第12讲 一元一次不等式及其解法 优等生讲义2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第12讲 一元一次不等式及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解不等式的概念，能识别不等式并正确书写常见不等号 · 掌握不等式的基本性质，能运用性质对不等式进行变形 · 理解不等式的解与解集，会在数轴上表示不等式的解集 · 会按步骤规范求解一元一次不等式，正确处理去分母与变号 · 能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念 用符号「＞」「＜」「≥」「≤」「≠」表示大小关系的式子，叫做不等式 常见不等号的含义：≥表示大于或等于，≤表示小于或等于，≠表示不等于 判断一个式子是否为不等式，关键是看它是否含有不等号，与式子是否成立无关 等式用「＝」连接，不等式用不等号连接，二者本质不同 概念辨析例题：下列各式中，是不等式的是（　）．A．y+2　B．y＜2　C．y＝2　D．y+2＝6 解析：不等式必须含有不等号。A中没有不等号不是不等式；C、D都用等号连接是等式；只有B中含有「＜」，是不等式，故选B。 ☆ 2.不等式的基本性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 运用性质3变形时最容易出错，乘除负数后必须改变不等号方向 概念辨析例题：若a＞b，则下列式子正确的是（　）．A．−3+a＜−3+b　B．ac＞bc　C．a2＞b2　D．a−1＞b−1 解析：根据性质1，不等式两边同减1，不等号方向不变，得a−1＞b−1，故D正确；A两边加−3应得−3+a＞−3+b，A错；B中c的符号不确定，乘负数时要变号，B错；C中a、b可能异号或为负数，平方后大小不确定，C错。 ☆ 3.不等式的解与解集 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 不等式的解集是不等式所有解的集合，一般含有无数个解 解集在数轴上表示：空心圆圈表示不含该点，实心圆点表示含该点 求不等式解集的过程，就是解不等式 概念辨析例题：不等式x＞2的解集在数轴上表示为（　）． 解析：x＞2不含端点2，数轴上在2处画空心圆圈，从2向右画射线；若为x≥2则在2处画实心圆点，注意空心与实心的区别。 ☆ 4.解一元一次不等式 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项 系数化为1时，若两边除以（或乘以）负数，不等号方向必须改变 与解方程相比，解不等式多一步在数轴上表示解集，且解集通常含无数个解 概念辨析例题：解不等式：＞−1，并把解集在数轴上表示出来 解析：去分母（两边同乘6）：2(2x−1)＞3(3x−2)−6；去括号：4x−2＞9x−6−6；移项：4x−9x＞−12+2；合并：−5x＞−10；系数化为1（除以负数要变号）：x＜2。在数轴上2处画空心圆圈并向左画射线。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式 用不等号表示大小关系的式子 必须含不等号，等式不是不等式 不等号 ＞、＜、≥、≤、≠ ≥与≤含等号，≠不含大小关系 性质1 两边±同一个数（式子），方向不变 加减任何数均可，方向不变 性质2 两边×或÷同一个正数，方向不变 乘除正数时不改变方向 性质3 两边×或÷同一个负数，方向改变 最易错：乘除负数忘记变号 一元一次不等式 含一个未知数且次数为1的不等式 系数化为1时注意符号变化 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式及其性质（第1-9题） · 识别不等式：看式子中是否含有不等号，与式子的正误无关 · 用性质1、2变形时方向不变，用性质3变形时必须改变方向 · 判断不等式变形是否正确，可代入特殊值验证 · 含字母系数的不等式，要讨论系数的正负以确定变号 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为（　　） A．v≥40 B．v＞40 C．0＜v≤40 D．0＜v＜40 2．下列各式中，是不等式的是（　　） A．y+2 B．y＜2 C．y＝2 D．y+2＝6 3．不超过a的最大整数是5，a的取值范围是__________ ． 4．下列各式中，是不等式的有（填序号） _________ ． ①3x+4； ②1+2＝3； ③4+x＝7； ④a+b≤1； ⑤x≠1； ⑥x≥0； ⑦4+3x＜0． 5．若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣3+a＜﹣3+b B．ac＞bc C．a2＞b2 D． 6．已知实数x，y，z满足x+y＝4，x﹣z＝7．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，若x≥﹣3y，则x+y+z的最大值为_____ ． 8．选择适当的不等号填空： （1）若a＞b，则b _____ a． （2）若a＞b，且b＞c，则a _____ c， 9．已知：，则a_____ b．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【考点2】不等式的解和解集（第10-23题） · 区分「解」与「解集」：解是单个值，解集是所有解的集合 · 数轴表示：空心圈不含端点，实心点含端点，方向向右为大、向左为小 · 由解集反推参数范围时，结合数轴与不等号方向分析 · 判断一个值是否为不等式的解，直接代入验证即可 10．下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 11．若x|m|﹣5＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 12．当k＝_____ 时，不等式（k+2）x|k|﹣1+2＞0是一元一次不等式． 13．若（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为_____ ． 14．已知ax﹣b＞0的解集为，则不等式bx+a＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 15．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围为（　　） A．m≥﹣3 B．m＞﹣3 C．m≤﹣3 D．m＜﹣3 16．下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 17．若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 _________ ． 18．若不等式组无解，则m的取值范围为 ________ ． 19．在一列数：，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于．（要求最简分数） 20．若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是___________ ． 21．关于x的不等式组解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是__________ ． 22．若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为 _________ ． 23．若关于x的方程2x﹣3k＝5（x+3）﹣1的解为负数，则k的取值范围为____________________ ． 【考点3】解一元一次不等式（第24-29题） · 按五步规范求解：去分母→去括号→移项→合并→系数化为1 · 去分母要乘遍每一项，移项要变号，这是两大易错点 · 系数化为1除以负数时不等号反向，最后在数轴上表示解集 · 含参数的方程与不等式综合，先由方程求参数再代入不等式 24．当代数式4x+2的值小于代数式x﹣4的值时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞2 D．x＜2 25．不等式的解集是____________________ ． 26．解不等式：． 27．解不等式： （1）x+5＞﹣3x+1． （2）． 28．我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如＝2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式的解集； （2）若关于x的不等式＜0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 29．（1）计算：． （2）解不等式：． 【考点4】一元一次不等式应用（第30-36题） · 审题抓关键词：「不超过」「至少」「不低于」「最多」对应不等号 · 先设未知数、找不等关系列不等式，再求解 · 与方程、方程组综合的问题，先解方程组再列不等式 · 方案最优化问题，结合一次函数增减性求最值 30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以1.5cm/s的速度沿A→B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以1cm/s的速度沿C→B→A运动，并且当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得△BPD的面积大于△QDC的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 31．小明在超市给全家购买五一小长假出游所需的小食品，若购买1袋薯片和3瓶饮料共需要26元，若购买2袋薯片和1瓶饮料共需要22元． （1）求1袋薯片和1瓶饮料各多少元？ （2）小明家5人一起在五一期间出游，他买了薯片和饮料一共15件，总价钱不超过100元，那么最多能买多少袋薯片？ 32．为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 33．抖音直播带货成为当下网络销售主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣售价为100元．小明和几位同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买x件，且x＞3． 该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案： 方案一：所购防晒衣一律打九折； 方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折． （1）若按方案一购买，同学们需付款 ________ 元；若按方案二购买，同学们需付款 _____________ 元；（用含x的式子表示） （2）请通过计算说明按照哪种方案购买更划算？ 34．“北国好风光，美在黑龙江”冰糖葫芦是冰雪旅游的特色网红小吃，种类十分丰富，有经典传统的山楂款，还有创意十足的水果混搭款．某研学小组去雪乡旅游打卡，准备购买一些冰糖葫芦品尝．已知买3串经典款冰糖葫芦和2串混搭款冰糖葫芦共需要27元，买5串经典款冰糖葫芦和4串混搭款冰糖葫芦共需要49元． （1）求经典款冰糖葫芦和混搭款冰糖葫芦的单价； （2）该研学小组计划购买经典款和混搭款冰糖葫芦共50串，且经典款冰糖葫芦的数量不超过混搭款冰糖葫芦数量的，最多可以买多少串经典款冰糖葫芦？求该研学小组最少需要花费多少元？ 35．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 （1）求A，B两种材质的围棋每套的售价； （2）若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ （3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． 📝 随堂检测 【练习 1】若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1，则m的取值范围是________ ． 【练习 2】若关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，则a的取值范围为________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清「等式」与「不等式」：判断关键看是否含有不等号 · 牢记性质3：不等式两边乘或除以负数时，不等号方向必须改变 · 数轴表示要规范：空心圈表示不含端点，实心点表示含端点 · 去分母时各项都要乘以最小公倍数，不能漏乘不含分母的项 · 应用题先找清不等关系再列式，注意「不超过」「至少」「不低于」等关键词 【作业 1】某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于15%，则最多可打 ________ 折． 【作业 2】现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣3b，例如3*4＝32﹣3×4＝﹣3，则不等式（﹣5）*x≥﹣2的解集为________ ． 【作业 3】已知x＝﹣11是方程的解，求不等式的解集． 【作业 4】下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步 合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步 系数化为1得：x＞2．…第五步 任务一：以上解题过程中，第_____ 步开始出现错误，这一步错误的原因是_______________ ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：________ ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：． 【作业 5】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【作业 6】解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【作业 7】乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书•兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【作业 8】随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要180元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要310元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，若每件甲种纪念品的售价为160元，每件乙种纪念品的售价为110元，销售完这100件纪念品所获得的利润不低于7200元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【作业 9】随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ 第32页（共32页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一元一次不等式及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解不等式的概念，能识别不等式并正确书写常见不等号 · 掌握不等式的基本性质，能运用性质对不等式进行变形 · 理解不等式的解与解集，会在数轴上表示不等式的解集 · 会按步骤规范求解一元一次不等式，正确处理去分母与变号 · 能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念 用符号「＞」「＜」「≥」「≤」「≠」表示大小关系的式子，叫做不等式 常见不等号的含义：≥表示大于或等于，≤表示小于或等于，≠表示不等于 判断一个式子是否为不等式，关键是看它是否含有不等号，与式子是否成立无关 等式用「＝」连接，不等式用不等号连接，二者本质不同 概念辨析例题：下列各式中，是不等式的是（　）．A．y+2　B．y＜2　C．y＝2　D．y+2＝6 解析：不等式必须含有不等号。A中没有不等号不是不等式；C、D都用等号连接是等式；只有B中含有「＜」，是不等式，故选B。 ☆ 2.不等式的基本性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 运用性质3变形时最容易出错，乘除负数后必须改变不等号方向 概念辨析例题：若a＞b，则下列式子正确的是（　）．A．−3+a＜−3+b　B．ac＞bc　C．a2＞b2　D．a−1＞b−1 解析：根据性质1，不等式两边同减1，不等号方向不变，得a−1＞b−1，故D正确；A两边加−3应得−3+a＞−3+b，A错；B中c的符号不确定，乘负数时要变号，B错；C中a、b可能异号或为负数，平方后大小不确定，C错。 ☆ 3.不等式的解与解集 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 不等式的解集是不等式所有解的集合，一般含有无数个解 解集在数轴上表示：空心圆圈表示不含该点，实心圆点表示含该点 求不等式解集的过程，就是解不等式 概念辨析例题：不等式x＞2的解集在数轴上表示为（　）． 解析：x＞2不含端点2，数轴上在2处画空心圆圈，从2向右画射线；若为x≥2则在2处画实心圆点，注意空心与实心的区别。 ☆ 4.解一元一次不等式 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项 系数化为1时，若两边除以（或乘以）负数，不等号方向必须改变 与解方程相比，解不等式多一步在数轴上表示解集，且解集通常含无数个解 概念辨析例题：解不等式：＞−1，并把解集在数轴上表示出来 解析：去分母（两边同乘6）：2(2x−1)＞3(3x−2)−6；去括号：4x−2＞9x−6−6；移项：4x−9x＞−12+2；合并：−5x＞−10；系数化为1（除以负数要变号）：x＜2。在数轴上2处画空心圆圈并向左画射线。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式 用不等号表示大小关系的式子 必须含不等号，等式不是不等式 不等号 ＞、＜、≥、≤、≠ ≥与≤含等号，≠不含大小关系 性质1 两边±同一个数（式子），方向不变 加减任何数均可，方向不变 性质2 两边×或÷同一个正数，方向不变 乘除正数时不改变方向 性质3 两边×或÷同一个负数，方向改变 最易错：乘除负数忘记变号 一元一次不等式 含一个未知数且次数为1的不等式 系数化为1时注意符号变化 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式及其性质（第1-9题） · 识别不等式：看式子中是否含有不等号，与式子的正误无关 · 用性质1、2变形时方向不变，用性质3变形时必须改变方向 · 判断不等式变形是否正确，可代入特殊值验证 · 含字母系数的不等式，要讨论系数的正负以确定变号 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为（　　） A．v≥40 B．v＞40 C．0＜v≤40 D．0＜v＜40 【分析】根据不等式的定义，即可解答． 【解答】解：交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为0＜v≤40， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．下列各式中，是不等式的是（　　） A．y+2 B．y＜2 C．y＝2 D．y+2＝6 【分析】根据不等式的定义解答即可． 【解答】解：A、y+2，是代数式，不含不等号，不是不等式，不符合题意； B、y＜2，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义，符合题意； C、y＝2是等式，不是不等式，不符合题意； D、y+2＝6是等式，不是不等式，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是不等式的定义，熟知用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式是解题的关键． 3．不超过a的最大整数是5，a的取值范围是　5≤a＜6　 ． 【分析】根据不超过a的最大整数是5，即可求解． 【解答】解：∵不超过a的最大整数是5， 当a＝5时，不超过5的最大整数就是5，符合条件； 当a大于5但小于6时，例如a＝5.9时，不超过5.9的最大整数依旧是5； 当a＝6时，不超过6的最大整数就是6，不符合题意，故a不能等于6， 综上所述，a的取值范围是5≤a＜6． 故答案为：5≤a＜6． 【点评】本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键． 4．下列各式中，是不等式的有（填序号） 　④⑤⑥⑦　 ． ①3x+4； ②1+2＝3； ③4+x＝7； ④a+b≤1； ⑤x≠1； ⑥x≥0； ⑦4+3x＜0． 【分析】不等号有≠，＜，＞，≤，≥，根据不等式的定义逐个判断即可． 【解答】解：3x+4没有不等号，不是不等式； 1+2＝3和4+x＝7是等式，不是不等式， a+b≤1，x≠1，x≥0，4+3x＜0都是不等式， 所以不等式有④⑤⑥⑦． 故答案为： 【点评】本题考查了不等式的定义和有理数的加法，能熟记不等式的定义（用不等号表示大小关系的式子叫不等式）是解此题的关键． 5．若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣3+a＜﹣3+b B．ac＞bc C．a2＞b2 D． 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＞b，则﹣3+a＞﹣3+b，故选项A错误； B．若a＞b，当c＝0时，ac＝bc；当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc，故选项B错误； C．若a＞b，若a＝﹣2，b＝﹣3，满足a＞b，但a2＝4，b2＝9，a2＜b2，故选项C错误； D．∵m2+1＞0恒成立，若a＞b，则，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 6．已知实数x，y，z满足x+y＝4，x﹣z＝7．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设x+y+z＝t，用x表示z得到z＝x﹣7，则t＝4+x﹣7＝x﹣3，所以x＝t+3，再利用x≥﹣2y，y＝4﹣x得到x≥﹣2（4﹣x），解不等式得到x≤8，所以t+3≤8，然后解不等式得到t的最大值即可． 【解答】解：设x+y+z＝t， ∵x﹣z＝7， ∴z＝x﹣7， ∵x+y＝4， ∴t＝4+x﹣7＝x﹣3， ∴x＝t+3， ∵x≥﹣2y， 即x≥﹣2（4﹣x）， ∴x≤8， ∴t+3≤8， 解得t≤5， ∴x+y+z的最大值为5． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．也考查了等式的性质． 7．已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，若x≥﹣3y，则x+y+z的最大值为　7　 ． 【分析】由条件可得x+y+z＝x﹣2，因此求最大值等价于求x的最大值，结合x+y＝6和x≥﹣3y约束，得到x≥﹣3（6﹣x），解不等式可得x≤9，从而求出最大值． 【解答】解：已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8， ∴z＝x﹣8， ∴x+y+z＝6+（x﹣8）＝x﹣2， 故求x+y+z的最大值即求x的最大值， 由x+y＝6，得y＝6﹣x， 代入x≥﹣3y，得x≥﹣3（6﹣x）， 即 x≥﹣18+3x， 解得x≤9 ∴x的最大值为9， x+y＝6，x﹣z＝8， ∴x＝z+8， ∴z+8+y＝6， ∴z+y＝﹣2 此时x+y+z＝9﹣2＝7， ∴x+y+z≤7， 故最大值为7． 故答案为：7． 【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键． 8．选择适当的不等号填空： （1）若a＞b，则b　＜　 a． （2）若a＞b，且b＞c，则a　＞　 c， 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【解答】解：（1）若a＞b，则b＜a； （2）若a＞b，且b＞c，则a＞c； 故答案为：＜，＞． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 9．已知：，则a　＞　 b．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【分析】利用不等式的基本性质对已知不等式化简，即可得到a与b的大小关系． 【解答】解：对原不等式变形如下： 不等式两边同时减1，根据不等式的基本性质1，不等号方向不变，得， 不等式两边同时乘以﹣3，根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，得a＞b． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了不等式性质，熟练掌握该知识点是关键． 【考点2】不等式的解和解集（第10-23题） · 区分「解」与「解集」：解是单个值，解集是所有解的集合 · 数轴表示：空心圈不含端点，实心点含端点，方向向右为大、向左为小 · 由解集反推参数范围时，结合数轴与不等号方向分析 · 判断一个值是否为不等式的解，直接代入验证即可 10．下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：（1）﹣x≥5，是一元一次不等式； （2）y﹣3x＜0，含有两个未知数，不是一元一次不等式； （3），是一元一次不等式； （4）x2+x≠3，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式； 一元一次不等式共2个， 故选：A． 【点评】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 11．若x|m|﹣5＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 【分析】根据一元一次不等式的定义得到|m|＝1，求解即可． 【解答】解：由条件可知|m|＝1， ∴m＝±1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握该知识点是关键． 12．当k＝　2　 时，不等式（k+2）x|k|﹣1+2＞0是一元一次不等式． 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0，未知数只含有一个，据此列出关系式求解即可． 【解答】解：由题意可得： ， 解|k|﹣1＝1，得|k|＝2，即k＝±2， 由k+2≠0得k≠﹣2， ∴k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查一元一次不等式的定义，正确进行计算是解题关键． 13．若（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　0　 ． 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【解答】解：∵（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式， ∵|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解|m﹣1|＝1，得m＝2或m＝0， 当m＝2时，m﹣2＝0，不符合题意； 当m＝0时，m﹣2≠0，符合题意． 故答案为：0． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的定义，熟知含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题的关键． 14．已知ax﹣b＞0的解集为，则不等式bx+a＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式的基本性质求出，a＞0，进而得出b＞0，，然后求出x的取值范围． 【解答】解：由题意可得： ∴b＞0，， 解bx+a＞0得，，即， 故选：A． 【点评】此题考查了不等式的基本性质，正确进行计算是解题关键． 15．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围为（　　） A．m≥﹣3 B．m＞﹣3 C．m≤﹣3 D．m＜﹣3 【分析】先求出解集，然后根据题不等式组有解，即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵不等式组有解， ∴m＜x＜﹣3， 解得m＜﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的解集以及解一元一次不等式组，掌握不等式组的解集是大于小的小于大的是解题关键． 16．下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【解答】解：根据求一元一次不等式组的解集的方法逐项分析判断如下： A、原不等式组的解集为x＞2，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为x＜﹣1，不符合题意； D、原不等式组的解集为﹣1＜x＜2，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，熟练掌握该知识点是关键． 17．若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 m≤﹣3　 ． 【分析】先分别解两个不等式，再根据题意求得m的取值范围． 【解答】解：解不等式x﹣m＜m， 得x＜2m， 由题意得，2m≤﹣6， 解得m≤﹣3， 故答案为：m≤﹣3． 【点评】此题考查了不等式组解集的确定能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 18．若不等式组无解，则m的取值范围为 m≤2　 ． 【分析】根据不等式组无解得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2． 故答案为：m≤2． 【点评】本题考查不等式解集的表示方法，主要根据“比大的大，比小的小无解”． 19．在一列数：，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于．（要求最简分数） 【分析】这一列数的某项用含n的代数式表示为（n＝1，3，5，7…），根据题意列关于n的不等式并求其解集，将符合条件的n的最小值代入，从而求出这个数即可． 本题考查了求不等式的解．这组数列的分子是逐渐增加的奇数，分母比分子大2；设这个数是，那么1减去这个数小于，由此列出不等式，求出x的范围． 【解答】解：这一列数的某项用含n的代数式表示为（n＝1，3，5，7…）， 根据题意，得1﹣＜， 解得n＞1998， ∵n为奇数， ∴当n＝1999时，＝， ∴从开始，1与每个数之差都小于． 【点评】本题考查不等式的解集，掌握不等式的解法是解题的关键． 20．若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是　﹣1＜x≤2　 ． 【分析】根据不等式解集的表示方法，即可解答． 【解答】解：若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是﹣1＜x≤2， 故答案为：﹣1＜x≤2． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式解集的表示方法是解题的关键． 21．关于x的不等式组解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是　1＜x≤4　 ． 【分析】根据数轴上表示的解集确定出所求即可．此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【解答】解：关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示， 则不等式组解集为1＜x≤4， 故答案为：1＜x≤4． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握该知识点是关键． 22．若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为 x≤﹣1　 ． 【分析】根据数轴得出不等式组的解集即可． 【解答】解：根据数轴可知：不等式组的解集是x≤﹣1， 故答案为：x≤﹣1． 【点评】本题考查了不等式组的解集和在数轴上表示不等式组的解集．熟练掌握该知识点是关键． 23．若关于x的方程2x﹣3k＝5（x+3）﹣1的解为负数，则k的取值范围为k＞﹣　 ． 【分析】先解出关于x的方程，再根据解为负数列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围， 【解答】解：2x﹣3k＝5（x+3）﹣1， 2x﹣3k＝5x+15﹣1， 2x﹣3k＝5x+14， 2x﹣5x＝14+3k， ﹣3x＝14+3k， x＝﹣， 因为方程的解为负数，即x＜0： ﹣＜0， 两边同乘3，不等号方向不变： ﹣（14+3k）＜0， 去括号： ﹣14﹣3k＜0， ﹣3k＜14， 两边同除以﹣3，不等号方向改变： k＞﹣， ∴k的取值范围是：k＞﹣． 故答案为：k＞﹣． 【点评】本题考查一元一次方程的解法与一元一次不等式的求解，熟练掌握解一元一次方程和不等式的步骤是解题的关键． 【考点3】解一元一次不等式（第24-29题） · 按五步规范求解：去分母→去括号→移项→合并→系数化为1 · 去分母要乘遍每一项，移项要变号，这是两大易错点 · 系数化为1除以负数时不等号反向，最后在数轴上表示解集 · 含参数的方程与不等式综合，先由方程求参数再代入不等式 24．当代数式4x+2的值小于代数式x﹣4的值时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞2 D．x＜2 【分析】根据题意列出不等式解答即可． 【解答】解：根据题意，得4x+2＜x﹣4， 移项、合并同类项，得3x＜﹣6， 系数化为1，得x＜﹣2， 故选：A． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 25．不等式的解集是　　 ． 【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可． 【解答】解：原不等式移项得： ， ， ， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键． 26．解不等式：． 【分析】先去分母，再去括号得到x+7≤6x﹣6+8，然后移项后合并同类项，最后把x的系数化为1即可． 【解答】解：去分母，得x+7≤6（x﹣1）+8， 去括号，得x+7≤6x﹣6+8， 移项，得x﹣6x≤﹣6+8﹣7， 合并，得﹣5x≤﹣5， 系数化为1，得x≥1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质和解一元一次不等式的基本步骤是解决问题的关键． 27．解不等式： （1）x+5＞﹣3x+1． （2）． 【分析】（1）先移项，再合并同类项得4x＞﹣4，然后把x的系数化为1即可； （2）把不等式两边都乘以6，再去括号、移项，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）移项得x+3x＞1﹣5， 合并同类项得4x＞﹣4， 系数化为1得x＞﹣1； （2）去分母得2（2x+4）﹣3x≤6， 去括号得4x+8﹣3x≤6， 移项得4x﹣3x≤6﹣8， 合并同类项得x≤﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键． 28．我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如＝2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式的解集； （2）若关于x的不等式＜0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 【分析】（1）按照定义的新运算可得2x﹣（3﹣x）＞0，然后进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算可得3m﹣4x＜0，然后进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴2x﹣（3﹣x）＞0， 解得：x＞1； （2）∵＜0， ∴3m﹣4x＜0， 解得：x＞m， ∵关于x的不等式＜0的解集与（1）中的不等式解集相同， ∴m＝1， 解得：m＝． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，不等式的解集，解一元一次方程，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．（1）计算：． （2）解不等式：． 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）依据解一元一次不等式的步骤依次进行即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝﹣1﹣2 ＝﹣3； （2）去分母，得1﹣x＜2x+1﹣3， 移项、合并同类项，得﹣3x＜﹣3， 解得x＞1． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式和不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据． 【考点4】一元一次不等式应用（第30-36题） · 审题抓关键词：「不超过」「至少」「不低于」「最多」对应不等号 · 先设未知数、找不等关系列不等式，再求解 · 与方程、方程组综合的问题，先解方程组再列不等式 · 方案最优化问题，结合一次函数增减性求最值 30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以1.5cm/s的速度沿A→B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以1cm/s的速度沿C→B→A运动，并且当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得△BPD的面积大于△QDC的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【分析】当点P在AB上，点Q在BC上，t＞0时，当点P在BC上，点Q在AB上，t≤时，分别根据△BPD的面积大于△QDC的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：存在，理由如下： 当点P在AB上，点Q在BC上，t＞0时， 由题意得：×（4﹣1.5t）×3＞××4×t， 解得：t＜， ∴当0＜t＜时，△BPD的面积大于△QDC的面积的一半； 当点P在BC上，点Q在AB上，t≤时， 由题意得：×（1.5t﹣4）×4＞××4×3， 解得：t＞， ∴当＜t≤时，△BPD的面积大于△QDC的面积的一半； 综上所述，当0＜t＜或＜t≤时，△BPD的面积大于△QDC的面积的一半， ∴存在，t的取值范围为0＜t＜或＜t≤． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，分类讨论，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 31．小明在超市给全家购买五一小长假出游所需的小食品，若购买1袋薯片和3瓶饮料共需要26元，若购买2袋薯片和1瓶饮料共需要22元． （1）求1袋薯片和1瓶饮料各多少元？ （2）小明家5人一起在五一期间出游，他买了薯片和饮料一共15件，总价钱不超过100元，那么最多能买多少袋薯片？ 【分析】（1）设1袋薯片x元，1瓶饮料y元，根据“购买1袋薯片和3瓶饮料共需要26元，购买2袋薯片和1瓶饮料共需要22元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明买了m袋薯片，则买了（15﹣m）瓶饮料，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设1袋薯片x元，1瓶饮料y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1袋薯片8元，1瓶饮料6元； （2）设小明买了m袋薯片，则买了（15﹣m）瓶饮料， 根据题意得：8m+6（15﹣m）≤100， 解得：m≤5， ∴m的最大值为5． 答：最多能买5袋薯片． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 32．为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知商店每副羽毛球拍的售价是50元，每副乒乓球拍的售价是42元，如果该要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副？ 【分析】依据题意，设学校购买m副羽毛球拍，则购买（100﹣m）副乒乓球拍，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】设学校购买m副羽毛球拍，则购买（20﹣m）副乒乓球拍， 根据题意得：50m+42（100﹣m）≤4500， 解得：m≤37.5， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为37． 答：学校最多可以购买37副羽毛球拍． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 33．抖音直播带货成为当下网络销售主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣售价为100元．小明和几位同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买x件，且x＞3． 该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案： 方案一：所购防晒衣一律打九折； 方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折． （1）若按方案一购买，同学们需付款 　90x 元；若按方案二购买，同学们需付款 　（85x+45）　 元；（用含x的式子表示） （2）请通过计算说明按照哪种方案购买更划算？ 【分析】（1）根据题意分别列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式和一元一次方程，解答即可． 【解答】解：（1）100×0.9x＝90x（元）， 若按方案一购买，同学们需付款90x元； 100×3+0.85×100（x﹣3）＝（85x+45）（元）， 若按方案二购买，同学们需付款（85x+45）元； 故答案为：90x，（85x+45）； （2）根据题意得：90x＞85x+45时，x＞9； 90x＝85x+45时，x＝9； 90x＜85x+45时，x＜9； ∴当3＜x＜9时，同学们按照方案一购买更划算；当x＝9时，同学们按照方案一和方案二购买费用一样；当x＞9时，同学们按照方案二购买更划算． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 34．“北国好风光，美在黑龙江”冰糖葫芦是冰雪旅游的特色网红小吃，种类十分丰富，有经典传统的山楂款，还有创意十足的水果混搭款．某研学小组去雪乡旅游打卡，准备购买一些冰糖葫芦品尝．已知买3串经典款冰糖葫芦和2串混搭款冰糖葫芦共需要27元，买5串经典款冰糖葫芦和4串混搭款冰糖葫芦共需要49元． （1）求经典款冰糖葫芦和混搭款冰糖葫芦的单价； （2）该研学小组计划购买经典款和混搭款冰糖葫芦共50串，且经典款冰糖葫芦的数量不超过混搭款冰糖葫芦数量的，最多可以买多少串经典款冰糖葫芦？求该研学小组最少需要花费多少元？ 【分析】（1）设经典款冰糖葫芦的单价为x元，混搭款冰糖葫芦的单价为y元，根据买3串经典款冰糖葫芦和2串混搭款冰糖葫芦共需要27元，买5串经典款冰糖葫芦和4串混搭款冰糖葫芦共需要49元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设买m串经典款冰糖葫芦，则买（50﹣m）串混搭款冰糖葫芦，根据经典款冰糖葫芦的数量不超过混搭款冰糖葫芦数量的，列出一元一次不等式，解得m≤20，再设总花费为w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设经典款冰糖葫芦的单价为x元，混搭款冰糖葫芦的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：经典款冰糖葫芦的单价为5元，混搭款冰糖葫芦的单价为6元； （2）设买m串经典款冰糖葫芦，则买（50﹣m）串混搭款冰糖葫芦， 根据题意得：m≤（50﹣m）， 解得：m≤20， 设总花费为w元， 根据题意得：w＝5m+6×（50﹣m）＝﹣m+300， ∵﹣1＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最小值，w最小值＝﹣1×20+300＝280， 答：最多可以买20串经典款冰糖葫芦，该研学小组最少需要花费280元． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 35．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 （1）求A，B两种材质的围棋每套的售价； （2）若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ （3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． 【分析】（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，利用销售收入＝销售单价×销售数量，结合第一、二个月的销售记录，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购m套A种材质的围棋，则采购（30﹣m）套B种材质的围棋，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5760元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）假设在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1030元的目标，利用总利润＝每套围棋的销售利润×销售数量，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再结合（2）中m的取值范围，即可得出在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为1030元的目标． 【解答】解：（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； （2）设采购m套A种材质的围棋，则采购（30﹣m）套B种材质的围棋， 根据题意得：210m+180（30﹣m）≤5760， 解得：m≤12， ∴m的最大值为12． 答：A种材质的围棋最多能采购12套； （3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为1030元的目标，理由如下： 假设在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1030元的目标， 根据题意得：（250﹣210）m+（210﹣180）（30﹣m）＝1030， 解得：m＝13， 又∵m≤12， ∴m＝13不符合题意，舍去， ∴在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为1030元的目标． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 📝 随堂检测 【练习 1】若关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1，则m的取值范围是m＜1　 ． 【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得m﹣1＜0，解不等式即可求解， 【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1， ∴m﹣1＜0， ∴m＜1， 故答案为：m＜1． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 【练习 2】若关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，则a的取值范围为a＜1　 ． 【分析】由不等式的解集为x＜1得a﹣1＜0，求解即可． 【解答】解：由条件可知a﹣1＜0， 解得：a＜1； 故答案为：a＜1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清「等式」与「不等式」：判断关键看是否含有不等号 · 牢记性质3：不等式两边乘或除以负数时，不等号方向必须改变 · 数轴表示要规范：空心圈表示不含端点，实心点表示含端点 · 去分母时各项都要乘以最小公倍数，不能漏乘不含分母的项 · 应用题先找清不等关系再列式，注意「不超过」「至少」「不低于」等关键词 【作业 1】某商品进价8元，标价10元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于15%，则最多可打 　9.2　 折． 【分析】设可打x折，根据利润率不能少于15%，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：设可打x折，由题意，得：， 解得x≥9.2， 因此最多可打9.2折， 故答案为：9.2． 【点评】本题考查一元一次不等式的实际应用，关键是根据题意找到关系式． 【作业 2】现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣3b，例如3*4＝32﹣3×4＝﹣3，则不等式（﹣5）*x≥﹣2的解集为x≤9　 ． 【分析】直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案． 【解答】解：不等式（﹣5）*x≥﹣2可变形为：25﹣3x≥﹣2， 解得：x≤9． 故答案为：x≤9． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键． 【作业 3】已知x＝﹣11是方程的解，求不等式的解集． 【分析】把x＝﹣11代入方程求出a的值，代入不等式求出解集即可． 【解答】解：把x＝﹣11代入方程得：﹣2＝﹣11+1， 去分母得：﹣11﹣a﹣4＝﹣20， 解得：a＝5， 代入不等式得：﹣y＜， 解得：y＞﹣． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业 4】下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步 合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步 系数化为1得：x＞2．…第五步 任务一：以上解题过程中，第　五　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　不等号的方向没有改变　 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：x＜2　 ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：． 【分析】任务一：根据不等式的基本性质求解即可； 任务二：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； 任务三：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：任务一：以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：不等号的方向没有改变， 故答案为：五，不等号的方向没有改变； 任务二：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6， 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6， 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2， 合并得：﹣5x＞﹣10， 系数化为1得：x＜2， 故答案为：x＜2； 任务三：∵， ∴2（x﹣2）﹣5（x+1）＞10， 2x﹣4﹣5x﹣5＞10， 2x﹣5x＞10+4+5， ﹣3x＞19， 则x＜﹣． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【作业 5】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】先求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 6﹣2（x﹣2）＜3x， 6﹣2x+4＜3x， ﹣5x＜﹣10， x＞2． 在数轴上表示如图所示： 【点评】本题考查一元一次不等式，正确进行计算是解题关键． 【作业 6】解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法，画出图示即可求得． 【解答】解：解不等式， 去分母得：3x﹣1≥2（2x+1）， 3x﹣1≥4x+2， ﹣x≥3， x≤﹣3， 把解集在数轴上表示如图所示． 【点评】本题考查解一元一次不等式，正确进行计算是解题关键． 【作业 7】乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书•兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【分析】（1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，根据：购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍（200﹣m）本，再根据题意列不等式求解即可． 【解答】解：（1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元， ∴， 解得， 答：农业类书籍单价为50元，科技类书籍单价为40元； （2）设购买农业类书籍m本， 根据题意得：50m+40（200﹣m）≤9200， 10m+8000≤9200； 解得：m≤120， 答：至多购买农业类书籍120本． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和一元一次不等式是解决本题的关键． 【作业 8】随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要180元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要310元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，若每件甲种纪念品的售价为160元，每件乙种纪念品的售价为110元，销售完这100件纪念品所获得的利润不低于7200元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【分析】（1）设购进甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要180元；购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要310元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，则购进（100﹣m）件乙种纪念品，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不低于7200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设购进甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要80元，乙种纪念品每件需要50元； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，则购进（100﹣m）件乙种纪念品， 根据题意得：（160﹣80）m+（110﹣50）（100﹣m）≥7200， 解得：m≥60， ∴m的最小值为60． 答：该商场最少购进甲种纪念品60件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【作业 9】随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【分析】（1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【解答】解：（1）设乙种型号机器人的单价为x万元，则甲种型号机器人的单价为（x+3）万元． 根据题意列一元一次方程： 100（x+3）＝ 130x， 解得x＝10， 则甲种型号单价为：10+3＝13（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人m套，则购买乙种机器人（10﹣m）套（1≤m≤9，且m为整数）． 总资金W＝13m+10（10﹣m）＝3m+100． 根据资金不低于 114 万元， 列一元一次不等式：3m+100≥114 解得：， 由于m为整数， 故m≥5． 因为W ＝ 3m+100中3＞0，W随m增大而增大， 所以当m＝5时，W最小． 此时乙种机器人：10﹣5＝5（套）， 最少资金：W＝3×5+100＝115（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 【点评】本题考查一元一次方程的应用与一元一次不等式的应用，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． 第32页（共32页） 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