广东广州某校2025-2026学年高二1月月考数学试题

2025--2026学年高二数学1月月考试题 （满分：150分；时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，，且，则（     ） A． B． C．1或 D．或 3．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ） A．白露比立秋的晷长长两尺 B．大寒的晷长为一丈五寸 C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D．立春的晷长比立秋的晷长长 5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 7．已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（  ） A． B． C． D． 8．已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 10．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（A点在第一象限），过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 11．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 14．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15（13分）．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 16（15分）．在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值. 17（15分）．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 18（17分）．已知数列的前项和为，且， (1)求数列通项公式； (2)若数列满足,求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 19（17分）．如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 2025--2026学年高二数学1月月考试题答案 （满分：150分；时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的公比为，则，从而， 则， 故选：D. 2．已知直线，，且，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 3．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知， 由于是等边三角形，则，所以， 由题意可得，解得， 因此该双曲线的标准方程为. 故选：C 4．日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ） A．白露比立秋的晷长长两尺 B．大寒的晷长为一丈五寸 C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D．立春的晷长比立秋的晷长长 【答案】B 【解析】由题意，将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，则有，解得. 对选项A，白露、立秋分别对应的为、，所以白露比立秋的晷长寸，即两尺，故A正确； 对选项B，由图可知大寒比冬至的晷长要小两个，所以大寒的晷长为寸，即一丈一尺五寸，故B错误； 对选项C，由图可知，处暑和谷雨的晷长相同，故C正确； 对选项D，可得立春的晷长为寸，立秋的晷长为. 故选：B. 5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 6．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 7．已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果. 由题意，因为为正方形，且底面， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以，设，， 则，所以，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 因为单调递增，所以当时，最大， 此时，即直线与平面所成角的最大值为. 故选:C 8．已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设，则，，， 又，则， 中，由余弦定理得：， 即，化简得，则，， 中，，由余弦定理得， 整理得，所以离心率. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【解析】设等比数列的公比为，则，所以，故A正确； 所以，则，， 显然，所以数列不是等比数列，故B错误； ，，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【解析】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点， 又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确． 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以或4，B错误． 由上，若，可知， 可得，则，即，C正确． 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误. 故选：AC. 11．已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为6 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【解析】先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】 【解析】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 【答案】9 【解析】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 14．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 【答案】 (1) (2) 【解析】 （1）设圆的一般方程为， 由题意得，，解得， 所以圆的一般方程为， 故圆的标准方程为. （2）由圆与圆， 两式相减得， 即直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 又圆的半径为5，故. 16．在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】 (1)证明见解析 (2). 【解析】（1），为中点， . 又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， . 又为的中点， ，又， . 又平面， 平面. （2）过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 故，，，. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则 17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】 (1) (2)或 【解析】 （1）∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以 ， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或．    18．已知数列的前项和为，且， (1)求数列通项公式； (2)若数列满足,求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】 （1）：由数列满足， 当时，， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 又=4，所以是等比数列，则其公比为4， 所以的通项公式为：； 故答案为：. （2）由题意，，则前项中： 奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则： 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（）， 则： 因此前项和为： . 故. （3）由（1）知，，因为， 所以，整理得： 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾. 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 19．如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 【答案】 （1） （2）（ⅰ）．（ⅱ）见解析 【解析】 （1）连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为. （2）设，， 联立， 故． ………………………………………7分 （ⅰ）当时，，， 故，故直线OD的方程为：，即． ……………………………9分 （ⅱ）又因为，， …………………………………10分 故 ． ……………………………………13分 联立，故， ………………………………………16分 故，故，，成等差数列． ………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $