精品解析：河北省邯郸冀南新区凌云中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 2026－2027学年度第一学期 精英凌云中学高二9月月考数学试题 考试范围：《选修一》第一章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于空间的三个向量，它们一定是（ ） A. 共面向量 B. 共线向量 C. 既不共线也不共面的向量 D. 无法判断 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 4. 向量＝(2,4,x),＝(2,y,2)，若||＝6,且⊥，则x＋y的值为 A. －3 B. 1 C. －3或1 D. 3或1 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 关于空间向量，下列四个结论不正确的是（ ） A. 共线的单位向量都相等 B. 模相等且不为零的共线向量是相等向量 C. 相反向量指方向相反的两个向量 D. 若非零向量，，满足，，则有 10. 如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量的坐标 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正方体 的棱长为 1，若 ，则点 到平面 的距离为__________． 13. 如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________. 14. 已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： （1）； （2）； （3）. 16. 已知是空间中不共面的向量，若． （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的值． 17. 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，设， ，. （1）求AE的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，. （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026－2027学年度第一学期 精英凌云中学高二9月月考数学试题 考试范围：《选修一》第一章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于空间的三个向量，它们一定是（ ） A. 共面向量 B. 共线向量 C. 既不共线也不共面的向量 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【详解】分两种情况讨论： 若共线，则均为共线向量，而共线向量必然是共面向量， 若不共线，则可作为平面内的一组基底，是的线性组合，根据共面向量定理，三个向量共面， 综上，一定是共面向量. 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量基底的定义解答即可. 【详解】因为能与，构成基底的向量与，不共面. 又，，， 则，，都分别与，共面，故ABC错误； 假设与，共面， 则存在，使得， 则， 所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立， 所以与，不共面，可构成基底，故D正确. 故选：D. 3. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 4. 向量＝(2,4,x),＝(2,y,2)，若||＝6,且⊥，则x＋y的值为 A. －3 B. 1 C. －3或1 D. 3或1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题＝（2,4,x）且||＝6,则；，⊥，可得； ，又＝（2,y,2），代入可得： ，则； 考点：空间向量的坐标运算及垂直的性质. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求出点，结合空间中的两点间的距离公式求解即可. 【详解】点P与点A关于平面对称，则，所以； 故选：A 6. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量与的坐标，根据空间向量数量积，求空间向量夹角. 【详解】因为，，， 所以，. 所以. 所以向量与的夹角为. 故选：C. 7. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 8. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 关于空间向量，下列四个结论不正确的是（ ） A. 共线的单位向量都相等 B. 模相等且不为零的共线向量是相等向量 C. 相反向量指方向相反的两个向量 D. 若非零向量，，满足，，则有 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A：共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等向量也可能是相反向量； 选项B：模相等且不为零的共线向量可能是相等向量也可能是相反向量； 选项C：相反向量指方向相反，模相等的两个向量； 选项D：由共线向量的性质可知正确. 10. 如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】 选项A：根据空间向量加法的法则，， 在平行六面体中，，， 所以 ，A正确； 选项B：因为为 的中点，所以 ，又 ， 所以 ，B正确； 选项C：， 因为  为  的中点，所以 ， 又 ，，所以 ， 这与选项中的  不符，C错误； 选项D：， 因为 ，。， 所以 ， 这与选项中的  不符，D错误. 11. 已知空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量的坐标 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量的加法运算和模长公式判断A，C，利用空间向量数量积的坐标运算判断B，利用投影向量的坐标公式判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，由空间向量的模长公式得，故A错误， 对于B，因为，，所以，故B正确， 对于C，因为，，所以，故C正确， 对于D，由模长公式得， 由投影向量的坐标公式得，向量在上的投影向量的坐标如下， 为，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正方体 的棱长为 1，若 ，则点 到平面 的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，然后利用向量的数量积求出点到平面的距离即可. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，. 则，. 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，所以. 所以，而， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 13. 如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，，得，，又， ∴ ， 所以，即. 故答案为：4. 14. 已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设有，，再应用空间向量数量积的运算律求结果. 【详解】由题设，四面体各侧面均是等边三角形，且边长都为1， ，， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可. 【小问1详解】 ∵是的中点， ∴； 【小问2详解】 ∵是的中点， ∴； 【小问3详解】 ∵是的中点， ∴. 16. 已知是空间中不共面的向量，若． （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系． 【小问1详解】 因为三点共线，则， 又， ， 有解得； 【小问2详解】 因为四点共面，则， 则， 有 ，得. 17. 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，设， ，. （1）求AE的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及向量数量积的定义、运算律求模长即可； （2）应用向量数量积的运算律求相关数量积和模长，再由向量夹角公式求即可. 【小问1详解】 在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； 【小问2详解】 ，， 则， ， ， 所以 即异面直线与所成的角的余弦值. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 19. 如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，. （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 由题可得、，， 则，故、， 又，则、、两两垂直， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 取，则、， 则，故， 故平面平面； （2） （3） 假设存在，且，则， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，，即， 由轴平面，故是平面的法向量， 则， 整理得，解得， 由，则， 故存在，且. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得、，再利用正方形性质可得，则可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面的法向量后计算即可得； （2）借助空间中点到直线的距离公式计算即可得； （3）假设存在并设，借助可表示出平面的法向量，再求出平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 则点到直线的距离； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $