专题12一元一次不等式的应用、一元一次不等式组同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦一元一次不等式的应用及一元一次不等式组，系统梳理从寻找不等关系、列解不等式到不等式组概念、解集类型、求解步骤及应用的知识脉络，构建从单一到多重不等关系的学习支架，为综合题学习夯实基础。 该资料以数学建模思想为核心，通过方案选择、几何问题等实际情境培养应用意识，借助数轴确定解集发展几何直观，含参数及整数解问题锻炼推理能力。题型覆盖全面，课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过精讲与练习查漏补缺，强化知识掌握。

专题12一元一次不等式的应用、一元一次不等式组同步培优讲义 ✺知识框架 1.一元一次不等式的应用：寻找不等关系，设元、列不等式、求解并检验作答。 2.一元一次不等式组的相关概念：不等式组、解集、解不等式组的定义。 3.一元一次不等式组的解集类型：四种基本解集，配套判断口诀。 4.一元一次不等式组的求解步骤：分别解不等式，借助数轴找公共解集。 5.一元一次不等式组的应用：挖掘多重不等关系，列组求解，结合实际筛选方案。 ✅小结：本节是一元一次不等式的延伸内容，核心为理解不等式组解集的意义，借助数轴、利用数形结合确定公共解集，构建不等式（组）模型求解实际问题，为本章综合题学习打好基础。 ✺学习目标 1.理解一元一次不等式组及其解集的概念，能借助数轴确定一元一次不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的基本步骤。 2.能从实际情境中提炼不等关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决实际问题，并检验结果是否符合实际意义。 3.掌握一元一次不等式组解集的四种基本情况，辨析不等式的解、不等式的解集与不等式组解集的概念，规避数轴表示、不等式性质运用中的常见错误。 4.初步建立数学建模思想，能结合整数解、最值等条件解决简单问题，了解含参数基础题型的分析思路。 ✺题型归纳 题型1.列一元一次不等式 题型2.用一元一次不等式解决实际问题 题型3.用一元一次不等式解决几何问题 题型4.一元一次不等式组的定义 题型5.求不等式组的解集 题型6.解特殊不等式组 题型7.求一元一次不等式组的整数解 题型8.由一元一次不等式组的解集求参数 题型9.由不等式组解集的情况求参数 题型10.不等式组和方程组结合的问题 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、一元一次不等式的应用 ▲解题核心：找出题目中的不等关系，区别于方程应用题寻找等量关系。 ▲解题步骤： ①审：借助“至少、至多、不低于、不超过、大于、小于” 等关键词确定不等关系； ②设：设未知数，一般采用直接设元，部分题目可设间接未知数；设未知数的语句不带有不等词语； ③列：根据不等关系列出一元一次不等式； ④解：求解一元一次不等式，得到解集； ⑤验：检验解集是否符合实际情境，人数、物品数量等实际量一般取正整数； ⑥答：写出符合题意的完整答案。 常见题型：方案选择问题、最值问题、分配采购问题、行程与工程问题。 知识点二、一元一次不等式组的相关概念 一元一次不等式组定义：由两个或两个以上含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 注意：组内不等式的未知数必须相同，且每个不等式均为一元一次不等式。 不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。若解集没有公共部分，则该不等式组无解。 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。 知识点三、一元一次不等式组解集的四种基本类型 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴确定，确定方法如下表所示： 知识点四、解一元一次不等式组的步骤 1.分别求出不等式组中每一个一元一次不等式的解集； 2.在同一条数轴上表示出各个不等式的解集； 3.找出各个解集的公共部分； 4.写出一元一次不等式组的解集。 知识点五、一元一次不等式组的应用 1.审题，找出题目中两个或多个不等关系； 2.设未知数，列出一元一次不等式组； 3.解不等式组，得到解集； 4.结合实际限制条件，筛选符合题意的整数解； 5.根据结果确定可行方案，规范作答。 ★【易错点提醒】 1.列不等式应用题时，误将不等关系写为等量关系； 2.解不等式时，不等式两边同乘（或除以）同一个负数，忘记改变不等号方向； 3.数轴表示解集时，空心圆圈与实心圆点混用； 4.确定不等式组解集时，错误理解解集公共部分的含义； 5.实际问题求解后不检验，忽略人数、物品数量不能为负数或非整数； 6.处理含参数不等式组问题时，易忽略端点取值的讨论。 ✺题型精讲 题型1.列一元一次不等式 1．白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． 3．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)某种小客车载有乘客x人，它的最大载客量为14人； (2)小明今天锻炼身体用了，他每天锻炼身体的时间不少于； (3)正方形的边长为，它的面积不超过； (4)一条裤子进价80元，标价x元，打八折销售后至少盈利20元． 题型2.用一元一次不等式解决实际问题 1．“芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（     ） A． B． C． D． 2．南山购物中心某种商品进价为元，标价元销售，购物中心规定可以打折销售，但利润率不能低于，则这种商品最多可以按______折销售． 3．小亮参加一次知识竞赛，共道题，每道题回答正确得分，回答错误或放弃回答扣分，此次竞赛要求分以上（不含分）的选手才能晋级，那么小亮至少答对多少道题才能顺利晋级？ 题型3.用一元一次不等式解决几何问题 1．若三角形的三边长分别为a＋2，4，7，则a可能的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．11 2．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 3．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 题型4.一元一次不等式组的定义 1．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，某校实践小组在点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端，之间的距离可能是_____米． 3．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为________ 题型5.求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 3．解不等式组：． 题型6.解特殊不等式组 1．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围是_______． 3．解不等式． 题型7.求一元一次不等式组的整数解 1．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．一元一次不等式组的整数解的个数为______． 3．解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 题型8.由一元一次不等式组的解集求参数 1．关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 2．如果不等式组的解集为，则a的取值范围为__________． 3．若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 题型9.由不等式组解集的情况求参数 1．已知关于的不等式组：无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是__________． 3．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 题型10.不等式组和方程组结合的问题 1．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 3．已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． ✺课堂小练 一、单选题 1．x的2倍与1的差是非负数，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．春节期间，某服装店降价促销．若在该服装店购买定价为元的服装，根据该服装店促销方案列不等式为，那么该服装店促销方案为（   ） A．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不超过500元 B．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不超过500元 C．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不到500元 D．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不到500元 3．已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 二、填空题 5．若，，则的取值范围为______． 6．若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 7．要使方程组有正整数解，则整数a有___________个． 三、解答题 8．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 9．若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 10．为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 11．当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一元一次不等式的应用、一元一次不等式组同步培优讲义 ✺知识框架 1.一元一次不等式的应用：寻找不等关系，设元、列不等式、求解并检验作答。 2.一元一次不等式组的相关概念：不等式组、解集、解不等式组的定义。 3.一元一次不等式组的解集类型：四种基本解集，配套判断口诀。 4.一元一次不等式组的求解步骤：分别解不等式，借助数轴找公共解集。 5.一元一次不等式组的应用：挖掘多重不等关系，列组求解，结合实际筛选方案。 ✅小结：本节是一元一次不等式的延伸内容，核心为理解不等式组解集的意义，借助数轴、利用数形结合确定公共解集，构建不等式（组）模型求解实际问题，为本章综合题学习打好基础。 ✺学习目标 1.理解一元一次不等式组及其解集的概念，能借助数轴确定一元一次不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的基本步骤。 2.能从实际情境中提炼不等关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决实际问题，并检验结果是否符合实际意义。 3.掌握一元一次不等式组解集的四种基本情况，辨析不等式的解、不等式的解集与不等式组解集的概念，规避数轴表示、不等式性质运用中的常见错误。 4.初步建立数学建模思想，能结合整数解、最值等条件解决简单问题，了解含参数基础题型的分析思路。 ✺题型归纳 题型1.列一元一次不等式 题型2.用一元一次不等式解决实际问题 题型3.用一元一次不等式解决几何问题 题型4.一元一次不等式组的定义 题型5.求不等式组的解集 题型6.解特殊不等式组 题型7.求一元一次不等式组的整数解 题型8.由一元一次不等式组的解集求参数 题型9.由不等式组解集的情况求参数 题型10.不等式组和方程组结合的问题 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、一元一次不等式的应用 ▲解题核心：找出题目中的不等关系，区别于方程应用题寻找等量关系。 ▲解题步骤： ①审：借助“至少、至多、不低于、不超过、大于、小于” 等关键词确定不等关系； ②设：设未知数，一般采用直接设元，部分题目可设间接未知数；设未知数的语句不带有不等词语； ③列：根据不等关系列出一元一次不等式； ④解：求解一元一次不等式，得到解集； ⑤验：检验解集是否符合实际情境，人数、物品数量等实际量一般取正整数； ⑥答：写出符合题意的完整答案。 常见题型：方案选择问题、最值问题、分配采购问题、行程与工程问题。 知识点二、一元一次不等式组的相关概念 一元一次不等式组定义：由两个或两个以上含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 注意：组内不等式的未知数必须相同，且每个不等式均为一元一次不等式。 不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。若解集没有公共部分，则该不等式组无解。 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。 知识点三、一元一次不等式组解集的四种基本类型 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴确定，确定方法如下表所示： 知识点四、解一元一次不等式组的步骤 1.分别求出不等式组中每一个一元一次不等式的解集； 2.在同一条数轴上表示出各个不等式的解集； 3.找出各个解集的公共部分； 4.写出一元一次不等式组的解集。 知识点五、一元一次不等式组的应用 1.审题，找出题目中两个或多个不等关系； 2.设未知数，列出一元一次不等式组； 3.解不等式组，得到解集； 4.结合实际限制条件，筛选符合题意的整数解； 5.根据结果确定可行方案，规范作答。 ★【易错点提醒】 1.列不等式应用题时，误将不等关系写为等量关系； 2.解不等式时，不等式两边同乘（或除以）同一个负数，忘记改变不等号方向； 3.数轴表示解集时，空心圆圈与实心圆点混用； 4.确定不等式组解集时，错误理解解集公共部分的含义； 5.实际问题求解后不检验，忽略人数、物品数量不能为负数或非整数； 6.处理含参数不等式组问题时，易忽略端点取值的讨论。 ✺题型精讲 题型1.列一元一次不等式 1．白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，解题的关键是理解题意；根据总销售额等于单价乘以数量，单价为进价提价后的价格，即元/罐，总销售额需多于12万元（120000元），由此列不等式即可． 【详解】解：由题意可列不等式为； 故选C． 2．某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用. 解题思路为：先根据已知条件确定答错的题数. 再根据得分规则与成绩要求，结合“不低于”的含义列出对应不等式. 【详解】解：由题意可知，小海答对道题，共有道题未作答，总题数为道，因此答错的题数为道. 答对一道题得分，因此答对总分为，答错一道题扣分，因此答错总扣分为， 成绩不低于分，即总得分大于等于，因此可列不等式：. 3．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)某种小客车载有乘客x人，它的最大载客量为14人； (2)小明今天锻炼身体用了，他每天锻炼身体的时间不少于； (3)正方形的边长为，它的面积不超过； (4)一条裤子进价80元，标价x元，打八折销售后至少盈利20元． 【答案】(1)且x为正整数 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了根据题意列不等式． （1）根据最大载客量为14人即小于14列不等式即可． （2）根据不少于即大于等于列不等式即可． （3）根据正方形的面积以及不超过即小于等于列不等式即可． （4）根据至少即大于等于列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：且x为正整数 （2）解：根据题意： （3）解：根据题意： （4）解：根据题意： 题型2.用一元一次不等式解决实际问题 1．“芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示购买16个垃圾夹的费用和购买个捞网的费用，根据总费用不超过450元列不等式即可． 【详解】解： 设还能购买捞网个，根据题意得． 2．南山购物中心某种商品进价为元，标价元销售，购物中心规定可以打折销售，但利润率不能低于，则这种商品最多可以按______折销售． 【答案】7/七 【分析】设这种商品可以按折销售，根据利润率不能低于列不等式并解不等式即可求出答案． 【详解】解：设这种商品可以按折销售，则 解得， 即这种商品最多可以按折销售． 3．小亮参加一次知识竞赛，共道题，每道题回答正确得分，回答错误或放弃回答扣分，此次竞赛要求分以上（不含分）的选手才能晋级，那么小亮至少答对多少道题才能顺利晋级？ 【答案】 小亮至少答对道题才能顺利晋级 【分析】设小亮答对道题，则回答错误或放弃回答道题，列不等式求解，并取最小整数解即可． 【详解】解：设小亮答对道题，则回答错误或放弃回答道题， 根据题意可列不等式：， 解得， ∵为整数， ∴最小为． 答：小亮至少答对道题才能顺利晋级． 题型3.用一元一次不等式解决几何问题 1．若三角形的三边长分别为a＋2，4，7，则a可能的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：7-4<a+2<4+7， 解得：1<a<9， 选项中只有5符合题意， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形的三边关系及求不等式组的解集，理解题意，掌握三角形的三边关系是解题关键． 2．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 3．如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)机器人变成彩色的总时长为8秒 【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，，且点在点的右侧， ∴点只能在点的右侧，位置如图所示： ∴， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数是． （3）解：∵点表示的数分别为， ∴， 由题意得：点从点运动到点所需时间为秒， ∴当时，点在上，点在点处，此时，即， ∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 令，解得． ①当时，点在点的左侧，未追上点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时，点与点重合，，符合题意； ③当时，点在点的右侧，超过点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色， ∴机器人变成彩色的总时长为（秒）， 答：机器人变成彩色的总时长为8秒． 题型4.一元一次不等式组的定义 1．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B．该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误． 故选：B． 2．如图，某校实践小组在点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端，之间的距离可能是_____米． 【答案】（任意在范围内的实数均可） 【分析】根据三角形三边关系可得的取值范围，即可解答． 【详解】解：根据三角形三边关系可得，即， 则池塘两端，之间的距离可能是米． 3．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为________ 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 题型5.求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式组的解集，把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 2．已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先根据和化简，得到与的关系式，再利用三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：，， ， ， ， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，可得，代入已知条件得，整理得， 拆分为不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 验证： ， ，恒成立， 因此， 代入， 可得． 3．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 题型6.解特殊不等式组 1．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 2．已知，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 3．解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 题型7.求一元一次不等式组的整数解 1．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 2．一元一次不等式组的整数解的个数为______． 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，再找出范围内的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 解不等式①：， 移项得：， 解得：， 解不等式②：， 两边同乘得：， 移项得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，，，共个． 3．解不等式组：，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为、 【分析】分别求两个不等式的解集，然后求公共解，确定负整数解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 负整数解为、． 【点睛】注意负整数解的定义． 题型8.由一元一次不等式组的解集求参数 1．关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求解不等式组，根据一元一次不等式的整数解求参数的取值范围，掌握知识点是解题的关键． 先求解不等式组，得到解集为．由于恰好有4个整数解，且，整数解必为0，1，2，3．为确保恰好4个整数解，需满足在解集中而不在解集中，从而推导出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴； ∵， 展开得， 移项得， 两边乘得． ∴不等式组的解集为． ∵解集恰好有4个整数解，且， ∴整数解为0，1，2，3． 为确保在解集中，需，即； 为确保不在解集中，需． ∴的取值范围为． 故选C． 2．如果不等式组的解集为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则，得到关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 3．若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先求出两个不等式的解集，根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解： 由①，得：． 由②，得：． ∵不等式组只有4个整数解， ∴整数解为7，8，9，10， ∴． 解得 ， ∴a的取值范围是 题型9.由不等式组解集的情况求参数 1．已知关于的不等式组：无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由不等式组解集的情况求参数，利用一元一次不等式组解集“大大小小找不到”的判定规则即可求解． 【详解】∵ 不等式组无解， ∴ 不存在实数同时满足两个不等式， 根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则， 可得． 2．已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据不等式组有两个整数解，确定解集右边界的取值范围，进而计算得到的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 关于的不等式组有两个整数解， ∴两个整数解为0，1， ∴， 解得． 3．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答，即可求解； （2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解； 【详解】（1）解：，解得：， ∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数， ①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意； ②，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； ③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； 故答案为：②③ （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其所有整数解为， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组与是“整数同解”的， ∴不等式组的所有整数解为， ∴， 解得： 题型10.不等式组和方程组结合的问题 1．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 2．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 3．已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． ✺课堂小练 一、单选题 1．x的2倍与1的差是非负数，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确“非负数”的定义，即大于或等于0的数，按题意逐步转化为不等式即可得到结果． 【详解】解：∵的2倍可表示为，的2倍与1的差可表示为， 又∵非负数是指大于或等于0的数， ∴根据题意可得不等式． 2．春节期间，某服装店降价促销．若在该服装店购买定价为元的服装，根据该服装店促销方案列不等式为，那么该服装店促销方案为（   ） A．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不超过500元 B．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不超过500元 C．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不到500元 D．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不到500元 【答案】C 【分析】根据题意，可以写出表示的含义，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，表示买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不到500元． 3．已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有个， ∴满足条件的个整数解为，，， ∴的取值范围是． 4．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：解法一：， ，得：， ∵， ∴， 解得，， 解不等式组得，， ∵不等式组只有个整数解， ∴， 解得，， ∴， ∴的值有：， ∴符合条件的整数m的值的和为； 解法二：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴，即的值有：， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 二、填空题 5．若，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，先根据b的取值范围求出的取值范围，再结合a的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 6．若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 【答案】 【分析】先对所求不等式组进行变形，整理得到与已知不等式结构一致的形式，结合已知不等式的解集，利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴整理得：，即， 当时，解得， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当时，解得， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得； 综上可得：不等式组的解集为：． 7．要使方程组有正整数解，则整数a有___________个． 【答案】4 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴， 解得：， ∴整数a有，，0，4，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 三、解答题 8．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 ， 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如图所示： 9．若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 先解二元一次方程组，然后代入不等式即可求解． 【详解】解：， ①②，得：， ， ∴， 代入②，得：， ， ∴， ∴方程组的解为：， ∴， ∴， ∴． 10．为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 【答案】(1)第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元 (2)剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元 【分析】（1）设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元，根据“第二次比第一次多购进200把”列方程求解即可． （2）设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元，根据“第二次的销售利润不低于3840元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元． 根据题意得， 两边同乘得：， ∴， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解． 答：第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元． （2）解：设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元． 根据题意得， 整理得， ∴， 解得：， 答：剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元． 11．当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集． (1)不等式组的二次中点解集是__________，二次中点解集中包含的整数解为__________； (2)已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据二次中点解集定义即可得出二次中点解集，最后求出这个解集的整数解即可； （2）先求出不等式组的解集为，再根据一次中点解集和二次中点解集的定义得出一次中点解集和二次中点解集，根据一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解分别求出的取值范围，最后求出两个取值范围的公共部分即可得出答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的二次中点解集是，即， ∴二次中点解集中包含的整数解为． （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的一次中点解集为，即， ∵一次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为，，， ∴， 解得：， 原不等式组的二次中点解集为，即， ∵二次中点解集中有且仅有个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 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