精品解析：湖北襄阳市诸葛亮中学2026-2027学年上学期九年级9月阶段学情自测数学试题

数 学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. 2x﹣3＝x B. 2x+3y＝5 C. 2x﹣x2＝1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意； B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意； C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意； D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为． 4. 关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. k>4 B. k≤4 C. k<4且k≠0 D. k≤4且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到 ，求出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个数根， ∴ ， 解得， 又∵k≠0， ∴k≤4且k≠0， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 5. 设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为( ) A. 5 B. －5 C. 3 D. －3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：试题解析：由韦达定理可得： 故选B. 点睛：一元二次方程根与系数的关系： 6. 某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增长至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，由题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，由题意得： ， 故选：A． 7. 今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设该群有人，每人收个红包，总收红包数为，解方程，求正整数解即可． 【详解】解：设该群有人，每人收个红包，列出方程为： 即 解得或（舍去） 因此，该群一共有人， 故选：C． 8. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 9. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 10. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若2是方程的一个根，则c的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根满足方程等式，将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， ∴． 12. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________． 【答案】m＞1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 13. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 【答案】x（x﹣12）＝864． 【解析】 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 若实数，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，用换元法解一些复杂的方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．设，原式化为：，解一元二次方程求得的值，从而求得． 【详解】解：设，原式化为：， 整理得，， 解得，， ， ， 故答案为：6． 15. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①根据对称轴为直线，即可得出结论；②由图象可知，当时，函数值最大，即可得出结论；③结合对称轴以及时，，进行变换，即可得出结论；④结合对称轴，得到，再进行判断即可． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴；故①错误； ②由图象可知，当时，函数值最大为， ∴时的函数值小于时的函数值， 即：， ∴；故②正确； ③由图象可知，当时，， ∵， ∴，即：， ∴；故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴；故④正确； 综上，正确的是②③④； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 用两种方法解方程． 【答案】解：方法一：因式分解法： 原方程变形为， ，即， ∴或， ∴，； 方法二：公式法： 原方程变形为， 这里，，， ∴， ∴， ∴，． 【解析】 【分析】利用因式分解法和公式法解一元二次方程即可． 【详解】略 17. 已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长． 【答案】这个三角形的周长为17 【解析】 【分析】先根据因式分解法解方程求得或，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而可求解． 【详解】解：方程可化为， 解得或， 当时，由知，这个三角形的第三边长为7，则这个三角形的周长为； 当时，由知，这个三角形的第三边长不可能为10，此三角形不存在， 综上，这个三角形的周长为17． 18. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． 【小问2详解】 解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 20. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______； （2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线； x … … y … … （3）若该抛物线上，两点的横坐标满足，试比较与的大小． （4）当时，则y的取值范围为______． 【答案】（1）直线； （2） x … 0 1 2 3 4 … y … 2 3 2 … （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据解析式即可得到对称轴和顶点坐标； （2）先列表，再画出对应的函数图象即可； （3）根据解析式判断出函数的增减性即可得到答案； （4）抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵该抛物线上，两点的横坐标满足， ∴； 【小问4详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴在满足的条件下，当时，y有最小值，最小值为， 又∵顶点的纵坐标为3，即y的最大值为3， ∴当时，． 21. 如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式． （2）求出水柱的最高点的高度． 【答案】（1）抛物线的解析式为． （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，，抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，将A,B代入抛物线解析式可得解析式； 由题意可知，，，，进而可知，两点关于直线对称，由对称轴及，利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）由（1）可知抛物线的解析式及直线为抛物线的对称轴，即可得水柱的最高点的高度． 【小问1详解】 解：由题意得：，，抛物线的对称轴为直线， ∴，． 设抛物线的解析式为， 将A,B代入抛物线解析式可得，解得：． 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 由（1）知：，直线为抛物线的对称轴． ∴当时，， ∴水柱的最高点的高度为． 22. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门，求试验田垂直于墙的一边的长． 【答案】试验田垂直于墙的一边的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．设试验田垂直于墙的一边的长为米，则 边的长为米，根据题意即可建立一元二次方程求解．注意实际问题中对所求值应进行检验． 【详解】解：设试验田垂直于墙的一边的长为米，则边的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：试验田垂直于墙的一边的长为20米． 23. 如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，的面积为． （2）出发几秒后，线段的长为？ （3）的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）出发秒或秒后，的面积为 （2）出发秒或秒后，线段的长为 （3）的面积不能为， 假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． 【小问3详解】 略 24. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）若将函数图象向右平移h个单位长度，当时，函数有最大值2，求h的值； （4）设点M在抛物线上，且在直线上方，当时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把解析式化为顶点式求出对称轴，再由对称性求出点B的坐标；连接，由对称性可得，则当P、B、C三点共线时，有最小值，据此求解直线的解析式即可求出点P的坐标； （3）根据平移方式可推出平移后的抛物线的对称轴为直线，讨论对称轴的位置，根据当时，函数有最大值2求解即可； （4）取点，连接，可证明，则可证明，据此求出直线的解析式，进而可求出点M的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可得点B的坐标为； 如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：将抛物线的函数图象向右平移h个单位长度得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值，且最大值为4，此时不符合题意； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，h的值为或； 【小问4详解】 解：如图所示，取点，连接， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵点D和点M都在直线的同一侧， ∴， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， 在中，当时，， ∴点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. 2x﹣3＝x B. 2x+3y＝5 C. 2x﹣x2＝1 D. 2. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. k>4 B. k≤4 C. k<4且k≠0 D. k≤4且k≠0 5. 设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为( ) A. 5 B. －5 C. 3 D. －3 6. 某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增长至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 8. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若2是方程的一个根，则c的值是______． 12. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________． 13. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 14. 若实数，则的值为__________． 15. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填序号）． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 用两种方法解方程． 17. 已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，求这个三角形的周长． 18. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 20. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______； （2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线； x … … y … … （3）若该抛物线上，两点的横坐标满足，试比较与的大小． （4）当时，则y的取值范围为______． 21. 如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式． （2）求出水柱的最高点的高度． 22. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门，求试验田垂直于墙的一边的长． 23. 如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，的面积为． （2）出发几秒后，线段的长为？ （3）的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 24. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）若将函数图象向右平移h个单位长度，当时，函数有最大值2，求h的值； （4）设点M在抛物线上，且在直线上方，当时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $