精品解析：广东广州执信中学2026-2027学年高二第一学期9月阶段训练数学试题

2026-2027学年度第一学期 高二年级数学9月阶段训练 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 2. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3. 已知，则直线与直线相交的充要条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线相交得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由已知两直线相交，则且， 故选：D． 4. 在直角中，，点M是外接圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算，结合向量的数量积的运算公式，即可求解最大值，得到答案． 【详解】由题意，设△ABC的外心即BC中点为O， 由平面向量的线性运算，知， 所以=， 由图可知：==， 当时，， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算和平面向量的数量积的运算公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 5. 桌面上有以下四种几何体，设点是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体、球、圆柱、圆锥的几何性质进行运算判断即可. 【详解】A：当点是棱长为1的正方体表面上的一点时， 因为棱长为1的正方体的对角线长为， 所以点到桌面的最大距离为； B：当点是表面积为的球表面上的一点时， 设该球的半径为，所以有， 因此该球的直径为， 由球的性质可知点到桌面的最大距离为； C：当点是轴截面是边长为1的正方形的圆柱表面上的一点时， 此时该正方形的对角线长为， 所以点到桌面的最大距离为； D：当点是体积为且轴截面为直角三角形的圆锥表面上的一点时， 由圆锥的性质可知该直角三角形为等腰直角三角形，设斜边长为， 所以该圆锥的底面的半径为，圆锥的高为， 所以有， 所以斜边长为， 因此点到桌面的最大距离为； 显然，即， 故选：D 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先对已知式子切化弦，利用两角和差正弦公式化简，再用正弦定理完成边角互化，化简求出的值，结合三角形内角范围得到角. 【详解】将题中所给等式切化弦得，，则， 由两角和公式化简可知，， 因为，所以两边同时乘以得，， 由正弦定理得，， 因为，所以两边同时除以得，，所以， 因为，所以. 7. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数乘运算可表示出坐标，利用两点间距离公式和二次函数性质可求得最大值. 【详解】由题意知：平面平面， ，平面平面，平面， 平面，又， 则以为原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设，则， ，，，， ， 则当或时，取得最大值. 故选：C. 8. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的单调性化简得出，代入结合诱导公式以及基本不等式求解即可. 【详解】由及余弦定理可得，整理可得， 由正弦定理可得 ， 因为、，所以， 因为，故， 因为正弦函数在上为增函数，所以，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求． 9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线的倾斜角不存在 B. 直线的斜率为 C. 边上的高所在直线的方程为 D. 边上的中线所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】直线的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误； 直线的斜率为，B选项正确； 边上的高所在直线与垂直，由A边上的高所在直线斜率为，又高所在直线过点C， 故边上的高所在直线的方程为，即，C选项正确； 边上的中点坐标为，则边上中线所在直线斜率为， 所以中线方程为，即，D选项错误. 故选：BC. 10. 在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 若为的中点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求，可判断A，利用基本不等式来推理可判断B，利用举反例可判断C，利用中线向量来求中线长可求解取值范围来判断D. 【详解】由，结合正弦定理角化边得：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，故A正确； 再由，因为，所以， 又因为，所以，解得， 当且仅当时取等号，此时，故B正确； 在直角中，，，斜边，故C错误； 由中线平方可得：， 即，利用可得： ，因为， 所以，当且仅当取等号， 因为，所以的取值范围为，故D正确； 故选：ABD. 11. 在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点轨迹所在直线与平面平行 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若与平面所成角的大小为，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A、B、C根据条件确定点轨迹，结合线面平行判定、线面垂直的判定及性质、平面上两点距离最短判断；D由条件得在线段上运动，令，则，结合三角恒等变换及正弦型函数性质求最值判断. 【详解】A：若为中点，当时在线段上运动，而， 面，面，则面，A对； B：由，则在线段上运动；在正方体中易知， 且面，面，则， ，面，则面，面， 所以，同理可证，又，面， 所以面，面，则，B对； C：若，则在线段上运动； 将面翻折至与面共面，如下图，， 所以共线时的最小值为，C错； D：若与平面所成角的大小为，连接，又面， 结合正方体性质，要使线面角恒为， 只需在面中以为圆心，为半径的圆弧上运动； 如上图，令，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据条件确定点运动轨迹为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 13. 已知，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由， 得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得． 又由，所以，所以． 在直角三角形中，，得，所以． 又在直角三角形中，． 同理在直角三角形中，,． 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高． 所以圆台的体积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设直线：与：． 若，求，之间的距离； 若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】若，求出m的值，即可求，之间的距离； 表示直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线的方程． 【详解】若，则，， ：，： ，之间的距离； 由题意，，， 直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积， 时，S最大为，此时直线的方程为． 【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 16. 如图，在直三棱柱中，是中点. （1）求证：平面； （2）若，且，求直线到平面的距离. 【答案】（1）如图所示，连接交于点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形， 则是的中点，又是中点，则. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明；（2）解法一，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法二，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法三，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用空间向量法求解点到面的距离 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，， 所以，所以. 因为平面，由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，，所以，所以. 又因为，，，平面.， 所以平面. 因为点为中点，所以点到平面的距离为. 由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 设平面的法向量为，则， 取，则，，即. 又，则点到平面的距离. 由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为. 17. 在中，，，所对的边分别为，，，且，． （1）求证：为直角三角形； （2）若点为的内切圆上的动点，求点到顶点，，的距离的平方和的最大值与最小值． 【答案】（1）由正弦定理，结合已知条件，可得． 交叉相乘得，即． 因为，所以，故． 于是，即． 因此． 故为直角三角形． （2）最大值为88，最小值为72． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用倍角公式得到与的关系，从而证明. （2）建立平面直角坐标系，求出内切圆方程，再把几何问题代数化，转化为一次函数的最值问题，从而求出距离平方和的最大值和最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，故, 解得，．直角三角形内切圆半径. 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则 ，，. 内切圆圆心为，内切圆的方程为. 设圆上动点，记距离平方和为，则 . 由圆方程展开得，将其代入的表达式： . 由可知．当时，取得最大值88；当时，取得最小值72. 综上，距离平方和的最大值为88，最小值为72. 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． （1）求证：； （2）若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在平面内作于， 因为平面，且平面，因此； 因为平面平面，且平面平面，平面， 因为，故平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，故平面； 又因为平面，因此． （2）①②． 【解析】 【分析】（1）根据题干所给线面垂直和面面垂直，利用线面垂直与面面垂直的性质，得到两条直线垂直，通过证明线面垂直，得到异面直线垂直； （2）①由已知线面垂直可得三棱锥的高为，通过作出AM与平面PBC所成角为计算三角形的面积，代入体积公式即可； ②由①中的结论构造三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，根据向量计算二面角的平面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，，为等腰直角三角形， 因此， 又因为，平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以． 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以． 所以三棱锥体积为． ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 故，直线的方向向量． 设平面的法向量，故， 即解得， 令，则，所以． 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以，即的最大值为． 此时． 设平面的法向量，则， 即，解得， 令，则，所以． 平面的一个法向量． 设二面角为，则， 所以． 19. 设n为正整数，集合．对于集合A中的任意元素和，记． （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （3）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】（1）2,1； （2）最大值为4； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干定义写出M（）和M（）的值； （2）分析出数对的四种情况，得出集合中元素的情况； （3）使用反证法证明． 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 考虑数对只有四种情况：、、、， 相应的分别为、、、， 所以中的每个元素应有奇数个， 所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： 、、、， 、、、， 对于任意两个只有1个1的元素，都满足是偶数， 所以集合满足题意， 假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素， 则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意， 故中元素个数的最大值为． 【小问3详解】 ， 此时中有个元素，下证其为最大． 对于任意两个不同的元素，满足， 则，中相同位置上的数字不能同时为， 假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有， 所以除外至少有个元素含有， 根据元素的互异性，至少存在一对，满足， 此时不满足题意， 故中最多有个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 高二年级数学9月阶段训练 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则直线与直线相交的充要条件是（ ） A. B. C. D. 且 4. 在直角中，，点M是外接圆上任意一点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 桌面上有以下四种几何体，设点是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求． 9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线的倾斜角不存在 B. 直线的斜率为 C. 边上的高所在直线的方程为 D. 边上的中线所在直线的方程为 10. 在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 若为的中点，则的取值范围为 11. 在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点轨迹所在直线与平面平行 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若与平面所成角的大小为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 13. 已知，则的值是_____. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设直线：与：． 若，求，之间的距离； 若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程． 16. 如图，在直三棱柱中，是中点. （1）求证：平面； （2）若，且，求直线到平面的距离. 17. 在中，，，所对的边分别为，，，且，． （1）求证：为直角三角形； （2）若点为的内切圆上的动点，求点到顶点，，的距离的平方和的最大值与最小值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． （1）求证：； （2）若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 19. 设n为正整数，集合．对于集合A中的任意元素和，记． （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （3）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $