26.4 解直角三角形的应用 题型专练 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 26.4 解直角三角形的应用 题型专练 【题型1】解直角三角形的应用——长度、高度、宽度问题 【典例】如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（ ）. A． B． C． D． 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为__________m. 【举一反三2】一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 __________ ． 【举一反三3】如图1，是公园里的木制长椅子，将其抽象为图2，AF∥ED∥BC，其中，∠F＝114°，∠A=74°，∠D=64°，AB=148 cm，BC=42 cm，CD=84 cm.(结果精确到小数点后一位) (1)求直线EF与直线CD所成锐角的度数； (2)求椅子的宽度(A，D两点的水平距离). (参考数据：sin 74°≈0.961，cos 74°≈0.276，tan 74°≈3.487，sin 64°≈0.899，cos 64°≈0.438，tan 64° ≈2.050) 【举一反三4】某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【题型2】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典例】如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8 m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是 （      ）  A．(8＋8)m B．(8＋8)m C．m D．m 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是 （      ）  A．8(3－)m B．8(3＋)m C．6(3－)m D．6(3＋)m 【举一反三2】如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为(　　) A．50米 B．100米 C．50(＋1)米 D．50(－1)米 【举一反三3】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为__________ 米.（结果保留根号） 【举一反三4】如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度.(结果取整数，参考数据：tan 35°≈0.70，tan 42°≈0.90) 【举一反三5】数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了记录表格. (结果精确到0.1 m，参考数据：tan 71.6°≈3.0，tan 54.5°≈1.4) 【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 【典例】在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1 000 m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C，此时小霞在营地A的 （      ）  A．北偏东20°方向上 B．北偏东30°方向上 C．北偏东40°方向上 D．北偏西30°方向上 【举一反三1】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长(　　) A．2 km B．(2＋)km C．(4－2) km D．(4－) km 【举一反三2】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，测船C离海岸线l的距离(即CD的长为)__________km. 【举一反三3】木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示. 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：∠PAB＝　　　　°，∠APC＝　　　　°，AB＝　　　　海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明. (参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典例】为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度i=1∶的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为(　　) A． m B．2 m C．4 m D．4 m 【举一反三1】如图，已知滑坡AB的坡度是1∶3，滑坡的水平宽度AC是12 m，则高BC是(　　) A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m 【举一反三2】一辆汽车沿着一山坡行驶了1 300米，其垂直高度上升了500米，则山坡的坡度是__________ . 【举一反三3】(课本P3例1)如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 【举一反三4】如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝6 m. (1)求∠CAE的度数； (2)求这棵大树折断前的高度？ (结果精确到个位，参考数据：＝1.4，＝1.7，＝2.4)． 冀教版（2024）九年级上册 26.4 解直角三角形的应用 题型专练（参考答案） 【题型1】解直角三角形的应用——长度、高度、宽度问题 【典例】如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图1，连接装置，连接装置与水平方向的夹角，， ∴每一层打开前的高度为， 如图2，连接装置，连接装置与水平方向的夹角（锐角），， ∴每一层打开后的高度为， ∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加了 ， 故选：C. 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为__________m. 【答案】(50-) 【解析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N.则AB＝MN，AM＝BN.在直角△ACM，∵∠ACM＝45°，AM＝50 m，∴CM＝AM＝50 m.∵在直角△BCN中，∠BCN＝∠ACB＋∠ACD＝60°，BN＝50 m，∴CN＝＝＝(m)，∴MN＝CM－CN＝50- (m)．则AB＝MN＝(50-)m.故答案是(50-)． 【举一反三2】一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 __________ ． 【答案】 【解析】由题意，作 于， 于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在 中， ， ． 故答案为：． 【举一反三3】如图1，是公园里的木制长椅子，将其抽象为图2，AF∥ED∥BC，其中，∠F＝114°，∠A=74°，∠D=64°，AB=148 cm，BC=42 cm，CD=84 cm.(结果精确到小数点后一位) (1)求直线EF与直线CD所成锐角的度数； (2)求椅子的宽度(A，D两点的水平距离). (参考数据：sin 74°≈0.961，cos 74°≈0.276，tan 74°≈3.487，sin 64°≈0.899，cos 64°≈0.438，tan 64° ≈2.050) 【答案】解　(1)分别延长FE，DC，交于点M，如图， ∵AF∥ED， ∴∠FED=∠F=114°， ∴∠DEM=180°-∠FED=66°. ∵∠D=64°， ∴∠EMD=180°-∠DEM-∠D=180°-66°-64°=50°， 即直线EF与直线CD所成的锐角为50°. (2)如图，分别过点A，D作AG，DH垂直于直线BC，垂足分别为G，H， ∵AF∥ED∥BC， ∴∠ABG=∠BAF=74°，∠DCH=∠EDC=64°， 在Rt△ABG中，AB=148 cm， ∴GB=AB·cos 74°≈148×0.276=40.848(cm)， 在Rt△DCH中，CD=84 cm， ∴CH=CD·cos 64°≈84×0.438=36.792(cm)， ∵BC=42 cm， ∴GH=GB+BC+CH=40.848+42+36.792=119.64≈119.6(cm)， ∴椅子的宽度约为119.6 cm. 【举一反三4】某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 【题型2】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典例】如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8 m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是 （      ）  A．(8＋8)m B．(8＋8)m C．m D．m 【答案】D 【解析】在Rt△EBC中，有BE＝EC·tan 45°＝8(m)， 在Rt△AEC中，有AE＝EC·tan 30°＝(m)， ∴AB＝BE＋AE＝m. 【举一反三1】如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是 （      ）  A．8(3－)m B．8(3＋)m C．6(3－)m D．6(3＋)m 【答案】A 【解析】设AD＝x m，∵AB＝16 m，∴BD＝AB－AD＝(16－x)m. 在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD·tan 45°＝x(m). 在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan 60°＝， ∴x＝24－8. ∴这棵树CD的高度是(24－8)m＝8(3－)m. 【举一反三2】如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为(　　) A．50米 B．100米 C．50(＋1)米 D．50(－1)米 【答案】C 【解析】在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴＝tan30°＝，∴BC＝AB.设AB＝x(米)，∵CD＝100，∴BC＝x＋100.∴x＋100＝x∴x＝50(＋1)，即塔AB的高为50(＋1)m.故选C. 【举一反三3】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为__________ 米.（结果保留根号） 【答案】(30－10) 【解析】由题意知∠BAC＝90°－45°＝45°，△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，AB＝30米， ∴BC＝AB·tan 45°＝30（米）， ∵∠BAD＝90°－60°＝30°，tan∠BAD＝， ∴BD＝AB·tan 30°＝30×＝10（米）， ∴CD＝BC－BD＝(30－10)米. 【举一反三4】如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度.(结果取整数，参考数据：tan 35°≈0.70，tan 42°≈0.90) 【答案】解　如图，根据题意，BC＝32，∠APC＝42°，∠APB＝35°. 在Rt△PAC中，tan∠APC＝， ∴PA＝. 在Rt△PAB中，tan∠APB＝， ∴PA＝. ∵AC＝AB＋BC， ∴. ∴AB＝≈＝112(m). ∴这座山AB的高度约为112 m. 【举一反三5】数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了记录表格. (结果精确到0.1 m，参考数据：tan 71.6°≈3.0，tan 54.5°≈1.4) 【答案】解　如图，过点B作BF⊥CD于点F，则四边形BFDE为矩形， ∴FB＝ED＝4＋AD，FD＝BE＝3 m. 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，α＝71.6°， ∴tan α＝≈3.0. ∴CD＝3AD. 设AD长为x，则CD长为3x，CF＝3x－3，FB＝4＋x， 在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，β＝54.5°， ∴tan β＝≈1.4， ∴＝1.4. ∴x＝5.375. ∴CD＝3x≈16.1. ∴电梯楼CD的高度约为16.1 m. 【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 【典例】在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1 000 m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C，此时小霞在营地A的 （      ）  A．北偏东20°方向上 B．北偏东30°方向上 C．北偏东40°方向上 D．北偏西30°方向上 【答案】C 【解析】如图，从A点沿北偏东70°的方向走到B，则∠BAD＝70°， 从B点沿北偏西20°的方向走到C，则∠EBC＝20°， 又∵∠BAF＝90°－∠DAB＝90°－70°＝20°， ∴∠1＝90°－20°＝70°， ∴∠ABC＝180°－∠1－∠CBE＝180°－70°－20°＝90°， ∵AC＝1 000 m，BC＝500 m， ∴sin∠CAB＝， ∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝∠BAD－∠CAB＝40°， 故小霞在营地A的北偏东40°方向上. 【举一反三1】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长(　　) A．2 km B．(2＋)km C．(4－2) km D．(4－) km 【答案】C 【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C. 【举一反三2】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，测船C离海岸线l的距离(即CD的长为)__________km. 【答案】 【解析】根据题意，得∠CAD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°，∴∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝2 km，在Rt△CBD中，CD＝BC·sin 60°＝2×＝(km)． 【举一反三3】木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示. 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：∠PAB＝　　　　°，∠APC＝　　　　°，AB＝　　　　海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明. (参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 【答案】解　(1)如图，过点P作PD⊥AC于点D，则△APD，△BPD，△CPD都是直角三角形. 由题意可知，∠APD＝60°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°， ∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD＋∠CPD＝60°＋15°＝75°. 由题意可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处所用时间为30分钟， 即半小时，故AB＝×10＝5（海里）. (2)在Rt△BPD中，∠BPD＝45°，∴∠PBD＝45°. ∴BD＝PD. 在Rt△APD中，∠APD＝60°， ∴∠A＝30°，tan∠APD＝，cos∠APD＝. ∴AD＝PD，AP＝2PD. ∵AB＝AD－BD，∴PD－PD＝5. ∴PD＝BD＝. ∴AP＝2PD＝5(＋1)， 在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝75°， ∴∠C＝180°－∠A－∠APC＝75°. ∴∠C＝∠APC.∴AC＝AP＝5(＋1). 设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10， ∴CE＝AC－AE＝5(＋1)－10＝5－5≈3.65<5. ∴该渔船会进入“海况异常”区. 【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典例】为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度i=1∶的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为(　　) A． m B．2 m C．4 m D．4 m 【答案】C 【解析】由题意得=， 即BC=AC=×2=2(m)， 由勾股定理得AB===4(m). 【举一反三1】如图，已知滑坡AB的坡度是1∶3，滑坡的水平宽度AC是12 m，则高BC是(　　) A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m 【答案】C 【解析】由题意可得=， ∵AC=12 m，∴BC=4 m. 【举一反三2】一辆汽车沿着一山坡行驶了1 300米，其垂直高度上升了500米，则山坡的坡度是__________ . 【答案】5∶12 【解析】如图，AB为上坡的距离，AC为上升高度. 根据题意，它水平移动的距离是＝1 200（米）， 那么山坡的坡度＝500∶1 200＝5∶12. 【举一反三3】(课本P3例1)如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 【答案】解　甲梯中， tan α＝. 乙梯中， tan β＝. 因为tan α>tan β，所以甲梯更陡. 【举一反三4】如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝6 m. (1)求∠CAE的度数； (2)求这棵大树折断前的高度？ (结果精确到个位，参考数据：＝1.4，＝1.7，＝2.4)． 【答案】解　(1)延长BA交EF于点G，在Rt△AGE中， ∵∠E＝23°，∴∠GAE＝67°. 又∵∠BAC＝38°， ∴∠CAE＝180°－67°－38°＝75°. (2)过点A作AH⊥CD，垂足为H.在△ADH中， ∵∠ADC＝60°，AD＝6 m， ∴DH＝AD·cos ∠ADC＝6cos 60°＝3，AH＝AD·sin ∠ADC＝6sin 60°＝3. 在Rt△ACH中，∠C＝180°－75°－60°＝45°， ∴CH＝AH＝3，∴AC＝＝＝3， ∴AB＝AC＋CD＝3＋3＋3≈15(米)． 答：这棵大树折断前高约15米． 学科网（北京）股份有限公司 $