2026-2027学年人教版八年级数学上册第一次月考质量检测（第十三、十四章）

2026—2027学年八年级数学上册第一次月考测试卷 考试时间：120分钟　满分：150分　 命题范围：人教版八年级上册第十三章《三角形》、第十四章《全等三角形》 班级：__________　姓名：__________　考号：__________　成绩：__________ 注意事项：1.全卷共三大题，25小题，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，请将班级、姓名、座号填写在试卷和答题卡的相应位置。3.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，只写最后结果不得分。4.本次考试不允许使用计算器。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　） A. 1，2，3　　B. 2，3，4　　C. 2，2，5　　D. 3，4，8 2. 如图，在△ABC中，点D、E、F都在边BC上，则线段AD、AE、AF依次是△ABC的（　） A. 中线、高、角平分线　　B. 高、角平分线、中线 C. 角平分线、中线、高　　D. 高、中线、角平分线 3. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠C的度数为（　） A. 40°　　B. 60°　　C. 80°　　D. 100° 4. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点D在BC的延长线上，则∠ACD的度数为（　） A. 110°　　B. 120°　　C. 130°　　D. 140° 5. 已知三角形两边的长分别为3和6，则第三边的长可以是（　） A. 2　　B. 3　　C. 7　　D. 10 6. 已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝5，则∠F的度数为（　） A. 50°　　B. 60°　　C. 70°　　D. 80° 7. 下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（　） A. 三条边分别相等 B. 两边及其夹角分别相等 C. 两角及其中一角的对边分别相等 D. 两边及其中一边的对角分别相等 8. 下列两个三角形中，一定全等的是（　） A. 两个含30°角的直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 腰长相等的两个等腰三角形 D. 边长为3cm的两个等边三角形 9. 如图，是用直尺和圆规作∠AOB平分线的示意图，则说明∠AOP＝∠BOP的依据是（　） A. SSS　　B. SAS　　C. ASA　　D. AAS 10. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　） A. 110°　　B. 120°　　C. 125°　　D. 135° 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填在题中横线上） 11. 一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为________。 12. 在△ABC中，∠A＝60°，且∠B−∠C＝20°，则∠B的度数为________。 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则∠A的度数为________。 14. 在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，再从下列条件中选取一个：①∠B＝∠B′；②∠C＝∠C′；③AC＝A′C′；④BC＝B′C′。其中不能判定△ABC≌△A′B′C′的是________（填序号）。 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。若BC＝9，BD＝5，则DE的长为________。 16. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD。若∠A＝64°，则∠E的度数为________。 三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（8分）如图，在△ABC中。 （1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（4分） （2）若∠B＝40°，∠C＝70°，求∠ADB的度数。（4分） 18.（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝40°，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高。 （1）求∠B的度数；（3分） （2）求∠DAE的度数。（5分） 19.（8分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：△ABC≌△DEF。 20.（8分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE。求证：△ABD≌△ACE。 21.（8分）如图，已知AB＝AD，CB＝CD。 （1）求证：△ABC≌△ADC；（4分） （2）求证：∠B＝∠D。（4分） 22.（10分）2026年9月22日，我国首条跨海市域铁路——宁波至象山市域铁路（宁象线）通车运营，线路全长61.45公里，象山半岛结束了不通轨道交通的历史。在跨海段桥梁施工中，工程队用三根钢梁焊接成三角形支架加固桥墩，其中两根钢梁的长分别为AB＝6米、BC＝4米（如图，设AC的长为x米）。 （1）求x的取值范围；（4分） （2）若x为整数，且△ABC的周长为偶数，求所有满足条件的x的值。（6分） 23.（10分）2026年9月23日，我国自主研制的全球单机容量最大、核心转轮重80吨的500兆瓦冲击式水电机组在四川德阳成功交付，将应用于西藏大唐扎拉水电站。电站建设前期，工程队需要测量河道两岸A、B两点之间的距离，但A、B两点不能直接到达。测量员在河道一侧取一点O，连接AO并延长到点C，使OC＝OA；连接BO并延长到点D，使OD＝OB（如图）。 （1）求证：△AOB≌△COD；（4分） （2）若测得CD＝46米，则A、B两点之间的距离是多少米？请说明理由；（4分） （3）这一测量方案把"不可直接测量的距离"转化为"可以直接测量的距离"，其中蕴含的数学思想是什么？（2分） 24.（12分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且BD＝AD。 （1）求证：△BDF≌△ADC；（6分） （2）若BD＝6，DF＝4，求△ABC的面积。（6分） 25.（14分）【探究】如图①，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。 （1）求证：DE＝DF；（4分） （2）如图②，点G是线段AD上任意一点（G不与A、D重合），GE⊥AB于点E，GF⊥AC于点F。求证：GE＝GF；（6分） （3）由（1）（2）可以发现：角的平分线上的点到角的两边的距离________。（4分） 2026—2027学年八年级数学上册第一次月考测试卷参考答案与解析 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. B　【解析】根据三角形三边关系"两边之和大于第三边"逐一判断：A中1＋2＝3，不能组成三角形；B中2＋3＝5＞4，且2＋4＞3、3＋4＞2，能组成三角形；C中2＋2＝4＜5，不能；D中3＋4＝7＜8，不能。故选B。 2. D　【解析】图中AD⊥BC，垂足为D，故AD是BC边上的高；BE＝EC，故AE是BC边上的中线；∠BAF＝∠FAC，故AF是∠BAC的平分线。所以AD、AE、AF依次是高、中线、角平分线。故选D。【提醒】三角形的"三线"判定的依据是各自的定义：垂直（高）、平分对边（中线）、平分内角（角平分线），与线段的位置无关。 3. C　【解析】设∠A＝2k，∠B＝3k，∠C＝4k。由三角形内角和定理得2k＋3k＋4k＝180°，解得k＝20°，所以∠C＝4×20°＝80°。故选C。 4. B　【解析】∠ACD是△ABC的一个外角，由"三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和"得∠ACD＝∠A＋∠B＝70°＋50°＝120°。故选B。【方法】也可先由内角和求∠ACB＝180°−70°−50°＝60°，再由邻补角得∠ACD＝180°−60°＝120°。 5. C　【解析】设第三边长为x，由三边关系得6−3＜x＜6＋3，即3＜x＜9。选项中只有7满足。故选C。【提醒】B选项3满足"3＋3＝6"，两边之和等于第三边，不能组成三角形。 6. C　【解析】在△ABC中，∠C＝180°−∠A−∠B＝180°−50°−60°＝70°。因为△ABC≌△DEF，全等三角形的对应角相等，所以∠F＝∠C＝70°。故选C。【提醒】先由△ABC的内角和求出∠C，再根据对应关系（C↔F）转化，不能误取∠F＝∠A或∠B。 7. D　【解析】判定三角形全等的依据：SSS、SAS、ASA、AAS（直角三角形还有HL）。"两边及其中一边的对角分别相等"即SSA，角的位置不构成夹角，不能判定全等。故选D。 8. D　【解析】D中两个等边三角形的三条边都等于3cm，三边分别相等，由SSS必全等；A中只有一个角和直角相等，条件不足；B中两个等边三角形形状相同但大小未必相同；C中腰长相等的两个等腰三角形，顶角未必相等。故选D。【点评】"形状相同"不等于"全等"，全等还需大小相等。 9. A　【解析】由作图过程可知：OM＝ON（同圆半径），PM＝PN（等圆半径），OP＝OP（公共边），所以△OMP≌△ONP（SSS），得∠AOP＝∠BOP。依据是SSS。故选A。【提醒】尺规作角平分线的"道理"就是构造两个全等三角形，这是"作图＋说理"的常考结合点。 10. C　【解析】在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝180°−70°＝110°。因为BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠OBC＋∠OCB＝×110°＝55°。在△BOC中，∠BOC＝180°−55°＝125°。故选C。【方法】一般地，∠BOC＝90°＋∠A。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 17　【解析】若腰长为3，则三边为3、3、7，因为3＋3＝6＜7，不满足三边关系，舍去；若腰长为7，则三边为3、7、7，因为3＋7＞7，成立，周长＝3＋7＋7＝17。【提醒】等腰三角形已知两边求周长必须分类讨论，并用三边关系检验。 12. 70°　【解析】由内角和定理得∠B＋∠C＝180°−∠A＝120°。又∠B−∠C＝20°，两式相加得2∠B＝140°，所以∠B＝70°（此时∠C＝50°）。 13. 60°　【解析】直角三角形的两锐角互余，∠A＋∠B＝90°。把∠A＝2∠B代入，得3∠B＝90°，∠B＝30°，所以∠A＝2×30°＝60°。 14. ④　【解析】已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′。①加∠B＝∠B′，两角及其夹边对应相等，ASA，能判定；②加∠C＝∠C′，两角及其中一角的对边对应相等，AAS，能判定；③加AC＝A′C′，两边及其夹角对应相等，SAS，能判定；④加BC＝B′C′，构成"两边及其中一边的对角"（SSA），不能判定。故填④。 15. 4　【解析】因为∠C＝90°，所以DC⊥AC。又AD平分∠BAC，DE⊥AB，由角的平分线的性质得DE＝DC。因为BC＝9，BD＝5，所以DC＝BC−BD＝9−5＝4，故DE＝4。【方法】角的平分线性质是"不证自明"的现成结论，凡见"平分线＋双垂线"优先考虑。 16. 32°　【解析】设∠ABC＝β，∠ACB＝γ，则β＋γ＝180°−∠A＝116°。 因为CE平分外角∠ACD，∠ACD＝∠A＋∠ABC＝64°＋β， 所以∠DCE＝∠ACD。 在△BCE中，∠E＝180°−∠EBC−（∠ACB＋∠ACE）＝180°−β−γ−（64°＋β）＝180°−β−γ−32°＝180°−116°−32°＝32°。 【方法】一般地，此类图形中∠E＝½∠A，记住结论可快速检验。 三、解答题（共86分） 17.（1）作图如下：以点A为圆心、适当长为半径画弧，交AB、AC于点M、N；分别以M、N为圆心、大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P；作射线AP，交BC于点D。射线AD（即线段AD）就是∠BAC的平分线。（4分，保留痕迹、结论正确各2分） （2）【解答】在△ABC中，∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−40°−70°＝70°。（2分）因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝×70°＝35°。在△ABD中，∠ADB＝180°−∠B−∠BAD＝180°−40°−35°＝105°。（2分）【另解】∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝40°＋35°＝75°，所以∠ADB＝180°−75°＝105°。 18.（1）【解答】在△ABC中，∠B＝180°−∠BAC−∠C＝180°−80°−40°＝60°。（3分） （2）【解答】因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝∠BAC＝40°。（2分） 因为AE是BC边上的高，所以∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，∠CAE＝90°−∠C＝90°−40°＝50°。（2分） 所以∠DAE＝∠CAE−∠DAC＝50°−40°＝10°。（1分） 【点评】"角平分线＋高线"夹角问题抓住两个模型：∠DAC＝½∠BAC，∠CAE＝90°−∠C。 19.【证明】因为AB∥ED，所以∠B＝∠E（两直线平行，同位角相等）。（2分） 因为AC∥FD，所以∠ACB＝∠DFE。（2分） 因为FB＝CE，所以FB＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF。（2分） 在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE， 所以△ABC≌△DEF（ASA）。（2分） 【点评】由FB＝CE推出BC＝EF是"共线线段相加减"的基本功，务必写出过程。 20.【证明】因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE。（3分）在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）。（5分）【提醒】本题的关键是通过公共角∠DAC进行"和角"转化；若直接写∠BAC＝∠DAE而未加说明，会被扣分。 21.（1）【证明】在△ABC和△ADC中，AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC（公共边），所以△ABC≌△ADC（SSS）。（4分） （2）【证明】因为△ABC≌△ADC，全等三角形的对应角相等，所以∠B＝∠D。（4分）【点评】本题是"连接对角线构造全等"的典型：四边形问题转化为三角形问题，公共边AC是隐含条件。 22.（1）【解答】在△ABC中，由三角形三边关系得BC−AB＜x＜BC＋AB，即6-4＜x＜6＋4，所以x的取值范围是2＜x＜10。（4分） （2）【解答】△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝6＋4＋x＝10＋x。（1分）因为周长为偶数，10为偶数，所以x为偶数。（2分）又x为整数且2＜x＜10，所以x＝3，4，5，6，7，8，9，其中偶数为4，6，8。（2分）所以满足条件的x的值为4，6，8。（1分）【提醒】先由三边关系定范围，再按奇偶性筛选，两步缺一不可；3＜x＜10中x取不到2和10。 23.（1）【证明】在△AOB和△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，所以△AOB≌△COD（SAS）。（4分） （2）【解答】A、B两点之间的距离是46米。（1分）理由：因为△AOB≌△COD，全等三角形的对应边相等，所以AB＝CD＝46米。（3分） （3）【解答】蕴含的数学思想是转化思想（把不能直接测量的线段AB，通过构造全等三角形转化为可以直接测量的线段CD）。（2分）【点评】构造"8字形"全等测量不可达距离是全等三角形最重要的实际应用之一，判定依据是SAS，其中对顶角相等是隐含条件。 24.（1）【证明】因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°。（2分）所以∠FBD＋∠C＝90°，∠DAC＋∠C＝90°（直角三角形两锐角互余），所以∠FBD＝∠DAC。（2分）在△BDF和△ADC中，∠FBD＝∠DAC，BD＝AD，∠BDF＝∠ADC，所以△BDF≌△ADC（ASA）。（2分） （2）【解答】因为BD＝AD，BD＝6，所以AD＝6。（1分）因为△BDF≌△ADC，所以DF＝DC（全等三角形对应边相等）。（2分）因为DF＝4，所以DC＝4，BC＝BD＋DC＝6＋4＝10。（2分）所以S△ABC＝·BC·AD＝×10×6＝30。（1分） 【方法】"双高相交"图形中，同角的余角相等是导角的核心工具；求面积时先由全等实现线段的"转移"。 25.（1）【证明】因为AD是∠BAC的平分线，所以∠EAD＝∠FAD。 因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED＝∠AFD＝90°。（2分） 在△ADE和△ADF中，∠AED＝∠AFD，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD（公共边）， 所以△ADE≌△ADF（AAS）。（1分） 所以DE＝DF（全等三角形对应边相等）。（1分） （2）【证明】因为G是线段AD上任意一点，AD平分∠BAC，所以∠EAG＝∠FAG。因为GE⊥AB，GF⊥AC，所以∠AEG＝∠AFG＝90°。（2分）在△AEG和△AFG中，∠AEG＝∠AFG，∠EAG＝∠FAG，AG＝AG（公共边），所以△AEG≌△AFG（AAS）。（3分）所以GE＝GF。（1分） （3）【解答】相等。（4分）【点评】本题经历"证明—推广—归纳"的完整过程：只要点在角的平分线上，它到角两边的距离就相等，这正是角的平分线的性质（教材14.3节结论），其中距离指的是垂线段的长度。 1 学科网（北京）股份有限公司 $