28.1 圆的基本概念和性质 题型专练 2026--2027学年冀教版九年级数学上册

冀教版（2024）九年级上册 28.1 圆的基本概念和性质 题型专练 【题型1】圆的认识 【典例】A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（　　） A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10 【举一反三1】如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为　__________　． 【举一反三2】龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强.若某次形成的龙卷风的影响范围半径为300 m，舒林所在的位置距龙卷风中心500 m，则舒林__________ 受到龙卷风的影响.(填“会”或“不会”) 【举一反三3】如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D，求证：AB∥CD. 【举一反三4】如图，⊙O的直径AB＝20，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”，利用圆的对称性可知：“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等． （1）若∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC＝100°，求∠APD的大小； （2）若直径AB的“回旋角”为90°，且△PCD的周长为16+10，求AP的长． 【题型2】判断点与圆的位置关系 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，点O为AB的中点，若以点O为圆心，5为半径作☉O，则下列判断正确的是 （      ）  A．点C在☉O外 B．点C在☉O上 C．点C在☉O内 D．无法判断 【举一反三1】已知☉O的半径是5，A点为线段PO的中点，当OP=10时，点A与圆的位置关系是 （      ） A．点A在圆内 B．点A在圆外 C．点A在圆上 D．不能确定 【举一反三2】已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是__________． 【举一反三3】设点P到圆心O的距离为d，☉O的半径为r，d，r满足d2+r2-6d-8r+25=0，则点P与☉O的位置关系是__________ . 【举一反三4】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作☉O，已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，4)，B(-3，-3)，C(4，-).试判断A，B，C三点与☉O的位置关系. 【题型3】利用点与圆的位置关系求长度 【典例】一个点到圆的最小距离为4，最大距离为8，则该圆的半径是（    ） A．4或12 B．2 C．6 D．2或6 【举一反三1】平面内一点P到⊙O的最小距离和最大距离分别为2m和6cm，则⊙O的直径长为（　　） A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm 【举一反三2】已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三3】如图，在☉O内有折线ABCO，点A，B在圆上，点C在☉O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则BC的长为__________ . 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A，若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围． 【题型4】点与圆的位置关系与最值问题 【典例】如图，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点P在以C(－2，0)为圆心，1为半径的☉C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值为 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三1】如图，AB为☉O的直径，AB＝10，C，D为☉O上两动点(C，D不与A，B重合)，且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为 （      ）  A．4 B．4.5 C．5 D．6 【举一反三2】(2025·安丘期末)如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是 A．a B．a-b C．a+b D．b 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=24，点D为线段BC上一动点.以CD为☉O直径，作AD交☉O于点E，连BE，则BE的最小值为　　　. 【举一反三4】如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为__________ cm． 【举一反三5】如图，点A表示一座风景秀美的小山，市政府计划以点A为中心，修建一个半径为12 km的“桃园山庄”.因此，在此范围内的其他建筑物将被拆除.从点A出发向东走8 km，再向南走6 km有一砖厂B，砖厂的正东3 km处有一古塔C，问砖厂和古塔是否需要拆除？ 【题型5】点与圆位置关系的实际应用 【典例】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【举一反三1】雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　　） A．G点 B．H点 C．M点 D．N点 【举一反三2】有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在墙面BA，BC上，梯子MN的长度始终保持不变，MN＝6，老鼠E在MN的中点处，猫在D点处，它到墙面BA，BC的距离分别为4和3．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 __________． 【举一反三3】如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【举一反三4】如图，在A地往北90m的B处有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑．因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭受破坏，爆破影响的半径应控制在什么范围之内？ 冀教版（2024）九年级上册 28.1 圆的基本概念和性质 题型专练（参考答案） 【题型1】圆的认识 【典例】A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（　　） A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10 【答案】D 【解析】∵圆中最长的弦为直径， ∴0＜AB≤10． 故选：D． 【举一反三1】如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为　__________　． 【答案】a＝b＝c 【解析】连接OM、OD、OA，如图， ∵点A、D、M在半圆上， ∴OM＝OD＝OA， ∵四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形， ∴OM＝NH，OD＝GF，OA＝BC， ∴BC＝EF＝HN，即a＝b＝c． 故答案为a＝b＝c． 【举一反三2】龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强.若某次形成的龙卷风的影响范围半径为300 m，舒林所在的位置距龙卷风中心500 m，则舒林__________ 受到龙卷风的影响.(填“会”或“不会”) 【答案】不会 【解析】∵龙卷风的影响范围半径为300 m，舒林所在的位置距龙卷风中心500 m，500>300， ∴舒林不会受到龙卷风的影响. 【举一反三3】如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D，求证：AB∥CD. 【答案】证明　∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∴∠OCD=(180°-∠O). ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠OAB=(180°-∠O)， ∴∠OCD=∠OAB， ∴AB∥CD. 【举一反三4】如图，⊙O的直径AB＝20，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”，利用圆的对称性可知：“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等． （1）若∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC＝100°，求∠APD的大小； （2）若直径AB的“回旋角”为90°，且△PCD的周长为16+10，求AP的长． 【答案】解：（1）如图一中， ∵∠DPC＝100°，∠APD＝∠CPB， ∴∠APD（180°﹣100°）＝40°． （2）如图二中，延长CP交⊙O于F，连接AD，AF，OD，OC，作OE⊥CF于E． ∵∠APD＝∠CPB，∠CPB＝∠APF， ∴∠APD＝∠APF， ∴AP平分∠DPF， ∵直线AB是⊙O的对称轴，直线AP是∠DPF的对称轴， ∴PD与PF重合， ∴PD＝PF， ∵∠DPC＝90°， ∴∠APD＝∠CPB＝45°， ∴∠DPF＝90°， ∴∠DFP＝∠PDF＝45°， ∴∠DOC＝2∠DFC＝90°， ∵OD＝OC＝10， ∴CD＝10， ∵PD+PC+CD＝16+10， ∴PD+PC＝PF+PC＝16， ∴CF＝16， ∵OE⊥CF， ∴EC＝EF＝8， ∴OE6， ∵△POE是等腰直角三角形， ∴OPOE＝6， ∴AP＝OA﹣OP＝10﹣6， 当点P在线段OB上时，同法可得AP＝10+6． 【题型2】判断点与圆的位置关系 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，点O为AB的中点，若以点O为圆心，5为半径作☉O，则下列判断正确的是 （      ）  A．点C在☉O外 B．点C在☉O上 C．点C在☉O内 D．无法判断 【答案】B 【解析】如图，连接OC， ∵AB=10，∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∴OC=AB=5， ∵☉O的半径为5， ∴点C在☉O上. 【举一反三1】已知☉O的半径是5，A点为线段PO的中点，当OP=10时，点A与圆的位置关系是 （      ） A．点A在圆内 B．点A在圆外 C．点A在圆上 D．不能确定 【答案】C 【举一反三2】已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是__________． 【答案】r＞6 【解析】∵点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6， ∴r＞6， 故答案为：r＞6． 【举一反三3】设点P到圆心O的距离为d，☉O的半径为r，d，r满足d2+r2-6d-8r+25=0，则点P与☉O的位置关系是__________ . 【答案】点P在圆内 【举一反三4】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作☉O，已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，4)，B(-3，-3)，C(4，-).试判断A，B，C三点与☉O的位置关系. 【答案】解　∵OA==5， OB==3<5， OC==>5， ∴点A在☉O上，点B在☉O内，点C在☉O外. 【题型3】利用点与圆的位置关系求长度 【典例】一个点到圆的最小距离为4，最大距离为8，则该圆的半径是（    ） A．4或12 B．2 C．6 D．2或6 【答案】D 【举一反三1】平面内一点P到⊙O的最小距离和最大距离分别为2m和6cm，则⊙O的直径长为（　　） A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm 【答案】C 【举一反三2】已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】解：∵点P在圆内，且d＝5，∴r＞5， 故选：D． 【举一反三3】如图，在☉O内有折线ABCO，点A，B在圆上，点C在☉O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则BC的长为__________ . 【答案】6 【解析】如图，延长CO交AB于点D，作OE⊥AB于点E，设BC的长为x， ∵∠C=∠B=60°， ∴∠BDC=60°， ∴△DBC为等边三角形， ∴BD=CD=BC=x， ∵OC=3，AB=9， ∴BE=4.5，DE=x-4.5，OD=x-3， 又∵∠BDC=60°， ∴∠DOE=30°， ∴2DE=OD， ∴2(x-4.5)=x-3， 解得x=6. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A，若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围． 【答案】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝＝8， ∵D是BC的中点， ∴AD＝BC＝5， ∵点B，D，C均在⊙A外， ∴0＜r＜5． 【题型4】点与圆的位置关系与最值问题 【典例】如图，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点P在以C(－2，0)为圆心，1为半径的☉C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值为 （      ）  A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接PB， ∵正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点， ∴点A与点B关于原点O对称， ∴OA＝OB， ∵点Q是AP的中点， ∴OQ是△ABP的中位线， ∴OQ＝PB， 当PB经过圆心C时，PB取得最大值，最大值为PC＋CB， 联立 解得或 ∴B， ∵C(－2，0)， ∴BC＝＝2， ∵点P在半径为1的☉C上运动， ∴PC＝1， ∴PC＋BC＝1＋2＝3， ∴OQ长的最大值为×3＝. 【举一反三1】如图，AB为☉O的直径，AB＝10，C，D为☉O上两动点(C，D不与A，B重合)，且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为 （      ）  A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】C 【解析】如图，延长CE交☉O于点J，连接DJ， ∵CE⊥AB， ∴CE＝EJ， ∵M是CD的中点， ∴CM＝DM， ∴EM＝DJ， ∴当DJ是直径时，EM的值最大， ∵☉O的直径AB＝10， ∴EM的最大值为5. 【举一反三2】(2025·安丘期末)如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是 A．a B．a-b C．a+b D．b 【答案】B 【解析】空间站A与星球B、飞船C在同一直线上且C在A，B之间时，S取到最小值为a-b. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=24，点D为线段BC上一动点.以CD为☉O直径，作AD交☉O于点E，连BE，则BE的最小值为　　　. 【答案】16 【解析】如图，连接CE， ∴∠CED=∠CEA=90°， ∴点E在以AC为直径的☉Q上， ∵AC=20， ∴QC=QE=10， 当点Q，E，B共线时，BE最小， ∵BC=24， ∴QB==26， ∴BE=QB-QE=16， ∴BE的最小值为16. 【举一反三4】如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为__________ cm． 【答案】 【解析】如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM， ∵四边形BCDE是正方形， ∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE， ∴△OCD≌△OBE（SAS）， ∴OE＝OD， 根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长， ∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°， ∴∠DCM＝∠BCM＝45°， ∵四边形BCDE是正方形， ∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM， 在△EMD和△EMB中， ， ∴△MED≌△MEB（SAS）， ∴DM＝BM＝＝＝2（cm）， ∴OD的最大值＝2+2，即OE的最大值＝2+2；故答案为：（2+2）cm． 【举一反三5】如图，点A表示一座风景秀美的小山，市政府计划以点A为中心，修建一个半径为12 km的“桃园山庄”.因此，在此范围内的其他建筑物将被拆除.从点A出发向东走8 km，再向南走6 km有一砖厂B，砖厂的正东3 km处有一古塔C，问砖厂和古塔是否需要拆除？ 【答案】解　如图，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为E，F， 由题意得AE=8 km，BE=CF=6 km，AF=8+3=11(km)， ∴AB===10(km)， AC===(km)， ∵10<12，>=12， ∴砖厂需要拆除，古塔不需要拆除. 【题型5】点与圆位置关系的实际应用 【典例】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【答案】A 【解析】∵OA， ∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内， OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内， OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内， OH2OA，所以点H在⊙O外， 故选：A． 【举一反三1】雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　　） A．G点 B．H点 C．M点 D．N点 【答案】B 【解析】如图，观察图象可知，能被雷达监测到的最远点为点H． 故选：B． 【举一反三2】有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在墙面BA，BC上，梯子MN的长度始终保持不变，MN＝6，老鼠E在MN的中点处，猫在D点处，它到墙面BA，BC的距离分别为4和3．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 __________． 【答案】2． 【解析】如图，连接BE，BD． 由题意BD5， ∵∠MBN＝90°，MN＝6，EM＝NE， ∴BEMN＝3， ∴点E的运动轨迹是以B为圆心，3为半径的弧， ∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小， ∴DE的最小值为5﹣3＝2. （也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2确定最小值） 故答案为2． 【举一反三3】如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【解析】解：如图， 【举一反三4】如图，在A地往北90m的B处有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑．因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭受破坏，爆破影响的半径应控制在什么范围之内？ 【答案】解：∵AB＝90m，AC＝120m， ∴BC150（m）． ∵D是BC的中点， ∴AD＝75m． 为使民房，变电设施，古建筑都不遭到破坏，半径应比AB，AC，AD都小． 所以半径应控制在75m内． 学科网（北京）股份有限公司 $