精品解析：广东省揭阳岐山中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考 数学科试题 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在四面体中，点在线段上，且，点为中点，设，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 10. 已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（ ） A. B. C. 的模为5 D. 向量与的夹角为 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 的长为 D. 与平面所成角的正弦值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，向量，则__________． 13. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 14. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向. （1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. （2）求向量的坐标. （3）求向量与的夹角. 16. 平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，； （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度． 17. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考 数学科试题 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 2. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共面向量定理结合基底的定义逐项判断. 【详解】对于A，，所以，三个向量共面，A选项错误； 对于B，，所以三个向量共面，B选项错误； 对于C， ，三个向量共面，C选项错误； 对于D，假设共面，则， 所以，可知该方程组无解，即三个向量不共面，D选项正确. 故选：D. 4. 已知在四面体中，点在线段上，且，点为中点，设，，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，点为中点，连接, 则. 故选：B. 5. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 6. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体  中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 8. 在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 10. 已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（ ） A. B. C. 的模为5 D. 向量与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，，进而得，再依次讨论求解即可得答案. 【详解】解：因为向量，向量与平行，向量与垂直， 所以，，即，解得，故A，B选项正确； 所以，，故C选项错误； 因为，所以向量与互为相反向量，夹角为，故正确. 故选：ABD 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 的长为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过可判断A，通过，可判断B，由可判断C，对于D，法一：过作平面，确定 与平面所成角为，再通过向量的夹角公式可判断，法二：设底面正的中心为，求得，结合直角三角形即可求解. 【详解】A选项：由平行六面体的定义，，平面，平面，由线面平行的判定定理，得平面，所以A正确； B选项： ， 故，，即，， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理，得平面，所以B正确； C选项： ，则，所以C不正确； D选项：法一（向量法）：过作平面，垂足为，连接． 由，且，得为等边三角形，则． 因为平面，所以，，由三角形全等可得， 故在的平分线上，因此与平面所成角为． 由，得，即． ， ， 故直线与平面所成角的正弦值为； 法二（几何法）： 连接，，，由， ，可得， 即四面体为棱长为1的正四面体． 设底面正的中心为，则， 平面，平面，， 在中，． 设与平面所成角为，则，故D正确． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，向量，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题设. 13. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间坐标平面中点的坐标定义易得. 【详解】设点在坐标平面内的射影为，则平面. 根据空间坐标平面中点的坐标定义，易得，故得. 故答案为：. 14. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向. （1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. （2）求向量的坐标. （3）求向量与的夹角. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为正方体的棱长为，为坐标原点， 则的坐标为， 点在轴上，则， 点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）可知，，，则. 【小问3详解】 因为，，则， 且，则， ，， 则， 且，所以， 即向量与的夹角为. 16. 平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，； （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理利用向量的加减法法则求解即可， （2）先根据题意可得，，，然后对平方化简可求得结果. 【小问1详解】 因为为中点，为中点， ，，， 所以 ； 【小问2详解】 因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且， 所以，，， 所以 所以，即线段PM长为 17. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：连接，设，连接， 则为中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面； （2）证明：底面，底面， ， 又是正方形， ， 又，平面，且， 平面， 平面， ， ， ， ，平面，， 平面， 平面， ， ，且，，平面， 平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线可证线线平行，进而可证线面平行； （2）根据线面垂直及正方形可证平面，即，再由，可得证； （3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）得平面，则平面， 所以可以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 即，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以， 即平面与平面夹角余弦值为， 所以平面与平面夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $