24.4 一元二次方程的应用 题型专练 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 24.4 一元二次方程的应用 题型专练 【题型1】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】为推动产业转型升级，平凉市某企业从深圳引进工业机器人的生产线．项目方测算：若月试产产值为万元，在，两月连续保持月平均增长率，则月产值可达万元．根据题意，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高.据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套. 假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为__________. 【举一反三2】“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率． 【题型2】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】中秋节当天,小明将收到的一条短信发送给若干人,每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时包括小明在内收到这条短信的人共有133人,那么小明发送短信的人数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 【举一反三1】某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【举一反三2】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加聚会的人数为__________． 【举一反三3】2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【题型3】一元二次方程的实际应用-与图形有关的问题 【典例】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（  ） A．12 B．18 C．20 D．12或20 【举一反三1】某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（  ） A．10米 B．12米 C．15米 D．不存在 【举一反三2】如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处(墙长42米)用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.则AB＝__________ 米. 【举一反三3】如图,在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2,道路的宽应为多少? 【举一反三4】如图,某小区计划在一个长为40 m、宽为26 m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草。若要使每一块草坪的面积为144 m2,求甬路的宽。 【题型4】一元二次方程的实际应用-数字问题 【典例】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原数中较大的两位数是(  ) A．95 B．59 C．26 D．62 【举一反三1】一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是(  ) A．25 B．36 C．47 D．59 【举一反三2】已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是__________. 【举一反三3】一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是__________． 【举一反三4】一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，则原两位数是多少？ 【举一反三5】一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数. 【题型5】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程为 A．64(1＋x2)＝81 B．64(1－x)2＝81 C．81(1－x)2＝64 D．64(1＋x)＝81 【举一反三1】已知某种盆花，若每盆植3株时，平均每株盈利8元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，要使每盆的盈利达到30元，每盆应多植多少株?如果设每盆多植x株，那么可以列出的方程是__________． 【举一反三2】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【题型6】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为__________． 【举一反三2】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了__________秒． 【举一反三3】甲、乙两船同时从A处出航，甲船以30千米/小时的速度向正北航行，乙船以每小时比甲船快10千米的速度向正东航行，则几小时后两船相距100千米？ 【题型7】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.则羊的只数为(　　) A．12 B．11 C．10 D．9 【举一反三1】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)，若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为(  ) A．32 B．126 C．135 D．144 【举一反三2】如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】某社区在开展“美化社区,幸福家园”活动中,计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分,两边足够长),用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两边).若在直角墙角内点P处有一棵桂花树,且与墙BC,CD的距离分别是10米和30米,要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积__________(填“能”或“不能”)为625平方米.  【举一反三4】如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为__________． 【举一反三5】2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为48，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【题型8】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三2】如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【举一反三3】如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝6 cm. (1)AC＝__________cm；  (2)现有动点P从点A出发,沿线段AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB向点B方向运动,如果点P的速度是1 cm/s,点Q的速度是2 cm/s.P,Q两点同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,另一点停止运动.设运动时间为t s.当t＝__________时,PQ平分△ABC的面积.  【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2?(AB=6 cm,BC=8 cm). 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）． (1) 当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？ (2) 当t为何值时，PQ的长为？ 【题型9】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（  ） A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱 【举一反三1】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感．即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比．按此比例，如果雕像高，设雕像的下部高为，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 【举一反三2】如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 【举一反三3】《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，其步骤为： 第一步：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形． 第二步：∵大正方形的面积＝24×4+25＝121， ∴大正方形的边长＝11． 第三步：列出方程x+（x+5）＝11，解得x＝3． ∴方程x（x+5）＝24的正数解为x＝3． 小明按此方法解关于x的方程x2+mx＝n时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为  __________ 【举一反三4】把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式，已知当足球踢出后4秒回到地面． (1)求a的值． (2)若该足球踢出t秒后和秒后，足球的高度相同，求t的值． (3)是否有可能该足球踢出秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明． 冀教版（2024）九年级上册 24.4 一元二次方程的应用 题型专练（参考答案） 【题型1】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】为推动产业转型升级，平凉市某企业从深圳引进工业机器人的生产线．项目方测算：若月试产产值为万元，在，两月连续保持月平均增长率，则月产值可达万元．根据题意，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在，两月连续保持月平均增长率， 根据题意得， 故选：A． 【举一反三1】受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高.据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套. 假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为__________. 【答案】100(1＋x)2=169 【解析】解：由题意可得100(1＋x)2=169. 【举一反三2】“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率． 【答案】解：设该品牌头盔月销售量的平均增长率为x， 依题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔月销售量的平均增长率为20%． 【题型2】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】中秋节当天,小明将收到的一条短信发送给若干人,每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时包括小明在内收到这条短信的人共有133人,那么小明发送短信的人数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【解析】设小明发送短信给x个人, 1＋x＋x2＝133, 解得x1＝11,x2＝－12(不符合题意,舍去), 所以小明发短信给11个人. 【举一反三1】某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】B 【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了18个人， 故选B． 【举一反三2】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加聚会的人数为__________． 【答案】 【解析】设参加聚会的人数为人， 根据题意得：， 整理，可得：， 解得：， 不合题意，舍去， 则参加聚会的人数为人， 故答案为：． 【举一反三3】2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【答案】解：设一共有x个球队参赛， 根据题意得：， 整理得：x2-x-132=0， 解得：x1=12，x2=-11（不符合题意，舍去）， 答：一共有12个球队参赛． 【题型3】一元二次方程的实际应用-与图形有关的问题 【典例】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（  ） A．12 B．18 C．20 D．12或20 【答案】A 【解析】解：设草坪BC的长为x米，则宽为， 由题意得，x•＝120， 解得：x1＝12，x2＝20， ∵墙为16米， ∴x＝20不合题意． 故x＝12． 故选：A． 【举一反三1】某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（  ） A．10米 B．12米 C．15米 D．不存在 【答案】C 【解析】设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（49+1﹣2x）米， 由题意列方程可得：x（49+1﹣2x）＝300， 解得x1＝10，x2＝15， 当菜地垂直于墙的一边的长为10米时，平行于墙的一边的长为30米，大于墙长的22米， 所以菜地垂直于墙的一边的长为15米． 故选：C． 【举一反三2】如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处(墙长42米)用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.则AB＝__________ 米. 【答案】11 【解析】设仓库的宽AB为x米，则仓库的长为(84－4x)米， 由题意得x(84－4x)＝440， ∴x1＝10，x2＝11， 当x＝10时，84－4x＝44>42（不符合题意，舍去）， 当x＝11时，84－4x＝40<42（符合题意）， 故AB为11米. 【举一反三3】如图,在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2,道路的宽应为多少? 【答案】解:设道路的宽应为x(m), 由题意,得(50-2x)(38-2x)=1 260, 解得x1=4,x2=40(不合题意,舍去), ∴x=4. 答:道路的宽应为4 m. 【举一反三4】如图,某小区计划在一个长为40 m、宽为26 m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草。若要使每一块草坪的面积为144 m2,求甬路的宽。 【答案】:设甬路的宽为x(m),根据题意,得(40-2x)(26-x)=144×6, 整理,得x2-46x+88=0, 解得x1=44,x2=2, 当x=44时不符合题意,故舍去, ∴x=2。 答:甬路的宽为2米。 【题型4】一元二次方程的实际应用-数字问题 【典例】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原数中较大的两位数是(  ) A．95 B．59 C．26 D．62 【答案】D 【解析】解：令个位为y，十位为x，则数为10x＋y，且x－4=y，交换位置后，数字为10y＋x，则(10x＋y)×(10y＋x)=1612，即(11x－4)×(11x－40)=1612， 解得x=6，10x＋y=60＋(6－4)=62. 故这个两位数是62. 【举一反三1】一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是(  ) A．25 B．36 C．47 D．59 【答案】C 【解析】设十位数字为x， 10x+(x+3)+2＝(x+3)2， x＝1或x＝4， 所以这个两位数为14或47. 故选：C． 【举一反三2】已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是__________. 【答案】25或36 【解析】解：设这个两位数的个位数字是x，则十位数字是(x－3)，由题意得x2=10(x－3)＋x解得x1=5，x2=6，当x=5时，x－3=2，当x=6时，x－3=3.所以，这个两位数是25或36. 【举一反三3】一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是__________． 【答案】 【解析】设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，依题意列方程得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴这个两位数为32， 故答案为：32． 【举一反三4】一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，则原两位数是多少？ 【答案】解：设十位数字为x，则个位数字为(x＋4)，这个两位数可表示为10x＋(x＋4)=11x＋4，对调后的两位数十位数字为(x＋4)，个位数字为x， 所得两位数可表示为10(x＋4)＋x=11x＋40， 由题意可得(11x＋4)(11x＋40)=765， 解得x1=1，x2=－5(舍去). x＋4=1＋4=5. 所以，这个两位数为15. 【举一反三5】一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数. 【答案】解：设个位数字为，则十位数字为. 得， ∴这个两位数为36或63. 【题型5】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程为 A．64(1＋x2)＝81 B．64(1－x)2＝81 C．81(1－x)2＝64 D．64(1＋x)＝81 【答案】C 【举一反三1】已知某种盆花，若每盆植3株时，平均每株盈利8元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少1元，要使每盆的盈利达到30元，每盆应多植多少株?如果设每盆多植x株，那么可以列出的方程是__________． 【答案】 【解析】根据题意可得． 故答案为：． 【举一反三2】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为， ， ， 解得：，（舍， 该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个， 则， ， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个. 【题型6】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【举一反三1】望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为__________． 【答案】 【解析】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 【举一反三2】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了__________秒． 【答案】 【解析】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【举一反三3】甲、乙两船同时从A处出航，甲船以30千米/小时的速度向正北航行，乙船以每小时比甲船快10千米的速度向正东航行，则几小时后两船相距100千米？ 【答案】解：设x小时后相距100km，得：(30x)2＋(40x)2=1002， 解得：x1=2,x2=－2(不合题意，舍去)， 答：2小时后两船相距100千米. 【题型7】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.则羊的只数为(　　) A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【解析】设羊的只数为x,则头数加只数为2x,只数减头数为0,只数乘头数为x2,只数除头数为1, 根据题意x2＋2x＋1＝100, 解得x1＝9,x2＝－11(不符合题意,舍去). 【举一反三1】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)，若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为(  ) A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D 【解析】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x＋16，根据题意得出x(x＋16)=192，解得x1=8，x2=－24(不合题意舍去)，故最小的三个数为8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为22，23，24，故这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24=144. 【举一反三2】如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【举一反三3】某社区在开展“美化社区,幸福家园”活动中,计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分,两边足够长),用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两边).若在直角墙角内点P处有一棵桂花树,且与墙BC,CD的距离分别是10米和30米,要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积__________(填“能”或“不能”)为625平方米.  【答案】不能 【解析】设AB＝x米,则AD＝(50－x)米, 由题意得x(50－x)＝625, 整理得x2－50x＋625＝0, 解得x1＝x2＝25, ∴AD＝50－x＝50－25＝25(米)<30米, ∴要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),花园的面积不能为625平方米. 【举一反三4】如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为__________． 【答案】 【解析】设水渠的宽度为， 空地的长为：， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 则水渠的宽度为， 故答案为：． 【举一反三5】2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为48，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】解：设这个最小数为x,则最大数为（x+8）， 依题意得：x（x+8）=48， 整理得：x2+8x-48=0， 解得：x1=4，x2=-12（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为4． 【题型8】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当运动时，，，， ∵， ∴， 即． 故选：D. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：由题意得：（16﹣2t）（12﹣2t）＝××16×12， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t＝2或t＝12， 当t＝2时，16﹣2t＝12，12﹣2t＝8，符合题意； 当t＝12时，16﹣2t＝﹣8，12﹣2t＝﹣12，不符合题意，舍去； ∴t＝2， 故选：B． 【举一反三2】如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 不符合题意，舍去， 秒时的面积是． 故选：B． 【举一反三3】如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝6 cm. (1)AC＝__________cm；  (2)现有动点P从点A出发,沿线段AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB向点B方向运动,如果点P的速度是1 cm/s,点Q的速度是2 cm/s.P,Q两点同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,另一点停止运动.设运动时间为t s.当t＝__________时,PQ平分△ABC的面积.  【答案】(1)8　(2)2 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝6 cm, ∴AC＝＝8(cm). (2)8÷1＝8(s),6÷2＝3(s). 当运动时间为t(0<t≤3)s时,AP＝t cm,CP＝(8－t)cm,CQ＝2t cm, 根据题意得CP·CQ＝×AC·BC, 即×2t·(8－t)＝××8×6, 整理得t2－8t＋12＝0, 解得t1＝2,t2＝6(不符合题意,舍去), ∴t＝2时,PQ平分△ABC的面积. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2?(AB=6 cm,BC=8 cm). 【答案】解：设经过x秒， 则， ， 答：经过2秒或4秒△PBQ的面积等于8 cm2 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）． (1) 当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？ (2) 当t为何值时，PQ的长为？ 【答案】解： (1) 根据题意知BQ＝2t cm，AP＝t cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∴， ∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴， ∵△PBQ的面积是△ABC面积的， ∴， ∴﹣t2+6t＝5， 解得t1＝1，t2＝5（舍去）． ∴当t为1时，△PBQ的面积是△ABC面积的； (2) 设t秒后，PQ的长度等于， 根据勾股定理，得PQ2＝BP2+BQ2，即， 整理得，5t2﹣12t+4＝0， 解得t1＝2，． ∴当t为或2时，PQ的长度等于． 【题型9】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（  ） A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱 【答案】B 【解析】解：设这批椽的数量为，则每株椽的价格为， 依题意得：． 故x表示这批橡的数量， 故选：B． 【举一反三1】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感．即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比．按此比例，如果雕像高，设雕像的下部高为，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设雕像下部高为，则雕像上部高为， 根据题意得：即． 故选：B． 【举一反三2】如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】2.04 【解析】根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过2.04 s落回地面． 故答案为：2.04． 【举一反三3】《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，其步骤为： 第一步：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形． 第二步：∵大正方形的面积＝24×4+25＝121， ∴大正方形的边长＝11． 第三步：列出方程x+（x+5）＝11，解得x＝3． ∴方程x（x+5）＝24的正数解为x＝3． 小明按此方法解关于x的方程x2+mx＝n时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为  __________ 【答案】1 【解析】∵ x 2+ mx﹣n＝0， ∴ x（x+m）＝n， ∴图中长方形的长为（x+ m ），宽为x， ∴图中小正方形的边长为x+m﹣ x ＝m＝2， 大正方形的边长为 x +m+ x ＝2 x + m ＝4， ∴x＝1， 故答案为：1． 【举一反三4】把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式，已知当足球踢出后4秒回到地面． (1)求a的值． (2)若该足球踢出t秒后和秒后，足球的高度相同，求t的值． (3)是否有可能该足球踢出秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明． 【答案】解：（1）由题意得：当时，． ． 解得：； （2）由（1）得：， ∵踢出t秒后和秒后，足球的高度相同 ∴， 解得：； （3）由题意得：． ． 解得：（不合题意，舍去）． 没有可能该足球踢出秒后的高度比踢出秒后的高度高18米． 学科网（北京）股份有限公司 $