精品解析：广东广州市第二中学教育集团2025-2026学年高一上学期期中四元联考数学试题

广州二中教育集团2025学年第一学期期中四元联考 高一数学 命题：黄冉冉 审校：谷忠忠、赵勇 2025.11.13 本试卷共4页，19小题，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的，答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，在上单调递减的是（ ） A B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请在答题卡的指定位置填涂答案选项．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B. 函数的定义域是 C. 函数值域为 D. 已知是一次函数且，则 10. 已知，，，下列选项中正确的有（ ） A. 最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 11. 关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案写在答题卡的指定位置上． 12. ___. 13. 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 14. 已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15. 已知集合，集合，集合． （1）求的子集的个数； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 16. 已知函数满足，． （1）求a，b的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）求不等式的解集． 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 19. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州二中教育集团2025学年第一学期期中四元联考 高一数学 命题：黄冉冉 审校：谷忠忠、赵勇 2025.11.13 本试卷共4页，19小题，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的，答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解. 【详解】“，”的否定是：，， 故选:C 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 3. 已知命题，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式和二次不等式，然后由充分必要条件的定义即可得到结果. 【详解】，，即 ，即，，则，即， 所以是的必要不充分条件. 4. 下列函数中，在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当时，单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增，故A错误； 对于B，因为 是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由于 是对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增，故Ｃ错误； 对于D，由于 是幂函数，幂指数， 根据幂函数性质，幂指数为负时，函数在上单调递减，故D正确. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】， ，， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 故选：B. 6. 如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 7. 已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的对称性及单调性比较大小即可. 【详解】当时，恒成立，则函数在上单调递增， 由函数的定义域为R，且它的图象关于对称，得函数在上单调递减， 因此，所以. 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请在答题卡的指定位置填涂答案选项．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B. 函数的定义域是 C. 函数值域为 D. 已知是一次函数且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据一元二次不等式恒成立的条件求解即可；对于B，根据函数有意义的条件即可求出定义域；对于C，求出，进而求出函数的值域；对于D，利用待定系数法即可求出的解析式. 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 由于是二次不等式，所以， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为，故A正确； 对于B，令，解得且， 所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，，故， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为是一次函数，故设， 由题意得，， 即， 所以，解得， 所以，故D错误. 10. 已知，，，下列选项中正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“1”的代换法求解最小值可判断A，利用基本不等式积的最大值可判断B，利用消元思想化归到基本不等式求最小值可判断C，利用换元法化归到对勾函数求最小值可判断D. 【详解】对于A，利用"1的代换"可得：   ， 等号成立条件： ，即 ，代入  得： ，故A正确； 对于B，由基本不等式 ，代入 ， 可得 ，等号成立条件：，即 ，故B正确； 对于C，将  代入得：  ， 由基本不等式可得：，故， 等号成立条件为 ，即 ，此时 ，不满足 ， 因此等号取不到，故C错误； 对于D，展开分子，代入 可得：，   因此原式化简为：  令 ， 由选项B正确可得：，可得，再由对勾函数在上单调递减， 所以当时，取到最小值：，故D正确. 11. 关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案写在答题卡的指定位置上． 12. ___. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用根式及指数运算计算可得结论. 【详解】. 故答案为： 13. 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得，代入即可求出答案；根据函数的单调性可将不等式化为，根据，得到，根据对勾函数的单调性求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为是上的奇函数，当时，， 所以， 易得在上单调递增， 所以可化为， 即， 因为，所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15. 已知集合，集合，集合． （1）求的子集的个数； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合,利用补集和交集运算可得答案； （2）由题意得出，分两种情况讨论可求答案. 【小问1详解】 由可得，即，所以或， 因为，所以， 所以的子集的个数为. 【小问2详解】 因为命题“，都有”是真命题，所以; 当时，，即，符合题意； 当时，，解得；综上可得实数m的取值范围是. 16. 已知函数满足，． （1）求a，b的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1），，为偶函数，证明见解析 （2）在上单调递减，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； 【小问2详解】 在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； 【小问3详解】 由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 【解析】 【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可 【小问1详解】 由题设，当时，令， 又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人， ∴，解得. ∴， 故时，， 所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人. 【小问2详解】 由（1）知：， ∵时，当且仅当等号成立， ∴上， 而上，单调递减，则， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 18. 已知二次函数，满足当时，取得最大值2，且. （1）求二次函数的表达式； （2）若，求函数的最大值； （3）已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数的表达式； （2）讨论已知区间与函数的对称轴的关系，分析函数在上的单调性，即求出函数的最大值； （3）根据函数的值域为，可得可以取到全部非负实数，由此可得在上有解.令，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得：，解得：. 所以二次函数的表达式为：. 【小问2详解】 由题可知：的对称轴为：. 所以函数在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最大值为； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为； 当时，函数在上单调递减，所以函数的最大值为. 综上所述，函数的最大值. 【小问3详解】 由函数值域为，可得可以取到全部非负实数. 所以在上有解，即在上有解. 所以，即. 解得：，或. 故实数的取值范围是. 19. 定义，. （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1），的最小值为1； （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）比较与的大小，即可求，进而求解； （2）分和两种情况，证明等式即可； （3）令，，由（2）知：，，然后把题意转化为都大于等于2，对任意恒成立，即可求解. 【小问1详解】 设，. 当或时，，故； 当时，，故. 因此，， 作出的函数图像： 所以， 所以最小值为1； 【小问2详解】 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； 所以； 【小问3详解】 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有. ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $