专题3.6 一元一次不等式（章节复习）（知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

本讲义系统梳理一元一次不等式及不等式组的核心知识点，从不等式的意义、基本性质、解法到实际应用形成完整脉络，通过10个知识点的表格归纳（如不等号意义、解法步骤）搭建学习支架，覆盖概念理解、求解方法及综合应用全流程。 资料特色在于分层设计与素养融合，24个考点讲练通过典例精讲与变式训练培养推理能力，实际应用问题（如经济分配、几何问题）强化模型意识，中考真题与难度分层（基础夯实、培优拔高）适配不同学生，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺提升应用意识。

专题3.6 一元一次不等式（章节复习） （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：不等式的意义 2 知识点梳理02：列不等式 2 知识点梳理03：不等式的基本性质 3 知识点梳理04： 一元一次不等式的概念 3 知识点梳理05：不等式的解集 4 知识点梳理06：一元一次不等式的解法 4 知识点梳理07： 一元一次不等式的实际应用 5 知识点梳理08：一元一次不等式组的概念 5 知识点梳理09： 不等式组的解 5 知识点梳理10：一元一次不等式组的解法 6 优选题型 考点讲练 6 考点1 不等式的定义 6 考点2 不等式的性质 6 考点3 一元一次不等式的定义 7 考点4 不等式的解集 8 考点5 求一元一次不等式的解集 9 考点6 求一元一次不等式的整数解 10 考点7 在数轴上表示不等式的解集 11 考点8 求一元一次不等式解的最值 12 考点9 解≥a型的不等式 13 考点10 列一元一次不等式 16 考点11 用一元一次不等式解决实际问题 17 考点12 用一元一次不等式解决几何问题 19 考点13 一元一次不等式组的定义 21 考点14 求不等式组的解集 22 考点15 求一元一次不等式组的整数解 23 考点16 由一元一次不等式组的解集求参数 25 考点17 由不等式组解集的情况求参数 27 考点18 不等式组和方程组结合的问题 29 考点19 列一元一次不等式组 31 考点20 不等式组的经济问题 32 考点21 不等式组的分配问题 33 考点22 不等式组的方案选择问题 35 考点23 不等式组的阶梯收费问题 37 考点24 一元一次不等式组的其他应用 38 中考真题 实战演练 41 难度分层 拔尖冲刺 43 基础夯实 43 培优拔高 46 知识点梳理01：不等式的意义 1.不等式：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式. 2.不等号：这些用来连接的符号统称不等号. 说明：有些不等式中不含未知数，如 3<4；有些不等式中含有未知数，如 2y<1 . 3.常见不等号及实际意义： 名称 符号 读法 实际意义 举例 小于号 ＜ 小于 小于、不足、低于、少于 −2<3 大于号 ＞ 大于 大于、高出、超过、多于 3>1 小于等于号 ≤ 小于或等于 不大于、不超过、至多、最多 x≤3 大于等于号 ≥ 大于或等于 不小于、不低于、至少、最少 x≥−6 不等于号 ≠ 不等于 不相等 3≠4 知识点梳理02：列不等式 1.用不等式表示不等关系的一般步骤： （1）找准题中表示不等关系的量； （2）正确理解题中表示不等关系的词语，如多、少、快、慢、超过、不足等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的量连接起来. 2.常见不等式的基本语言与符号表示： 不等式的基本语言 符号表示 不等式的基本语言 符号表示 是正数 不大于 ≤ 是负数 ＜0 不小于 ≥ 是非负数 ≥0 不等于 ≠ 是非正数 ≤0 ,同号 >0 或 >0 大于 ＞ ，异号 <0 或 <0 小于 ＜ 知识点梳理03：不等式的基本性质 基本性质 文字内容 字母表示 不等式的基本性质1（不等式的传递性） a<b ，b<c⇒a<c . 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立. a>b⇒a+c>b+c ，a-c>b-c ； a<b⇒a+c<b+c ， a-c<b-c . 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立. a>b ，且c>0⇒ac>bc， > ； a>b ，且c<0⇒ac<bc， < . 知识点梳理04： 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式的辨识关键点： （1）两边都是整式. （2）只含有一个未知数. （3）未知数的最高次数为一次. （4）用不等号连接. 注意 它与一元一次方程的最大区别在于一个是不等式，一个是等式. 知识点梳理05：不等式的解集 1.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解. 2.解不等式：利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形成“x>a<”（或“x≥a”），“x<a”（或“x≤a”）的形式. 注意 “某些数是不等式的解”与“不等式的解是某些数”是两个不同的概念.如“4是 x>3的解”是正确的，而“x>3的解是4”是错误的. 知识点梳理06：一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤如下表： 步骤 具体做法 根据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的基本性质3. （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 一般先去小括号再去中括号，最后去大括号. 单项式乘多项式法则. 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的基本性质2. （1）所移的项要改变符号，不移的项不改变符号；（2）移项时，不等号的方向不改变. 合并同类项 同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变，得ax>b(ax≥b) 或 ax<b(ax≤b)(a≠0) 合并同类项法则. 系数化为1 不等式的两边都除以 a （或乘 ），将不等式化为或 的形式. 不等式的基本性质3. 当不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变. 注意: 当 a<0 时，不等式中不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处. 知识点梳理07： 一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式解决实际问题. 列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤如下表： 步骤 具体做法 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的不等关系. 抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等. 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现. 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一. 解 解不等式，求出其解集. 不等号的方向不要出错. 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义. 答 写出答案. 应把表示不等关系的文字补上. 知识点梳理08：一元一次不等式组的概念 1.一元一次不等式组：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.例如 2.一元一次不等式组的辨识关键点： （1）不等式的个数不少于2个. （2）每个不等式都是一元一次不等式. （3）含有同一个未知数. 知识点梳理09： 不等式组的解 1.不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解. 注意 不等式组的解必须满足每一个不等式. 2.一元一次不等式组的解在数轴上的表示： 不等式组 (a>b) 不等式①②的解集在数轴上的表示 不等式组的解 > < 无解 <<a 巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找 知识点梳理10：一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤： （1）依次解各个一元一次不等式； （2）把各个一元一次不等式的解分别表示在同一条数轴上； （3）根据解在数轴上表示的公共部分确定不等式组的解. 考点1 不等式的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【规范解答】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【规范解答】解：由题意得，． 故答案为：． 考点2 不等式的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是假命题的是 （    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例． 根据命题的真假的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A． 对顶角相等，是真命题； B． 两直线平行，同位角相等，是真命题； C． 全等三角形的面积相等，是真命题； D．若，则是假命题,如 当时，满足，但此时． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 【规范解答】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 考点3 一元一次不等式的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【规范解答】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可． 【规范解答】解：∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴ 的次数必须为 1，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为2． 考点4 不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式是解答本题的关键．根据分式有意义的条件列出不等式，然后再求解即可． 【规范解答】解：由题意得，即． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·广西·阶段练习）已知的三条边长均为正整数，，，则的长度可能是 ．（只填写一种情况即可） 【答案】2（或3或4）． 【思路点拨】本题考查三角形的三边关系，不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系得出不等式求解即可． 【规范解答】解：由三角形的三边关系，得 ， 即， ∵的三条边长均为正整数， ∴． 故答案为：2（或3或4）． 考点5 求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，化简： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的解法和绝对值的化简，先通过解不等式确定的取值范围，进而判断绝对值内代数式的符号是解题的关键． 先解一元一次不等式得到的取值范围，再根据取值范围判断绝对值内的代数式的符号，从而化简含绝对值的式子． 【规范解答】解：解不等式：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， ∵， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·月考）求不等式的负整数解． 【答案】 ，， 【思路点拨】本题考查一元一次不等式的求解，先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【规范解答】解： ， 两边同乘6，得， 去括号，得， 合并同类项，得 ， 移项，得， 两边同除以，不等号方向改变，得，即 ， ∴该不等式的负整数解为，，． 考点6 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【规范解答】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【规范解答】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 考点7 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项求解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）利用不等式的基本性质，乘以负数不等号方向改变，从而比较大小 【规范解答】解：（1） 去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得，， 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． （2），理由如下： 因此， 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，先求出一元一次不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：去分母可得：， 解得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：B． 考点8 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南长沙·月考）已知，且，求的最大值． 【答案】17 【思路点拨】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键． 通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ①+②得：④， ①+③得：⑤，即， ④+⑤得：，即， 将、代入得：， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为17． 【变式训练】（24-25八年级上·山东淄博·月考）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【规范解答】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 考点9 解≥a型的不等式 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查求不等式的解集，熟练掌握题干中的求解方法，是解题的关键： （1）仿照题干，作答即可； （2）仿照题干，作答即可； （3）利用（2）中结论，得到①或②，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：的解集是或； （2）当时，不等式的解集是或； （3）由（2）可知，不等式， 可化为①或②， 解①得，，解②得，． 故不等式的解集为：或． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，此方程的“关联值”是 ； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)当时，探究方程是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)，； (3)2 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次不等式，理解新概念，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）当时，代入，求解，根据“关联值”的概念即可得解； （2）根据“关联值”的概念，分类讨论当，的4种情况即可得解； （3）将代入方程可得，求得， ．分，分类讨论，然后再确定是否有最小值即可． 【规范解答】（1）当时，， 解得， ， ， 此时方程的“关联值”为2； 故答案为∶ 2； （2）根据“关联值”为4，可分以下四种情况∶ ①当时，即， 解得， ，符合题意， 方程的解为； ②当时，即， 解得， ，符合题意， 方程的解为； ③当时，即， 解得， ， 不满足，“关联值” 实际应取，不符合 “关联值为” ，舍去． ④当时，即， 解得， ， 不满足，“关联值” 实际应取，不符合 “关联值为” ，舍去．  综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵方程 的解为， 将其代入方程可得， 变形为 ．   根据“关联值”定义，分两种情况讨论：   情况一：当时，“关联值”为 ．   把代入，即 ．   ∵， ∴， 不等式可简化为 ．   解这个不等式得： ； 此时“关联值”为 ∵，为非负数，且的最小值为（ 当时， ，满足 ， ∴“关联值”为．   情况二：当时 “关联值”为 ．   把代入，即 ．   因为，， 不等式变为 ．   解这个不等式得： 这与矛盾， 所以这种情况不存在． 当时，方程的最小“关联值”为2． 考点10 列一元一次不等式 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江衢州·期中）x与3的和小于6，用不等式表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列一元一次不等式，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）”、“不超过（不低于）”、“至少”、“最多”等等文字，正确选择相对应的不等号．x与3的和表示为，“小于”用符号“”表示，由此可得不等式． 【规范解答】x与3的和表示为，由题意可列不等式为：． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）“的2倍与1的差比3小”用不等式表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列不等式．根据题意，将文字描述转化为不等式表达式即可． 【规范解答】解：∵ 的2倍与1的差比3小， ∴ 该关系可表示为不等式：． 故答案为： 考点11 用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 (2)件 【思路点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键； （1）设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【规范解答】（1）解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 元 答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 （2）设购进件种文创产品，则购进件种文创产品，由题意得： 解得： 答：最多可以购进件种文创产品． 【变式训练】（25-26八年级上·山东威海·月考）2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【答案】(1)第一批进价40元，第二批进价50元 (2)元 【思路点拨】本题考查分式方程的实际应用及不等式的实际应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是y元，通过利润率不低于列不等式，求解范围即可． 【规范解答】（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元； 由题意得， 解得， 经检验为分式方程的解且符合题意， ， 答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元； （2）设每件T恤衫的标价是y元， 第一次购进件，第二次购进件， 利润为：， 利润率不低于， 则 解得， 答：每件T恤衫的标价至少是元． 考点12 用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)机器人变成彩色的总时长为8秒 【思路点拨】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得． 【规范解答】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，，且点在点的右侧， ∴点只能在点的右侧，位置如图所示： ∴， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数是． （3）解：∵点表示的数分别为， ∴， 由题意得：点从点运动到点所需时间为秒， ∴当时，点在上，点在点处，此时，即， ∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 令，解得． ①当时，点在点的左侧，未追上点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时，点与点重合，，符合题意； ③当时，点在点的右侧，超过点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色， ∴机器人变成彩色的总时长为（秒）， 答：机器人变成彩色的总时长为8秒． 【变式训练】（24-25八年级上·河北·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【思路点拨】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【规范解答】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 考点13 一元一次不等式组的定义 【典例精讲】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【规范解答】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 【答案】 【思路点拨】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【规范解答】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 考点14 求不等式组的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·期中）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解不等式、解不等式组． （1）先去括号，再移项合并同类项，系数化为1即可； （2）分别解两不等式，即可求出不等式组的解集． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组． （1）解一元一次不等式，按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为”的步骤进行，注意系数化为时，若系数为负数不等号方向改变， （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【规范解答】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解： 由①得：， 整理得：， 系数化为，得； 由②得：， 整理得：， 系数化为，得， 则不等式组的解集为：． 考点15 求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【规范解答】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期中）如果关于x的方程有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，先解关于的不等式组，得到解集并推导出有解的条件为；再解关于的方程，得到的表达式，要求有整数解，故是的因数，结合且，得到所有符合条件的整数，统计个数． 【规范解答】解：解不等式组， 解第一个不等式：，两边乘5得，即，； 解第二个不等式：，即，两边乘(不等号方向改变)得，即； 不等式组的解集为． 不等式组有解，当且仅当，解得，即． 解方程， 展开得， 移项得，即． 当时，． 方程有整数解，则为整数，故是4的因数，即， 解得． 结合且，得，共5个整数． 故答案为：． 考点16 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【规范解答】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期中）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程、不等式组整数解等知识，首先解方程得到，根据该方程的解为整数可知为奇数；再解不等式组，得到解集为且，由该不等式组有且仅有3个整数解确定，结合为奇数，得到或15，求和即可． 【规范解答】解：∵方程 的解为整数， 展开得，即， ∴为整数， 故为偶数， ∵5为奇数， ∴为奇数，即为奇数， 对于不等式组 ， 解不等式①，可得，即， ∴， 解不等式②，可得，两边乘5得， 即， ∴， ∴， 故该不等式组的解为且， ∵有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， ∴，即， ∴为整数，可能值为， 又∵为奇数，故或15， 当时，，为整数； 当时，，为整数． 且不等式组整数解均为，满足条件． ∴满足条件的整数和为． 故选：D． 考点17 由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·山东泰安·期中）若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多个整数解，求得的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得的值，最后求和即可． 【规范解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有个整数解， 所以， 解得：， ， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 当时，， ∵是分式方程的增根，此时分式方程无解， ∴，解得：， ∵方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， 又∵且，， ∴或或， ∴， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆云阳·期中）若关于的一元次不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为 ； 【答案】10 【思路点拨】此题考查已知一元一次不等式组集的情况求参数，解一元一次方程，先解不等式组，根据解集确定m的取值范围，再解关于y的方程，根据解为非负整数确定符合条件的整数m，最后求积 【规范解答】解：解第二个不等式 ，得 ， 解第一个不等式   ，得 ， 由于不等式组的解集为 ，故 ，解得 ， 解方程 ，得， 由y为非负整数，得 且为整数， 故 且 是3的倍数， 即 且 是3的倍数， 结合 且m为整数，得 ， 设 （k为非负整数），则 ，即 ， 要求m为整数，故 为偶数，即k为奇数， 代入 ，得 ，即 ，解得 ， k为非负奇数，故或3， 当时，； 当时，， 验证y值：当时，；当时，，均为非负整数， 故符合条件的整数m为2和5，积为 ， 故答案为10 考点18 不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东汕头·期中）若关于，的二元一次方程组的解都是正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握方程组的解法和绝对值的性质是解题的关键． （1）先通过解方程组求出、关于的表达式，再根据解都是正数列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围． （2）根据（1）中的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简式子． 【规范解答】（1）解：， 得， ， 把代入得， 解得， ∵ 方程组的解都是正数，即， ∴ ， 解得，， 解得， ∴ 的取值范围是； （2）解：∵ ， ∴ ，， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【规范解答】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 考点19 列一元一次不等式组 【典例精讲】（24-25八年级上·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【规范解答】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 考点20 不等式组的经济问题 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 【变式训练】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找出不等关系并列出不等式组是解题的关键． 根据总费用不超过3550元，购买篮球的数量多于购买足球的数量，列出不等式组，求解即可． 【规范解答】设购买篮球个，则购买足球个，根据题意，得 ， 解得：， ∵篮球和足球的数量是整数， ∴， 答：学校购买篮球个． 考点21 不等式组的分配问题 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【答案】23或26 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【规范解答】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 【规范解答】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 考点22 不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元 (2)①超市共有3种进货方案， 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． (1)求出总利润（用含a的代数式表示）； (2)若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件 【思路点拨】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出代数式和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购买A商品a件，则购买B商品件，根据总利润 A商品利润 B商品利润，列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【规范解答】（1）解：设购买A商品a件，则购买B商品件， 由题意可得：总利润（元）； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或或， ∴共有四种方案：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件． 考点23 不等式组的阶梯收费问题 【典例精讲】（24-25八年级上·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【规范解答】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【规范解答】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 考点24 一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知等腰三角形的周长为 (1)若等腰三角形的腰长与底边长之比为，求边的长； (2)设等腰三角形的腰长为y，底边长为x，用含x的代数式表示y，并求x的取值范围． 【答案】(1)6或9 (2) 【思路点拨】本题考查了代数式表达式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据等腰三角形的定义可列出函数关系，再由三角形的三边关系，可求出x的取值范围，即可求解． 【规范解答】（1）解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， 由题意得：， 解得：， 等腰三角形的腰长为6，底边长为9， 即边的长为6或9； （2）解：∵等腰三角形的周长为21，腰长为y，底边长为x， ； 由题意得：， 解得：； 即． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）对于非负实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数．例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次→，这时候结果为1． (1)仿照以上方法计算： ； (2)对100连续求根整数， 次之后结果为1．只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ； (3)计算： ； (4)若x是方程的最小非负整数解，则 ． 【答案】(1)5 (2)3,255 (3)316 (4)2025 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，算术平方根，解不等式组，掌握根整数的定义是解题关键． （1）根据无理数的估算，得出，则不大于的最大整数是5，即可得解； （2）根据根整数的定义，分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案； （3）根据根整数的定义计算即可； （4）根据题意分情况讨论，利用根整数的定义列不等式，最后确定最小非负整数解，代入计算求值即可． 【规范解答】（1）解：， ，即， ， 故答案为：5； （2）解：，，， 则对100连续求根整数，3次之后结果为1； ，，，只需进行3次连续求根整数运算后结果为1， ，，，，需进行4次连续求根整数运算后结果为1， 则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是255， 故答案为：3，255； （3）解： ； （4）解：若x是方程的最小非负整数解， ①当，时，则，， 解得：，，此时无解； ②当，时，则，， 解得：，，此时无解； ③当，时，则，， 解得：，，此时无解； ④当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑤当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑥当，时，则，， 解得：，，此时； ⑦当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑧当，时，则，， 解得：，，此时无解； ⑨当，时，则，， 解得：，，此时无解； 则最小非负整数解， 则． 1．（2024·重庆·中考真题）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【规范解答】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔 支． 【答案】10 【思路点拨】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【规范解答】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形三边关系及不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．据此列出不等式组并求解． 【规范解答】解：∵三角形的三边分别是，，， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 4．（2024·湖南永州·中考真题）下面命题：①分母等于0的分式有意义；②全等三角形对应角相等；③若，则；④若，则．其中真命题有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题考查判断命题真假，掌握分式有意义的条件、全等三角形的性质、平方根的概念和不等式的性质是关键． 逐一判断命题真假：①分母为0分式无意义；②全等三角形对应角相等正确；③x²=2的解包括正负根；④不等式两边乘负数不等号方向改变． 【规范解答】解：①分母等于0的分式无意义，故①是假命题； ②全等三角形对应角相等，故②是真命题； ③若，则，故③是假命题； ④若，则，故④是假命题． 综上，真命题有1个． 故选：A． 5．（2024·全国·中考真题）若，且，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质3，是解题的关键．由已知条件和推导出，即．将不等式两边除以负数b，不等式方向反转，直接得到． 【规范解答】∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 基础夯实 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析，可得答案． 【规范解答】解：A、两边都加2，不等式成立，正确，故A不符合题意； B、两边都减2，不等式成立，正确，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，不等式成立，正确，故C不符合题意； D、两边都除以，不等号的方向改变，选项的不等式不成立，故D符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列解不等式的过程：去分母，得；去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为，得．其中，开始出现错误的一步是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的一般步骤逐一排除即可，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 【规范解答】解：∵原不等式：， 去分母（两边乘）：， ∴（步骤正确）， 去括号：（步骤正确）， 移项：（步骤正确）， 合并同类项：（步骤正确）， 系数化为（两边乘，不等号方向改变）：， 但步骤得，错误，故开始出现错误的一步是， 故选：． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若，则 （填“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，进行解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于的不等式和不等式的解集相同，则求的值为 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查了解简单不等式的知识点；解不等式要依据不等式的基本性质：分别求解两个不等式，根据解集相同建立方程求解即可． 【规范解答】解：不等式，的解集是； 不等式，的解集是； 由于两个不等式的解集相同， 因此， 解得． 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元 (2)购买A型机器人模型至少为14台 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答． 【规范解答】（1）解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ．， 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元； （2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得： 解得 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台． 培优拔高 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【规范解答】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：A．若，则，故选项不成立，不符合题意； B．若，则，故选项不成立，不符合题意； C．若，则，故选项成立，符合题意； D．若，则，故选项不成立，不符合题意． 故选：C． 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质可得，求解即可，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【规范解答】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 一元一次不等式（章节复习） （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：不等式的意义 2 知识点梳理02：列不等式 3 知识点梳理03：不等式的基本性质 3 知识点梳理04： 一元一次不等式的概念 4 知识点梳理05：不等式的解集 4 知识点梳理06：一元一次不等式的解法 4 知识点梳理07： 一元一次不等式的实际应用 5 知识点梳理08：一元一次不等式组的概念 5 知识点梳理09： 不等式组的解 6 知识点梳理10：一元一次不等式组的解法 6 优选题型 考点讲练 6 考点1 不等式的定义 6 考点2 不等式的性质 6 考点3 一元一次不等式的定义 7 考点4 不等式的解集 7 考点5 求一元一次不等式的解集 7 考点6 求一元一次不等式的整数解 7 考点7 在数轴上表示不等式的解集 7 考点8 求一元一次不等式解的最值 8 考点9 解≥a型的不等式 8 考点10 列一元一次不等式 9 考点11 用一元一次不等式解决实际问题 9 考点12 用一元一次不等式解决几何问题 10 考点13 一元一次不等式组的定义 11 考点14 求不等式组的解集 11 考点15 求一元一次不等式组的整数解 12 考点16 由一元一次不等式组的解集求参数 12 考点17 由不等式组解集的情况求参数 12 考点18 不等式组和方程组结合的问题 12 考点19 列一元一次不等式组 13 考点20 不等式组的经济问题 13 考点21 不等式组的分配问题 14 考点22 不等式组的方案选择问题 14 考点23 不等式组的阶梯收费问题 15 考点24 一元一次不等式组的其他应用 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 17 知识点梳理01：不等式的意义 1.不等式：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式. 2.不等号：这些用来连接的符号统称不等号. 说明：有些不等式中不含未知数，如 3<4；有些不等式中含有未知数，如 2y<1 . 3.常见不等号及实际意义： 名称 符号 读法 实际意义 举例 小于号 ＜ 小于 小于、不足、低于、少于 −2<3 大于号 ＞ 大于 大于、高出、超过、多于 3>1 小于等于号 ≤ 小于或等于 不大于、不超过、至多、最多 x≤3 大于等于号 ≥ 大于或等于 不小于、不低于、至少、最少 x≥−6 不等于号 ≠ 不等于 不相等 3≠4 知识点梳理02：列不等式 1.用不等式表示不等关系的一般步骤： （1）找准题中表示不等关系的量； （2）正确理解题中表示不等关系的词语，如多、少、快、慢、超过、不足等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的量连接起来. 2.常见不等式的基本语言与符号表示： 不等式的基本语言 符号表示 不等式的基本语言 符号表示 是正数 不大于 ≤ 是负数 ＜0 不小于 ≥ 是非负数 ≥0 不等于 ≠ 是非正数 ≤0 ,同号 >0 或 >0 大于 ＞ ，异号 <0 或 <0 小于 ＜ 知识点梳理03：不等式的基本性质 基本性质 文字内容 字母表示 不等式的基本性质1（不等式的传递性） a<b ，b<c⇒a<c . 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立. a>b⇒a+c>b+c ，a-c>b-c ； a<b⇒a+c<b+c ， a-c<b-c . 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立. a>b ，且c>0⇒ac>bc， > ； a>b ，且c<0⇒ac<bc， < . 知识点梳理04： 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式的辨识关键点： （1）两边都是整式. （2）只含有一个未知数. （3）未知数的最高次数为一次. （4）用不等号连接. 注意 它与一元一次方程的最大区别在于一个是不等式，一个是等式. 知识点梳理05：不等式的解集 1.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解. 2.解不等式：利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形成“x>a<”（或“x≥a”），“x<a”（或“x≤a”）的形式. 注意 “某些数是不等式的解”与“不等式的解是某些数”是两个不同的概念.如“4是 x>3的解”是正确的，而“x>3的解是4”是错误的. 知识点梳理06：一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤如下表： 步骤 具体做法 根据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的基本性质3. （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 一般先去小括号再去中括号，最后去大括号. 单项式乘多项式法则. 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的基本性质2. （1）所移的项要改变符号，不移的项不改变符号；（2）移项时，不等号的方向不改变. 合并同类项 同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变，得ax>b(ax≥b) 或 ax<b(ax≤b)(a≠0) 合并同类项法则. 系数化为1 不等式的两边都除以 a （或乘 ），将不等式化为或 的形式. 不等式的基本性质3. 当不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变. 注意: 当 a<0 时，不等式中不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处. 知识点梳理07： 一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式解决实际问题. 列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤如下表： 步骤 具体做法 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的不等关系. 抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等. 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现. 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一. 解 解不等式，求出其解集. 不等号的方向不要出错. 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义. 答 写出答案. 应把表示不等关系的文字补上. 知识点梳理08：一元一次不等式组的概念 1.一元一次不等式组：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.例如 2.一元一次不等式组的辨识关键点： （1）不等式的个数不少于2个. （2）每个不等式都是一元一次不等式. （3）含有同一个未知数. 知识点梳理09： 不等式组的解 1.不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解. 注意 不等式组的解必须满足每一个不等式. 2.一元一次不等式组的解在数轴上的表示： 不等式组 (a>b) 不等式①②的解集在数轴上的表示 不等式组的解 > < 无解 <<a 巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找 知识点梳理10：一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤： （1）依次解各个一元一次不等式； （2）把各个一元一次不等式的解分别表示在同一条数轴上； （3）根据解在数轴上表示的公共部分确定不等式组的解. 考点1 不等式的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为： ． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 考点2 不等式的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是假命题的是 （    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的面积相等 D．若，则 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 考点3 一元一次不等式的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 考点4 不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式训练】（25-26八年级上·广西·阶段练习）已知的三条边长均为正整数，，，则的长度可能是 ．（只填写一种情况即可） 考点5 求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，化简： ． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·月考）求不等式的负整数解． 考点6 求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 考点7 在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 考点8 求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南长沙·月考）已知，且，求的最大值． 【变式训练】（24-25八年级上·山东淄博·月考）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 考点9 解≥a型的不等式 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，此方程的“关联值”是 ； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)当时，探究方程是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由． 考点10 列一元一次不等式 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江衢州·期中）x与3的和小于6，用不等式表示为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）“的2倍与1的差比3小”用不等式表示为 ． 考点11 用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【变式训练】（25-26八年级上·山东威海·月考）2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 考点12 用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长 【变式训练】（24-25八年级上·河北·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 考点13 一元一次不等式组的定义 【典例精讲】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 考点14 求不等式组的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·期中）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期中）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 考点15 求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期中）如果关于x的方程有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为 ． 考点16 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·期中）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 考点17 由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·山东泰安·期中）若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆云阳·期中）若关于的一元次不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为 ； 考点18 不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东汕头·期中）若关于，的二元一次方程组的解都是正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 考点19 列一元一次不等式组 【典例精讲】（24-25八年级上·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 考点20 不等式组的经济问题 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【变式训练】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 考点21 不等式组的分配问题 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 考点22 不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． (1)求出总利润（用含a的代数式表示）； (2)若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 考点23 不等式组的阶梯收费问题 【典例精讲】（24-25八年级上·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 考点24 一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知等腰三角形的周长为 (1)若等腰三角形的腰长与底边长之比为，求边的长； (2)设等腰三角形的腰长为y，底边长为x，用含x的代数式表示y，并求x的取值范围． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）对于非负实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数．例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次→，这时候结果为1． (1)仿照以上方法计算： ； (2)对100连续求根整数， 次之后结果为1．只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ； (3)计算： ； (4)若x是方程的最小非负整数解，则 ． 1．（2024·重庆·中考真题）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔 支． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 4．（2024·湖南永州·中考真题）下面命题：①分母等于0的分式有意义；②全等三角形对应角相等；③若，则；④若，则．其中真命题有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·全国·中考真题）若，且，则（） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列解不等式的过程：去分母，得；去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为，得．其中，开始出现错误的一步是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若，则 （填“”或“”）． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于的不等式和不等式的解集相同，则求的值为 ． 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 培优拔高 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则a的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 10．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $