上海市回民中学2025-2026学年高三第一学期期中数学试卷

2025学年第一学期高三数学期中试卷（2025.11） 一、填空题（本大题共54分，第1-6题每题4分．第7-12题每题5分） 1．若集合，，则_______． 2．函数的定义域为________________． 3．不等式的解集是___________________． 4．若复数（i为虚数单位），则_______． 5．直线与直线的夹角为_______． 6．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点为圆心的单位圆交于点，则的值为_______． 7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 8．关于的方程的解集为_______． 9．已知，均为锐角，，，的值为_______． 10．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 11．已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是_______． 12．已知，、、是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 二、选择题 13．已知非零实数，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 14．已知平面向量、满足，，且在方向上的投影向量为，则向量、的夹角为（ ） A． B． C． D． 15．已知直线：与圆：有两个不同的公共点A、B，则下列命题判断错误的个数是（ ） ①直线过定点；②当时，线段长的最小值为； ③半径的取值范围是；④当时，有最小值为-16． A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知集合，若对任意实数对，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，． （1）求； （2）若，，求的面积． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知为坐标原点，，，若． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 我国自主研发的四足机器狗近几年在世界范围，各个领域的运用大放异彩，吸引着全球的日光．2023年杭州亚运会首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼，成为了全场的焦点．已知购买台“机器狗”的总成本为（万元）． （1）若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台？ （2）现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离为120米．3台“机器狗”所用时间（单位：秒）分别为、、，“汪1”有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，，则哪台机器狗用的时间最少？请说明理由． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆：，点为的上顶点． （1）求椭圆的离心率； （2）求椭圆上动点到点的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线与交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为，，当时，判断直线是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $