42．（2025秋•尖山区期末）在平面直角坐标系xOy中，有一动点A，先关于x轴对称到点A1，然后关于y轴对称到点A2，再关于x轴对称A3，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到A4，…，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知A（1，2），则点A2025的坐标是 _____________ ． 43．（2025秋•信都区月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，0），C（6，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△A′B′C′的面积是_____ ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为8，则点P的坐标是__________________ ． 44．（2026春•虹口区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，7）、B（﹣4，5）、C（﹣3，1）． （1）画出△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各个顶点的坐标：A1___________ ，B1__________ ，C1__________ ． 45．（2025秋•贵州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），AB＝5，点O与坐标原点重合，C是边OB上一点，连接AC，P是y轴上一动点． （1）若AC是△AOB的中线，求PB+PC的最小值； （2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点，求QO+QP的最小值． 46．（2025秋•南山区校级期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C均在小正方形的顶点上．且坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，4），C（﹣4，3）． （1）在网格中建立平面直角坐标系； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）点P为y轴上一点，且△A1OP的面积为2，则点P的坐标为． 💯 课后巩固 复习建议 · 轴对称图形是一个图形自身对称，成轴对称是两个图形之间的对称关系 · 成轴对称的两图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分 · 画轴对称图形：找关键点→作对称点→按顺序连线 · 坐标系中关于x轴、y轴对称的点坐标要记牢 · 最短路径问题作对称点把折线拉直，用两点之间线段最短 【作业 1】（2026春•江阴市期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AB∥A′B′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 【作业 2】（2025秋•连云港期末）蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（a，﹣3），则点M1的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣a） B．（﹣a，﹣3） C．（a，3） D．（﹣3，a） 【作业 3】（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 _______ ． 【作业 4】（2026春•余江区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB＝18，AC＝10，则△ADE的周长为_______ ． 【作业 5】（2022秋•义乌市校级月考）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 ____________________ ． 【作业 6】（2026•鼓楼区校级开学）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． （1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置． ①若∠BEA′＝70°，∠CDA′＝20°，求∠A的度数； ②若A′E平分∠BED，证明：∠CDA′＝2∠A﹣60°； （2）如图②，若点A′落在四边形BCDE的边CD下方时，若∠CDA′的度数与图①中的∠CDA′度数相同，均为x°，则相对于图①，∠BEA′的度数增大了_______ （用含x的式子表达）． 【作业 7】（2026秋•重庆校级同步）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为平面内一点． （1）如图1，若BD⊥CB，∠BAD＝30°，求tan∠BCD的值； （2）如图2，若AD＝AB，F为BC中点，将DF绕点F顺时针旋转90°得EF，G在CD上，∠EAG＝135°，求证：CDAE+2AG； （3）如图3，若AB＝6，∠ADB＝90°，Q为AD上一点，AQ＝BD，M为直线CQ上一动点，将△AQM沿AM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△ANM，连接CN．当CQ+3BQ取得最小值时，请直接写出△CQN面积的最大值． 【作业 8】（2023秋•金山区期末）如图，在△ABC中，，BC＝6，，DE垂直平分AC，分别交边BC、AC于点D、E，联结AD． （1）求∠C的度数； （2）求AD的长． 【作业 9】（2026春•宝安区校级同步）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书35页的“思考•交流”的内容． 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2． （1）若∠1＝60°，则∠3＝_______ °． （2）∠ADE的余角是____________ ． 【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）． 【数学推理】（3）如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知反射角与入射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】 （4）两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝____________ ．（用含有字母α的式子表示） （5）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图3所示的截面内，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝75°．若一入射光线OD（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝22°，请求出∠AOD的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲线 图形的轴对称 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，能识别对称轴 · 掌握轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等 · 能画简单图形关于给定直线的轴对称图形 · 理解线段垂直平分线的性质，并能与轴对称综合应用 · 能利用轴对称解决最短路径、坐标对称等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.轴对称与轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴 把两个图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称 轴对称图形是一个图形自身对称，成轴对称是两个图形之间的对称关系 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 概念辨析例题：下列图形中，是轴对称图形的有（　　）①线段　②角　③三角形　④圆　⑤正方形 解析：线段、角、圆、正方形沿某条直线折叠后两旁部分都能重合；一般三角形不一定是轴对称图形，只有等腰（等边）三角形才是。 ☆ 2.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形 对应点连线被对称轴垂直平分 对应线段相等，对应角相等 对应线段或延长线相交，交点在对称轴上 概念辨析例题：若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于O，则下列说法错误的是（　　）A．BO＝B′O　B．MN垂直平分BB′　C．AB＝A′B′　D．AB＝BC 解析：成轴对称的两个图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分，所以A、B、C都正确。AB与BC是同一个三角形的两边，没有必然相等关系，D错误。 ☆ 3.画轴对称图形 画轴对称图形的步骤：①找原图形的关键点；②作关键点关于对称轴的对称点；③按原图形顺序连接对称点 作点A关于直线l的对称点：过A作l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA 在坐标系中：点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)，关于y轴对称点为(-x,y) 对称轴方向可以是水平、竖直或斜线 概念辨析例题：蝴蝶图案关于y轴对称，点M坐标为(a,-3)，则其对称点M1的坐标为（　　）A．(a,3)　B．(-a,-3)　C．(-a,3)　D．(a,-3) 解析：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数，所以M1(-a,-3)。 ☆ 4.轴对称与垂直平分线综合 线段垂直平分线是轴对称的特例：线段关于它的垂直平分线对称 利用轴对称求最短路径：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线交点即为所求 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的高（中线、角平分线）所在直线 坐标系中利用对称点坐标可以快速求对称图形顶点 概念辨析例题：在△ABC中，分别以B、D为圆心画弧交于M、N，直线MN交AB于E，若AB＝9，AC＝7，求△ADE的周长 解析：MN是BD的垂直平分线，所以EB＝ED。△ADE周长＝AD+DE+AE＝AD+EB+AE＝AD+AB＝AC+AB＝7+9＝16（D在BC上，AD用AC长度代）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 轴对称图形 一个图形沿直线折叠两旁重合 对称轴可能不止一条 成轴对称 两个图形沿直线折叠重合 是两个图形的关系 性质1 两图形全等 对应边角相等 性质2 对应点连线被对称轴垂直平分 对称轴是垂直平分线 画轴对称 找关键点→作对称点→连线 坐标系中(x,y)→(x,-y)或(-x,y) 最短路径 作对称点后连线 两点之间线段最短 ⚠️ 核心考点 【考点1】轴对称及其性质（第1-15题） · 识别轴对称图形找对称轴 · 利用对应点连线被垂直平分求线段 · 成轴对称的两图形全等 · 坐标系中用对称点坐标规律 1．（2026•长沙校级一模）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四幅代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（2026•禄丰市模拟）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意； C、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键． 3．（2025秋•南平期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADC＝90°，点E与点C关于直线AD对称，连接BE，当∠BAC＝45°时，∠BEC的大小为（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．45° 【分析】设AD交BE于点F，AC交BE于点O，连接FC、AE，如图所示，由对称性质、垂直平分线的判定与性质得到AE＝AC，FE＝FC，进而判定△AFE≌△AFC（SSS），再由全等性质得到∠AEF＝∠ACF，然后由AE＝AB即可得到∠AEF＝∠ACF＝∠ABE，进而在8字形△COF和△ABO中，由三角形内角和定理得到∠CFO＝∠BAC＝45°，然后由等边对等角确定∠FEC＝∠FCE，最后根据∠CFO是△FCE的一个外角，列方程∠CFO＝45°＝∠FEC+∠FCE＝2∠BEC求解即可得到答案． 【解答】解：设AD交BE于点F，AC交BE于点O，连接FC、AE，如图所示： ∵∠ADC＝90°，点E与点C关于直线AD对称， 即AD是线段CE的垂直平分线， ∴FE＝FC，AE＝AC， 在△AFE和△AFC中， ， ∴△AFE≌△AFC（SSS）， ∴∠AEF＝∠ACF， 在△ABC中，AB＝AC，则AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE， 则∠AEF＝∠ACF＝∠ABE， 在△COF和△ABO中，∠ACF＝∠ABE，对顶角∠COF＝∠AOB，则∠CFO＝∠BAC＝45°， ∵FE＝FC， ∴∠FEC＝∠FCE， ∵∠CFO是△FCE的一个外角， ∴∠CFO＝45°＝∠FEC+∠FCE＝2∠BEC， 解得， ∴当∠BAC＝45°时，∠BEC的大小为22.5°． 故选：A． 【点评】本题考查三角形中求角度，涉及对称性质、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、外角性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准相关角度之间的关系是解决问题的关键． 4．（2025秋•洛龙区期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC 的（　　） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【解答】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD＝∠B′AD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知，∠ADB＝∠ADB′， 因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 所以AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知，BD＝CD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键． 5．（2025春•杏花岭区校级月考）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点A或C 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形（A，B，C，D位于棋盘的格点上）． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：白方如果落子于点A或C的位置，则所得的对弈图是轴对称图形， 故答案为：A或C． 【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 6．（2025秋•密云区月考）如图，△ABD和△FEC关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有 　2　 对全等三角形． 【分析】设直线l交CD于点G，AD，CF交于点H，根据题对称的性质结合三角形判定定理判定即可得出结论． 【解答】解：如图，设直线l交CD于点G，AD，CF交于点H， ∵对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C， ∴△ABD≌△FEC（轴对称的性质）， ∵点B、C、D、E在同一条直线上， ∴CG＝DG，HC＝HD， ∵HG＝HG， ∴△CHG≌△NHG， ∴图中有2对全等三角形． 故答案为：2． 【点评】本题考查轴对称的性质，三角形全等的判定，掌握轴对称的性质是关键． 7．（2025秋•北京期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为BC边上一动点（不与端点重合），点P关于直线AB、AC的对称点分别为P1、P2，连接P1P2．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）　②③④　 ． ①△ABC≌△PP2P1； ②AP1＝AP2； ③△P1PP2一定是直角三角形； ④P1P2长度的最小值是． 【分析】连接AP，由轴对称的性质可得AP1＝AP，AP2＝AP，∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP，则可判断②；可证明∠PAP1+∠PAP2＝180°，得到P1，A、P2三点共线，则可证明∠P1PP2＝90°，可判断③；根据P1P2＝2AP，且垂线段最短，得到当AP⊥BC时，AP有最小值，即此时P1P2有最小值，由等面积法可得，据此可判断④；当AP⊥BC时，，据此可判断①． 【解答】解：如图所示，连接AP， 由轴对称的性质可得AP1＝AP，AP2＝AP，∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP，则AP1＝AP2，故②正确； ∴∠AP1P＝∠APP1，∠AP2P＝∠APP2； ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠CAP＝90°， ∴∠BAP1+∠BAP+∠CAP2+∠CAP＝180°，即∠PAP1+∠PAP2＝180°， ∴P1，A、P2三点共线， ∴P1P2＝AP1+AP2＝2AP，∠AP1P+∠APP1+∠AP2P+∠APP2＝180°， ∴∠APP1+∠APP2＝90°， ∴∠P1PP2＝90°， ∴△P1PP2一定是直角三角形，故③正确； ∵P1P2＝2AP，且垂线段最短， ∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即此时P1P2有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴P1P2的最小值为，故④正确； ∵当AP⊥BC时，， ∴此时△ABC与△PP2P1不全等，故①错误； 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．（2025春•天宁区校级期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠C＝40°，∠B＝80°，则∠D＝ 　60°　 ． 【分析】根据轴对称的性质得到△ABC≌△DEF，即可得到∠D＝∠A＝180°﹣∠B﹣∠C，由此求出答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A， ∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， ∴∠D＝60°． 故答案为：60°． 【点评】此题考查了轴对称图形的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 9．（2025秋•赵县期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上两点，点A与点A′关于DE对称，DA′∥BC，∠A＝34°，∠CEA′＝54°，则∠BDA′＝　122°　 ． 【分析】根据轴对称的性质得出∠A′的度数，再利用外角定理即可解决问题． 【解答】解：∵点A与点A′关于DE对称，∠A＝34°， ∴∠A′＝∠A＝34°（对称的性质）． 令AC与DA′的交点为F， 则∠AFD＝∠CEA′+∠A′， ∵∠CEA′＝54°， ∴∠AFD＝54°+34°＝88°， ∴∠BDA′＝∠A+∠AFD＝34°+88°＝122°． 则∠BDA′的度数为122°． 故答案为：122°． 【点评】本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质及三角形的外角定理是解题的关键． 10．（2026春•武侯区校级月考）如图，△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一点，连接BD，作BA关于BD的对称线段BE，连接CE并延长，交BD的延长线于点F，若∠ABC＝50°，则∠F的大小为　65°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据轴对称的性质得出AB＝BE，∠ABF＝∠EBF，设∠ABF＝∠EBF＝x，求出，求出∠DCF＝∠BCE﹣∠ACB＝x，根据∠ADB+∠A+∠ABD＝∠CDF+∠DCF+∠F，∠ADB＝∠CDF，得出∠F＝∠A＝65°． 【解答】解：∵∠ABC＝50°，BA＝BC， ∴， ∵作BA关于BD的对称线段BE，连接CE并延长，交BD的延长线于点F， ∴AB＝BE，∠ABF＝∠EBF， ∴BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE， 设∠ABF＝∠EBF＝x， ∴∠CBE＝50°﹣2x， ∴， ∴∠DCF＝∠BCE﹣∠ACB＝x， ∴∠DCF＝∠ABD， ∵∠ADB+∠A+∠ABD＝∠CDF+∠DCF+∠F，∠ADB＝∠CDF， ∴∠F＝∠A＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 11．（2026春•丰泽区期末）如图，∠AOB＝50°，点Q是∠AOB内部一点，过点Q分别作关于OA，OB的对称点C，D，连结OC，OD，则∠COD＝　100　 °． 【分析】因为点C，D分别是点Q关于OA、OB的对称点，所以∠COD＝2∠AOB＝100°． 【解答】解：如图所示，连接OQ， ∵∠AOB＝50°， ∴∠AOQ+∠BOQ＝∠AOB＝50°， ∵点C，D分别是点Q关于OA、OB的对称点， ∴∠BOD＝∠BOQ，∠AOC＝∠AOQ， ∴∠COD＝∠AOC+∠AOQ+∠BOQ+∠BOD＝2∠AOQ+2∠BOQ＝2∠AOB＝100°． 故答案为：100． 【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025秋•莱西市期末）如图，有一长acm，宽bcm的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． （1）按这两种方式得到的几何体是　圆柱体　 ； （2）当a＝8cm，b＝6cm时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大； （3）若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的n倍，则a与b之间的数量关系为a＝nb ． 【分析】（1）矩形旋转可得圆柱； （2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案； （3）根据题意列式，化简即可． 【解答】解：（1）面动成体，矩形旋转一周得到圆柱体， 故答案为：圆柱体； （2）方式①， 理由：方式①：， 方式②：， ∵96π＞72π， 方式①构造的圆柱的体积大； （3）按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的n倍， 即， ， a＝nb， 则a与b之间的数量关系为a＝nb． 故答案为：a＝nb． 【点评】本题考查点，线，面，体，轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 13．（2025秋•北流市期末）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E，F，已知MN＝10cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN，若∠APB＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据轴对称的性质可得EM＝EO，FN＝FO，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得∠APM＝∠APO，∠BPN＝∠BPO，再结合角的和差运算可得∠MPN＝2∠APB＝60°，进而可结论． 【解答】解：（1）∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，MN＝10cm， ∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON， ∴EM＝EO，FN＝FO， ∴EO+EF+FO＝EM+EF+FN＝MN＝10cm， ∴△OEF的周长为10cm， （2）等边三角形，理由如下： 连接OP，PM，PN， ∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，∠APB＝30°， ∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON， ∴PM＝PO，PN＝PO， ∴∠APM＝∠APO，∠BPN＝∠BPO， ∴∠MPN＝∠APM+∠APO+∠BPN+∠BPO， ∴∠MPN＝2（∠APO+∠BPO）＝2∠APB＝60°， 又∵PM＝PO，PN＝PO， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等边三角形． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解题的关键． 14．（2025秋•同步）（1）有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取．规定取得最后一枚者获胜．你认为获胜的策略是什么？ （2）如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么？ 【分析】（1）这是对称型取棋子问题，核心思路是保持两堆棋子数量始终对称． （2）这是非对称型取棋子问题，核心思路是先将两堆棋子变成数量相等的对称状态． 【解答】解：（1）这是对称型取棋子问题，核心思路是保持两堆棋子数量始终对称． 让对方先取棋子．对方在其中一堆取走若干枚棋子后，你就在另一堆取走相同数量的棋子，这样就能始终保持两堆棋子的数量相等．随着取棋子的进行，最后必然会让对方面临无棋可取的情况，或者你能取到最后一枚棋子，从而获胜． （2）这是非对称型取棋子问题，核心思路是先将两堆棋子变成数量相等的对称状态． 你先取棋子．观察两堆棋子的数量差，在数量多的那一堆里取走一定数量的棋子，使得两堆棋子的数量变得相等．之后就按照“两堆数量相等时的获胜策略”来操作，即对方在某一堆取多少，你就在另一堆取多少，保持两堆数量对称，最终获胜． 【点评】本题考查生活中的对称现象，解题的关键是掌握相关知识． 15．（2025春•西城区校级期中）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示． （1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）； （2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理： ∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（①　两点确定一条直线　 此处填推理的依据） ∵BM'∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM'∥CN'．（②　平行于同一条直线的两条直线互相平行　 此处填推理的依据） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论． 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质解答即可； （2）分别根据“两点确定一条直线”以及平行公理解答即可； （3）连接BC，再根据三角形的内角和定理，折叠的性质以及平行线的判定解答即可． 【解答】解：（1）因为KL∥MN， 所以∠KAP＝∠APN＝α， 由折叠的性质可知， 所以； （2）∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（两点确定一条直线）； ∵BM'∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM'∥CN'．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行． （3）由∠KAB＝∠BAP和∠LAC＝∠CAP得∠BAC＝90°， 连接BC，则在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°． 所以∠ACN+∠ABM＝270°． 由题意，∠ACN＝∠ACN'，∠ABM＝∠ABM'， 所以∠ACN'+∠ABM'＝270°， 所以∠BCN'+∠CBM'＝270°﹣90°＝180°， 所以BM'∥CN'． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，折叠的性质，轴对称的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【考点2】线段的垂直平分线（第16-32题） · 垂直平分线上点到两端等距 · 周长转化：折线段拉直 · 尺规作垂直平分线 · 与等腰三角形综合 16．（2025秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【分析】连接DC，则DC＝BD，AD+BD＝AD+DC≥AC，若要△ABD的周长最小，则A，D，C三点共线，即D为AC与MN的交点，△ABD的周长为AB+AC，问题可解． 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 17．（2025秋•顺城区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【分析】先利用题中作法得出AD＝AC和MN垂直平分BD，再利用线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，最后利用线段的和差即可解决． 【解答】解：由作图可知AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E． ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16， 故选：D． 【点评】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键． 18．（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，据此即可求解． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝9+2＝11， ∴△AEG的周长为11； 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 19．（2026春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是13cm，AE＝2cm，则△ABD的周长是（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【分析】先根据垂直平分线的性质得出AE＝CE，AD＝CD，再根据△ABC的周长是13cm，AE＝2cm即可求解． 【解答】解：∵BC是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，AD＝CD， ∵AE＝2cm， ∴AC＝2AE＝4cm， ∵△ABC的周长是13cm， ∴AB+BC＝13﹣4＝9（cm）， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝9cm． 则△ABD的周长为9cm． 故选：A． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 20．（2026•大连模拟）如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AD＝4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（　　） A．20 B．21 C．25 D．30 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，AB＝2AD＝8，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，AB＝2AD＝8， ∵△AEC的周长为17， ∴AC+CE+EA＝17， ∴AC+CE+EB＝17，即AC+BC＝17， ∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17+8＝25， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 21．（2025秋•淮南期末）已知线段a，b，c．小明利用尺规作图画出线段AB，则线段AB＝（　　） A．2a+b﹣c B．3a﹣c C．3a+b﹣c D．2a﹣1.5c 【分析】根据作图可得AB＝3a+b﹣c，即可求解． 【解答】解：由题意得：AB＝3a+b﹣c． 故选：C． 【点评】本题主要考查了尺规作图—作一条线段等于已知线段． 22．（2025秋•娄星区期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为　20°　 ． 【分析】由题意可得AC＝BC，推出∠CAB＝∠B，再根据三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：∵点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ∴AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B（等边对等角）， ∵∠DCA＝40°，∠DCA＝∠CAB+∠B， ∴∠B∠DCA40°＝20°， 则∠B的大小为20°， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． 23．（2026春•南山区校级期中）如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD＝5cm，BC＝7cm，那么四边形ABCD的周长为 　17　 cm． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，DE＝DC，然后利用等线段代换得到四边形ABCD的周长＝AB+AD+CD+BC＝2AD+BC． 【解答】解：∵点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上， ∴AB＝AE，DE＝DC， ∴四边形ABCD的周长＝AB+AD+CD+BC＝AB+AE+DE+DC+BC＝2（AE+DE）+BC＝2AD+BC＝2×5+7＝17（cm）． 故答案为：17． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 24．（2025秋•海曙区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　　 cm． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝45°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝3cm，EA＝EC，求出∠DAE＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝45°， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴DA＝DB＝3cm，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°， 由勾股定理得，AEcm， ∴ECcm， 故答案为：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 25．（2025秋•惠城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，∠BDC＝　80　 °． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DBA＝∠A＝40°，再根据三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝40°， ∵∠BDC是△ABD的外角， ∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝80°， 故答案为：80． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 26．（2025春•新城区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝75°，∠ABD＝25°，则∠ACF＝　30°　 ． 【分析】根据BD平分∠ABC，得出∠CBD＝∠ABD＝25°，根据三角形内角和定理得出∠ACB，根据垂直平分线的性质得出BF＝CF，则∠FCB＝∠DBC＝25°，根据∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB，即可求解． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝24°， ∵∠A＝75°， ∴∠ACB＝180°﹣75°﹣25°×2＝55°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF＝CF， ∴∠FCB＝∠DBC＝25°， ∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝55°﹣25°＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，垂直平分线的性质，等边对等角；熟练掌握各知识点是解题的关键． 27．（2026春•铜山区期中）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD． （1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得DC＝DB，，即可得BC＝8，进而由△BDC的周长为18得到2DB+10＝18，据此即可求解； （2）由对顶角性质可得∠CDE＝60°，即可得∠DBC＝∠C＝30°，进而得∠ABC＝50°，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝DB，， ∵EC＝4， ∴BC＝8， 又∵△BDC的周长为18， ∴DB+DC+BC＝18， ∴2DB+8＝18， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDE＝60°， ∵MN垂直平分BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠C＝30°， ∵DC＝DB， ∴∠DBC＝∠C＝30°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝20°+30°＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 28．（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝　112　 °，∠EAN＝　44　 °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝　24　 °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系　∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）　 ． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C，由三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出∠EAN的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAN＝180°﹣2∠BAC，即可求出∠EAN的度数； （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝32°+36°＝68°． ∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣68°＝112°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：112；44； （2）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC． ∴∠EAN＝∠EAB+∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2×78°＝24°， 故答案为：24； （3）∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C），理由如下： 由（1）知当90°＜∠BAC＜180°时， ∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN） ＝180°﹣（∠B+∠C）﹣（∠B+∠C） ＝180°﹣2（∠B+∠C）． 由（2）知0°＜∠BAC＜90°时， ∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°， 综上，∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 故答案为：∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． 29．（2025秋•沛县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E． （1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 【分析】（1）根据DE是AB的垂直平分线，∠ABE＝50°得AE＝BE，则∠ABE＝∠A＝40°，根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，根据三角形内角和定理得∠ABC＝70°，则∠ABC＝∠C＝70°，即可得； （2）根据△ABC的周长为41cm，BC的长为11cm得AB+AC＝30，AB＝AC＝15cm，根据AE＝BE即可得． 【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∠ABE＝40°， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝40° ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE ＝70°﹣40° ＝30°； （2）∵△ABC的周长为41cm，BC的长为11cm， ∴AB+AC＝30， ∴AB＝AC＝15cm， ∵AE＝BE， ∴△BCE的周长＝BC+BE+CE ＝BC+AC ＝11+15 ＝26（cm）． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线 30．（2025秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，AB，AC的垂直平分线l1，l2交于点P．连接AP，交BC于点D． （1）求证：AP为BC的垂直平分线； （2）若BC＝6，AD＝2，则AP＝　　 ． 【分析】（1）连接PB，PC，由线段垂直平分线的性质推出PB＝PA，PC＝PA，得到PB＝PC，而AB＝AC，因此A、P都在BC的垂直平分线上，判定AP为BC的垂直平分线； （2）由线段垂直平分线的性质得到BDBC＝3，设AP＝x，由勾股定理得到x2＝（x﹣2）2+32，求出x，得到AP． 【解答】（1）证明：连接PB，PC， ∵AB，AC的垂直平分线l1，l2交于点P， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PB＝PC， ∵AB＝AC， ∴A、P都在BC的垂直平分线上， ∴AP为BC的垂直平分线； （2）解：∵AP垂直平分BC， ∴BDBC6＝3， 设AP＝x，则PB＝x， ∴PD＝PA＝AD＝x﹣2， ∵BP2＝PD2+BD2， ∴x2＝（x﹣2）2+32， ∴x， ∴AP． 故答案为：． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，由勾股定理列出关于x的方程． 31．（2023秋•道县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且AB＝CE． （1）求证：AD平分∠BAE． （2）若∠BAE＝50°，求∠C的度数． 【分析】（1）根据EF垂直平分AC，得出AE＝CE，又因为AB＝CE，则AE＝AB，因为AD⊥BC于点D，得出结论 （2）根据AB＝AE，∠BAE＝50°，求出∠AEB，又因为AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，推出∠AEB＝∠EAC+∠C＝∠C+∠C＝2∠C，进而求出∠C． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝CE， 又AB＝CE， ∴AE＝AB， ∵AD⊥BC于点D， ∴AD平分∠BAE； （2）解：∵AB＝AE，∠BAE＝50°， ∴， 又∵AE＝CE， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝∠C+∠C＝2∠C， ∴． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 32．（2025秋•万州区期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D，射线BD交AC的延长线于点N，连接CD． （1）若AB＝14，BC＝8，CN＝12，△BCN的面积为20，求△ABD的面积； （2）若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的性质进行计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）过点D分别作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G， ∵BD和AD分别平分∠CBM和∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC， ∴DE＝DF＝DG． ∵△BCN的面积为20， ∴， ∴DF＝DG＝2， ∴DE＝DF＝2， ∴； （2）∵BC是AN的垂直平分线， ∴AB＝NB， ∴∠ABC＝∠NBC． ∵BN平分∠CBM， ∴∠NBC＝∠MBN， ∴∠NBC＝∠MBN＝∠ABC＝60°． ∵DF＝DG且DF⊥BC，DG⊥CN， ∴CD平分∠BCN， ∴∠DCN∠BCN． ∵∠DAC∠BAC， ∴∠ADC＝∠DCN﹣∠DAC（∠BCN﹣∠BAC）． ∵∠BCN﹣∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠ADC． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 【考点3】画轴对称图形（第33-46题） · 找关键点作对称点 · 坐标系中对称点坐标 · 最短路径问题作对称点 · 折叠问题找对应点 33．（2025秋•绥棱县期末）点（1，2）关于x轴对称点的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2） 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【解答】解：点（1，2）关于x轴对称点的坐标是（1，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特性是解答本题的关键． 34．（2025秋•莲湖区期末）点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5） 【分析】根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”，进而问题可求解． 【解答】解：根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（﹣3，﹣5）， 故选：A． 【点评】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键． 35．（2025秋•兴庆区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32025 D．0 【分析】利用轴对称的性质，求出m，n的值，可得结论． 【解答】解：由题意可得：m＝﹣2，n＝1， ∴（m+n）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查坐标与图形变化—对称，代数式求值，解题的关键是掌握轴对称变换的性质， 36．（2026春•新华区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣8，1） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8） 【分析】横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（1，8）， 故选：B． 【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 37．（2026•双桥区校级模拟）如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是（﹣4，a），（﹣2，a），（﹣3，a），（2，a），要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是（　　） A．将A点向右平移7个单位 B．将A点向右平移5个单位 C．将D点向右平移1个单位 D．将D点向右平移2个单位 【分析】由图可知点C、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、B两盏灯笼，然后问题可求解． 【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是a， ∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴， ∵B（﹣2，a），D（2，a）， ∴B，D关于y轴对称，只需要A，C关于y轴对称即可， ∵A（﹣4，a），B（﹣3，a）， ∴可以将点A（﹣4，a）向右平移到（3，a），平移7个单位， 或可以将B（﹣3，a）向右平移到（4，a），平移7个单位， 故选：A． 【点评】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 38．（2025秋•宝安区期末）已知M（a﹣1，3）和N（2，b+1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为　﹣1　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：由条件可知横坐标相等：a﹣1＝2，纵坐标互为相反数：b+1＝﹣3． 解得：a＝3；b＝﹣4． ∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 39．（2025秋•夏津县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为　（﹣3，﹣1）　 ． 【分析】根据所给变换方式，依次求出每次变换后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 经过第1次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，1）， 经过第2次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，﹣1）， 经过第3次变换后点C的对应点的坐标为（3，﹣1）， 经过第4次变换后点C的对应点的坐标为（3，1）， 经过第5次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，1）， …， 由此可见，从第1次变换开始，点C对应点的坐标按（﹣3，1），（﹣3，﹣1），（3，﹣1），（3，1）循环． 因为2026÷4＝506余2， 所以经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，﹣1）． 故答案为：（﹣3，﹣1）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称及点的坐标变化规律，能根据题意得出从第1次变换开始，点C对应点的坐标按（﹣3，1），（﹣3，﹣1），（3，﹣1），（3，1）循环是解题的关键． 40．（2025秋•周口期末）若点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值为　2　 ． 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n，再求它们的和． 【解答】解：∵点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称， ∴1+m＝﹣（﹣4）＝4，且2＝1﹣n， 解得m＝3，n＝﹣1， ∴若点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称，则m+n＝3+（﹣1）＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 41．（2026春•奉贤区期末）如果点A（﹣3，2）和点B关于x轴对称，则点B的坐标是 　（﹣3，﹣2）　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【解答】解：∵关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点B的坐标是（﹣3，﹣2）， 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是关键． 42．（2025秋•尖山区期末）在平面直角坐标系xOy中，有一动点A，先关于x轴对称到点A1，然后关于y轴对称到点A2，再关于x轴对称A3，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到A4，…，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知A（1，2），则点A2025的坐标是 　（507，﹣2）　 ． 【分析】先根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征得到A1（1，﹣2），A2（﹣1，﹣2），A3（﹣1，2），A4（2，2），...，A8（3，2），再利用2025＝4×506+1得到A2024（507，2），然后写出A2024关于x轴的对称点的坐标即可． 【解答】解：根据题意，A1（1，﹣2），A2（﹣1，﹣2），A3（﹣1，2），A4（2，2），...， A8（3，2）， ∵2025＝4×506+1， ∴A2024（1+506，2），即（507，2）， ∴A2024（507，﹣2）． 故答案为：（507，﹣2）． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）；点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．也考查了规律型问题的解决方法． 43．（2025秋•信都区月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，0），C（6，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△A′B′C′的面积是　7　 ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为8，则点P的坐标是　（11，0）或（﹣5，0）　 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设点P的坐标为（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，如图： （2）S△A′B′C′， 故答案为：7； （3）设点P的坐标为（m，0）， ∵△ABP的面积为8， ∴， 解得m＝11或﹣5， ∴点P的坐标为（11，0）或（﹣5，0）， 故答案为：（11，0）或（﹣5，0）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 44．（2026春•虹口区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，7）、B（﹣4，5）、C（﹣3，1）． （1）画出△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各个顶点的坐标：A1　（﹣5，7）　 ，B1　（2，5）　 ，C1　（1，1）　 ． 【分析】（1）利用轴对称的性质描出点A1、B1、C1，再顺次连接即可得解； （2）根据△A1B1C1各个顶点的位置，写出点A1、B1、C1的坐标即可得解． 【解答】解：（1）△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A1B1C1，如图即为所求； （2）由图可知，A1（﹣5，7）；B1（2，5）；C1（1，1）， 故答案为：（﹣5，7）；（2，5）；（1，1）， 【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 45．（2025秋•贵州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），AB＝5，点O与坐标原点重合，C是边OB上一点，连接AC，P是y轴上一动点． （1）若AC是△AOB的中线，求PB+PC的最小值； （2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点，求QO+QP的最小值． 【分析】（1）作点C关于y轴对称的点C1，连接BC1，与y轴交于点P1，当点P在P1位置时，PB+PC最小．根据AC是△AOB的中线求出BC＝OC＝2，即可求出PB+PC的最小值； （2）根据AC是△AOB的角平分线可知点P关于AC对称的点P2在AB上，则当OQ⊥AB时，垂足为H，QO+P2Q最小，即QO+QP最小，为OH的长，根据等面积法求解即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0）， 如图1，作点C关于y轴对称的点C1，连接BC1，与y轴交于点P1，当点P在P1位置时，PB+PC最小． ∵AC是△AOB的中线， ∴C是边OB的中点， ∵A，B的坐标分别为（0，3），（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴． 由对称可知C1C＝2OC＝4， ∴PB+PC最小值为P1C1+P1B＝C1C+CB＝4+2＝6； （2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点， ∵AC是△AOB的角平分线， ∴点P关于AC对称的点P2在AB上，如图2． 此时PQ＝P2Q， ∴QO+QP＝QO+P2Q． 当OQ⊥AB时，垂足为H，QO+P2Q最小，即QO+QP最小，为OH的长． 由，得3×4＝OH×5， 解得， ∴QO+QP的最小值为． 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确进行计算是解题关键． 46．（2025秋•南山区校级期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C均在小正方形的顶点上．且坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，4），C（﹣4，3）． （1）在网格中建立平面直角坐标系； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）点P为y轴上一点，且△A1OP的面积为2，则点P的坐标为． 【分析】（1）根据点A、B的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）确定点A、B、C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接即可得△A1B1C1即可． （3）设点P的坐标为（0，a），再根据三角形面积公式列式求解即可． 【解答】解：（1）在网格中建立平面直角坐标系如图， （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所作； （3）设点P的坐标为（0，a）， ∵△A1OP的面积为2，A1（﹣1，﹣1） ∴， ∴a＝±4， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 故答案为：（0，4）或（0，﹣4）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 轴对称图形是一个图形自身对称，成轴对称是两个图形之间的对称关系 · 成轴对称的两图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分 · 画轴对称图形：找关键点→作对称点→按顺序连线 · 坐标系中关于x轴、y轴对称的点坐标要记牢 · 最短路径问题作对称点把折线拉直，用两点之间线段最短 【作业 1】（2026春•江阴市期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AB∥A′B′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 【分析】根据轴对称图形的特征判断即可，成轴对称的两个图形全等，对应角相等，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点连线的垂直平分线； 【解答】解：根据轴对称图形的特征可知：∠ABC＝∠A′B′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，无法判断AB与A′B′的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•连云港期末）蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（a，﹣3），则点M1的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣a） B．（﹣a，﹣3） C．（a，3） D．（﹣3，a） 【分析】根据关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可求解． 【解答】解：∵点M的坐标为（a，﹣3），点M关于y轴的对应点为M1， ∴点M1的坐标为（﹣a，﹣3）， 故选：B． 【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　 ． 【分析】由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，解题的关键是读懂图象信息． 【作业 4】（2026春•余江区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB＝18，AC＝10，则△ADE的周长为　28　 ． 【分析】由作图得AD＝AC＝10，MN垂直平分BD交AB于点E，则DE＝BE，所以AE+DE＝AB＝18，求得AE+DE+AD＝28，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得AD＝AC＝10，MN垂直平分BD交AB于点E， ∴DE＝BE， ∵AE+DE＝AE+BE＝AB＝18， ∴AE+DE+AD＝18+10＝28， ∴△ADE的周长为28， 故答案为：28． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，推导出AD＝AC＝10及DE＝BE是解题的关键． 【作业 5】（2022秋•义乌市校级月考）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 　（1，2）或（1，2）　 ． 【分析】利用勾股定理求出AB的长，分两种情形求解即可． 【解答】解：∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）， ∴AB2， ∵由题意点D在∠CAB的角平分线或∠CAB的外角平分线上， 作DH⊥AB于H． ∵DC⊥AC，DH⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DC＝DH， 设DC＝DH＝m， 则有•AC•BC•AC•DC•AB•DH， ∴2×4＝2m+2m， ∴m1， ∴D（1，2）， 当D′在∠CAB的外角平分线上时，同法可得CD′1， ∴D′（1，2） 故答案为：（1，2）或（1，2）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业 6】（2026•鼓楼区校级开学）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． （1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置． ①若∠BEA′＝70°，∠CDA′＝20°，求∠A的度数； ②若A′E平分∠BED，证明：∠CDA′＝2∠A﹣60°； （2）如图②，若点A′落在四边形BCDE的边CD下方时，若∠CDA′的度数与图①中的∠CDA′度数相同，均为x°，则相对于图①，∠BEA′的度数增大了　2x （用含x的式子表达）． 【分析】（1）①根据折叠有：∠A′ED＝∠AED，∠A′DE＝∠ADE，再利用三角形内角和为180°以及平角为180°，计算即可求解；②根据角的平分线可得∠A′EB＝∠A′ED，再根据①中所涉及的知识和方法即可证明； （2）针对图①，结合折叠的性质、三角形内角和为180°以及平角为180°，利用∠A和x表示出∠BEA′，再针对图②，利用同样的方法表示出∠BEA′，二者相减，即可求解． 【解答】解：（1）①∵将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置， ∴∠A′ED＝∠AED，∠A′DE＝∠ADE， ∵∠A′ED+∠AED+∠A′EB＝180°，∠A′DE+∠ADE+∠A′DC＝180°，∠BEA′＝70°，∠CDA′＝20°， ∴，， ∴∠A＝180°﹣∠EDA﹣∠DEA＝45°； ②∵A′E平分∠BED， ∴∠A′EB＝∠A′ED， 又根据折叠有∠A′ED＝∠AED，∠A′DE＝∠ADE， ∴∠A′EB＝∠A′ED＝∠AED＝60°， ∴∠EDA＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠A， ∴∠ADA′＝2∠EDA＝240°﹣2∠A， ∵∠CDA′+∠ADA′＝180°， ∴∠CDA′+240°﹣2∠A＝180°， ∴∠CDA′＝2∠A﹣60°； （2）针对图①，根据折叠有：∠A′ED＝∠AED，∠A′DE＝∠ADE， ∵∠CDA′＝x， ∴， ∴， ∵∠BEA′＝180°﹣（∠A′ED+∠AED）， ∴； 针对图②，根据折叠有：∠A′ED＝∠AED，∠A′DE＝∠ADE， ∵∠CDA′＝x， ∴， ∴， ∵∠BEA′＝180°﹣（∠A′ED+∠AED）， ∴； 则相对于图①，∠BEA′的度数增大的度数为：（2∠A+x）﹣（2∠A﹣x）＝2x． 故答案为：2x． 【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，直角三角形的相关性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业 7】（2026秋•重庆校级同步）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为平面内一点． （1）如图1，若BD⊥CB，∠BAD＝30°，求tan∠BCD的值； （2）如图2，若AD＝AB，F为BC中点，将DF绕点F顺时针旋转90°得EF，G在CD上，∠EAG＝135°，求证：CDAE+2AG； （3）如图3，若AB＝6，∠ADB＝90°，Q为AD上一点，AQ＝BD，M为直线CQ上一动点，将△AQM沿AM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△ANM，连接CN．当CQ+3BQ取得最小值时，请直接写出△CQN面积的最大值． 【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，由已知条件得出△ABC，△DBH为等腰直角三角形，设DH＝BH＝a，则，利用含30度直角三角形的性质设AD＝2a，AH，AB＝AH+BH，BCAB，最后利用正切的定义求得结果； （2）连接BD，AF，过点F作FP⊥GF交CD于点P，先证明△BFD≌△AFE（SAS），再设∠EAC＝α，通过导角利用等腰三角形的性质和已知条件得出∠BDC＝45°，∠AGC＝90°，利用三角形中位线定理得出GF∥DB，进而证得△GFP是等腰直角三角形，得出GF＝FP，GPGFBD，继续证明出△GFA≌△PFC（SAS），得到AG＝PC，从而最终证得结论； （3）延长CA至点T，使得AT＝AB，取AT的中点O，连接OQ，先证明△ABD≌△TAQ（SAS），得到OQAT＝3，在OA上取点K，使得，证明△KOQ∽△QOC，得出KQ，由CQ+3BQ＝33（KQ+BQ）≥3BK，得出当点B，Q，K三点共线时取等号，此时CQ+3BQ有最小值，继续根据题意确定出点N的运动轨迹，过点Q作QR⊥AT交AT于点R，过点A作AS⊥CQ，延长SA交⊙A于点N，此时S△CQN有最大值，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理求出相关线段的长度，最终可求出△CQN的面积． 【解答】（1）解：如图1，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACB＝45°． ∵BD⊥CB， ∴∠DBC＝90°， ∴∠DBH＝45°，即△DBH为等腰直角三角形． 设DH＝BH＝a，则， ∵∠BAD＝30°，DH⊥AB， 在Rt△ADH中，AD＝2a，， ∴，． 在Rt△DBC中，tan∠BCD， ∴； （2）证明：如图2，连接BD，AF，FG，过点F作FP⊥GF交CD于点P， ∵F是BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AF＝BF＝FC，AF⊥BC． 又∵∠DFE＝90°， ∴∠DFB+∠AFD＝∠AFD+∠AFE＝90°， ∴∠DFB＝∠AFE． 在△BFD和△AFE中， ， ∴△BFD≌△AFE（SAS）， ∴BD＝AE，∠DBF＝∠EAF． 设∠EAC＝α，则∠CAG＝∠EAG﹣∠EAC＝135°﹣α，∠DBF＝∠EAF＝45°+α， ∴∠ABD＝∠DBF﹣∠ABF＝45°+α﹣45°＝α． ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝α， ∴∠DAB＝180°﹣2∠ABD＝180°﹣2α， ∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝180°﹣2α+90°＝270°﹣2α． ∵AB＝AD＝AC， ∴， ∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°． 在△AGC中，∠AGC＝180°﹣∠CAG﹣∠ACG＝180°﹣（135°﹣α）﹣（α﹣45°）＝90°， ∴AG⊥CD，即G为CD的中点． ∵F是BC的中点， ∴GF∥DB， ∴∠BDG＝∠FGP＝45°． ∵∠GFP＝90°， ∴△GFP是等腰直角三角形， ∴GF＝FP，． ∵∠GFA+∠AFP＝∠AFP+∠PFC＝90°， ∴∠GFA＝∠PFC． 在△GFA和△PFC中， ， ∴△GFA≌△PFC（SAS）， ∴AG＝PC， ∴； （3）解：如图3.1，延长CA至点T，使得AT＝AB，取AT的中点O，连接OQ， ∵∠ADB＝∠TAB＝∠BAC＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝∠DAB+∠TAD＝90°， ∴∠DBA＝∠TAD． 在△ABD和△TAQ中， ， ∴△ABD≌△TAQ（SAS）， ∴∠AQT＝∠BDA＝90°， ∴． 在OA上取点K，使得， ∴，． ∵∠KOQ＝∠QOC， ∴△KOQ∽△QOC， ∴， ∴． 如图4，当点B，Q，K三点共线时取等号，此时CQ+3BQ有最小值， ∵△AQM沿AM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△ANM， ∴点N的运动轨迹是以点A为圆心，AQ＝AN为半径的圆． 过点Q作QR⊥AT交AT于点R，过点A作AS⊥CQ，延长SA交⊙A于点N，此时S△CQN有最大值， ∵∠KRQ＝∠KAB＝90°，∠QKR＝∠BKA， ∴△KQR∽△KBA， ∴，即QR＝3KR． 设KR＝x，QR＝3x， 在Rt△OQR中，由勾股定理得：OR2+QR2＝OQ2， ∴（x+1）2+（3x）2＝32， 解得：（负值舍去）， ∴，，． 在Rt△AQR中，AQ． ∵∠ACS＝∠QCR，∠QRC＝∠ASC＝90°， ∴△ASC∽△QRC， ∴，即SC＝3AS． 在Rt△ASC中，由勾股定理得：AS2+SC2＝AC2， ∴AS2+（3AS）2＝62， 解得：（负值舍去）， ∴， 在Rt△AQS中，SQ， ∴CQ＝SQ+SC， ∴S△CQNCQ•（AS+AN）． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 8】（2023秋•金山区期末）如图，在△ABC中，，BC＝6，，DE垂直平分AC，分别交边BC、AC于点D、E，联结AD． （1）求∠C的度数； （2）求AD的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可△ABC为直角三角形，∠B＝90°，由含30度角的直角三角形性质知∠C＝30°； （2）由线段垂直平分线的性质得AD＝CD，易得∠BAD＝30°，设CD＝AD＝x，则BD＝6﹣x，在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形性质求解即可． 【解答】解：（1）∵，BC＝6，， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC为直角三角形，∠B＝90°， 又AC＝2AB， ∴∠C＝30°． （2）∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝30°，∠BAD＝30°， 设CD＝AD＝x，则BD＝6﹣x， 在Rt△ABD中，∠B＝90°，∠BAD＝30°， ∴AD＝2BD，即x＝2（6﹣x）， 解得：x＝4， ∴AD＝4． 【点评】本题主要考查勾股定理、含30度角的直角三角形性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 【作业 9】（2026春•宝安区校级同步）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书35页的“思考•交流”的内容． 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2． （1）若∠1＝60°，则∠3＝　30　 °． （2）∠ADE的余角是　∠ADC或∠3　 ． 【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）． 【数学推理】（3）如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知反射角与入射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】 （4）两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　180°﹣2α　 ．（用含有字母α的式子表示） （5）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图3所示的截面内，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝75°．若一入射光线OD（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝22°，请求出∠AOD的度数． 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠2+∠3＝90°，得出∠DCB+∠ABC＝180°，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣a，得出∠1+∠4＝180°﹣a，根据∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB＝180°+180°＝360°，证得∠ABC+∠DCB＝2a，根据三角形内角和定理求解即可； （5）根据光的反射定律和平行线的性质求解，注意分类讨论即可． 【解答】（1）解：∵∠2＝∠1＝60°，CD⊥EF， ∴∠CDF＝∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30； （2）解：∵CD⊥EF， ∴∠CDE＝∠ADE+∠ADC＝90°，∠CDF＝∠2+∠3＝90°， ∵∠ADE＝∠2， ∴∠ADE+∠3＝90°， ∴∠ADE的余角是∠ADC，∠3． 故答案为：∠ADC或∠3； （3）证明：∵OM⊥ON， ∴∠MON＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， 由反射定律得：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠2+∠3）＝180°， ∵∠1+∠ABC+∠2+∠3+∠BCD+∠4＝180°+180°＝360°， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD； （4）解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣α， ∴∠1+∠4＝180°﹣α， ∵∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB＝180°+180°＝360°， ∴∠ABC+∠DCB＝2α， ∵∠BEC+∠ABC+∠DCB＝180°， ∴∠BEC＝180°﹣2α． 故答案为：180°﹣2α； （5）解：如图①所示，当D在C下方时， ∵DE∥AB， ∴∠OGE＝∠OAB＝75°， 由外角定理可知∠AOD＝∠OGE﹣∠ODE＝75°﹣22°＝53°； 如图②所示， 由题意可知DE∥CF∥AB， ∴∠ODE＝∠DOC＝22°，∠COA＝∠OAB＝75°， ∴∠AOD＝∠DOC+∠COA＝97°， 综上，∠AOD的度数为97°或53°． 【点评】本题考查了余角和补角，平行线的判定与性质，生活中的轴对称现象以及三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $