精品解析：上海市宜川中学2025-2026学年高三上学期10月阶段测试数学试题

宜川中学2025学年第一学期阶段测试 高三数学试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号． 3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分． 一、填空题（每题4分，每题5分） 1. 已知集合，，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解即可, 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 2. 复数的虚部为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 3. 不等式的解集为 ____________ ． 【答案】或. 【解析】 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 4. 已知实数满足，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解. 【详解】因为，则，， 所以， 故答案为：. 5. 函数的定义域是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 6. 在中，，，则外接圆的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理得到三角形外接圆半径，进而求出面积. 【详解】由正弦定理可得外接圆直径，解得， 故外接圆面积为. 故答案为：. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角为_____________（用反三角函数表示）． 【答案】. 【解析】 【分析】先根据正方体特征得出平面，再根据线面角定义得出是直线与平面所成的角，最后计算边长计算正切即可求解. 【详解】 连接，因为是正方体，所以 平面， 是直线与平面所成的角. 由题意，得. ，. ，. 故直线与平面所成角的大小是. 故答案为：. 8. 已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______． 【答案】或， 【解析】 【分析】根据函数的单调性，作出函数图像，即可结合函数图像的交点个数求解. 【详解】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，， 作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或， 故答案为：或， 9. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 10. 已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 【答案】 【解析】 【分析】设这三个编号分别为、、，对三个编号是否相同进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种， 若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则， 则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定， 奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个， 若、同为奇数，则、的选择方法种数为种； 若、同为偶数，则、的选择方法种数为种. 当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种. 综上所述，不同的摸法种数为种. 故答案为：. 11. 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米. 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 12. 已知函数，若在上单调，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数的解析式，结合函数在给定区间上的单调性和正弦函数的单调性求的取值范围即可. 【详解】因为，. 因为，所以. 因为在上单调，所以. 且或，. 所以或，. 所以或. 因为且，所以或. 所以，故的最大值为. 二、选择题（每题4分．每题5分） 13. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：若，则，错； B：若时，，错； C：由，，同向相加，不等式符号方向不变知，对； D：若，则，错. 故选：C 14. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 15. 已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，，所以.又，所以，D正确. 故选：D 16. 对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（ ） A. 命题（1）（2）均成立 B. 命题（1）成立，命题（2）不成立 C. 命题（1）不成立，命题（2）成立 D. 命题（1）（2）均不成立 【答案】C 【解析】 【分析】对于（1），依题意化简不等式得，根据等差数列的通项公式与求和公式的特征，利用极限思想即可判断；对于（2）取，计算，取，即可判断条件满足. 【详解】（1）若等差数列不是常数列，则公差，则可看成关于的一次函数， 由得，可看成关于的二次函数， 当足够大时，根据极限的思想可判断上式不成立，故命题（1）不成立； （2）取，则， 则对任意的正整数，不妨取，，符合题意. 故命题（2）正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查新定义数列的概念应用，属于难题. 解题方法为，按照新定义数列要求，将不等式进行化简和计算判断，运用极限思想排除命题（1）；对于等比数列，要说明存在性命题的正确，只需寻找到符合条件的数列和的值即可. 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； （2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的含义可求得的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性； （2）根据单调性以及奇函数性质可得，从而得到不等式，求解即可. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为R，则， 所以，即， 此时，满足，即为奇函数， ，定义域为R，对，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即函数在R上单调递减； 【小问2详解】 由，则， 又因为为奇函数，所以， 又因为函数在R上单调递减， 所以，因为存在实数，使得， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； 【小问2详解】 由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：， ，且， 又 面PBD     又是平行四边形   面PBD （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）由第（1）的结论建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与BD交点为O， 则为中点，， 面面， 面 法一：建系：如图建系， ， ， 设平面的法向量为， 则， 设平面的法向量为， 则， 设二面角的平面角为 二面角的余弦值为． 法二：即求直接找角：作面PBD， 面，作，连即为所求角 二面角的余弦值为． 法三：等积法：角度转化+等体积公式 设二面角的平面角为 二面角的余弦值为． 20. 日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据蒙日圆定义求出半径，即可得解； （2）利用点到直线的距离及圆的性质，求出弦长，得出三角形面积即可； （3）设，可得直线的方程为，联立椭圆，得出根与系数的关系，利用弦长公式求出，再由点到直线距离求出三角形高，得出三角形面积，换元后利用导数求最值. 【小问1详解】 因为椭圆：，所以， 所以椭圆的蒙日圆的方程为； 【小问2详解】 如图， 由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由，得，即， 所以坐标原点到直线：的距离， 所以， 所以； 【小问3详解】 由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为， 设，则，设，， 则切线的方程为，切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 故直线的方程为， 将直线的方程与椭圆的方程联立得， 消去并整理得， 显然，， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以， 设，则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出三角形面积表达式后，需要通过换元，转化为不带根号的式子，再由导数判断函数的单调性，利用单调性求面积的最小值. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【小问1详解】 由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2025学年第一学期阶段测试 高三数学试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号． 3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分． 一、填空题（每题4分，每题5分） 1. 已知集合，，则 _____. 2. 复数的虚部为____________． 3. 不等式的解集为 ____________ ． 4. 已知实数满足，则______． 5. 函数的定义域是________ 6. 在中，，，则外接圆的面积为______. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角为_____________（用反三角函数表示）． 8. 已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______． 9. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 10. 已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法. 11. 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米. 12. 已知函数，若在上单调，则的最大值为_________． 二、选择题（每题4分．每题5分） 13. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 15. 已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 16. 对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（ ） A. 命题（1）（2）均成立 B. 命题（1）成立，命题（2）不成立 C. 命题（1）不成立，命题（2）成立 D. 命题（1）（2）均不成立 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； （2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 20. 日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $