精品解析：河北省石家庄市、张家口市部分学校2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

9月高二数学检测 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 在空间直角坐标系中，点关于平面对称时，横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为. 2. 已知空间向量，，若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线等价于对应向量共线的性质，结合共线向量的数乘关系列方程求解参数. 【详解】因为A、B、C三点共线，所以向量与共线，根据共线向量基本定理，存在实数，使得，即， 得，解得. 3. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与平面平行时，其方向向量与平面法向量垂直，数量积为0的性质列方程求解. 【详解】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的一个法向量垂直， 则， 所以. 4. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 5. 的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的外接圆半径，再利用球的截面性质中球半径、截面圆半径、球心到平面距离的勾股关系求解距离. 【详解】 在中，两直角边长分别为6和8，则斜边长为， 由于直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，即， 因球的半径，故球心在平面内，球心到平面的距离是0. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，则过，，三点的截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过取正方体中，，的中点构造平行关系，确定截面为正六边形，再根据正六边形面积公式求解. 【详解】分别取，，的中点，，， 连接，，，，，，，，如图所示， 在正方体中，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以且， 又为的中点，为的中点， 所以且，且， 所以且， 同理，可证得且，且， 所以六边形为正六边形， 即正方体中，过，，三点的截面为正六边形， 又正方体的棱长为2，所以， 所以，即正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为. 7. 在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点坐标，得到直线的方向向量，由向量的数量积求得平面的法向量，然后由数量积求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在直四棱柱中，， 所以如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 由题意可知， 所以，则， 平面中， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为，则. 8. 某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为，上底面的直径为，已知为上底面的直径，圆台的高，点是上底面圆周上一点，且，是该圆台的一条母线，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱锥等体积法，利用换底求出体积，以及底面积，解出高即可． 【详解】如图所示，过点作上底面的垂线，交上底面于点，设上下底面为，可知三点共线； 根据题意可知，，，； 故； 由题意可知，故，故； 且； 由； 设点P到平面的距离为； 则，解得． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由 得 解出 ，再逐项计算验证即可. 【详解】对于A，因 ，则 ，解得 ，故A 正确； 对于B，由上分析，得， ，故 B 正确； 对于C，，故 C 正确； 对于D，因，， 则，故 D 错误. 10. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 可构成向量中的一组基底 B. C. 体对角线的长为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合空间向量中基底的定义判断A选项；计算，可判断B选项；由，可判断C选项；对于D选项，法一：过作平面，确定与平面所成角为，再通过向量的夹角公式可判断，法二：设底面正的中心为，求得，结合直角三角形即可求解. 【详解】设， ， 已知是平行六面体从同一点出发的三条棱对应的向量，故不共面， 假设共面，则存在实数， 使得：， 即向量可以由线性表示，说明共面，与已知矛盾. 因此不共面，可构成空间向量的一组基底，A正确. 因为 ， 所以，B正确. 因为 ， 即，C正确. 如图所示： 法一：过作平面，垂足为，连接. 由，且， 即为等边三角形，可得. 因为平面，所以，， 由三角形全等可得，故在的平分线上， 因此与平面所成角为. 由，得： 即. 因为 所以D错误. 法二：连接，，，由，，可得，即四面体为棱长为1的正四面体. 设底面正的中心为，则： 因为平面，平面，所以. 设与平面所成角为，则： D错误. 11. 在棱长为4的正方体中，E为棱上靠近D的四等分点，F为正方形内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. A，E，B，F可能四点共面 B. 若点F为正方形的中心，则平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 线段长度的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断四点共面，即可判断A；利用空间向量判断线面平行，即可判断B；利用转换顶点法结合锥体的体积公式判断C；根据两点间距离公式判断D. 【详解】以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，可设，. 对于选项A：若点为棱上靠近C的四等分点，则， 可得，即， 所以A，E，B，F四点共面，故A正确； 对于选项B：因为，， 设平面的法向量为，则， 设，则，，可得， 若点F为正方形的中心，则，可得， 因为，可知与不垂直， 所以与平面不平行，故B错误； 对于选项C：因为的面积为， 且点F到平面的距离， 所以三棱锥的体积，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即点F与点重合时，等号成立， 所以线段长度的最大值为，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则与侧面所成的角是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，根据题意可知与侧面所成角即为，根据已知条件求解即可. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 故与侧面所成角即为， 由侧棱长为，底面三角形的边长为，可得，， 故，所以， 所以与侧面所成的角是. 13. 圆柱内有一个球O，球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若圆柱与球的体积之差为，则球O的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球与圆柱的相切关系确定圆柱底面半径、高与球半径的等量关系，结合体积差列方程求出球半径，再代入球表面积公式计算结果. 【详解】设球的半径为， 由球与圆柱的上、下底面及母线均相切，可得圆柱的底面半径，圆柱的高， 所以 圆柱体积， 球的体积， 由题意得，代入得  ， 化简得，解得， 所以球的表面积为. 14. 在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则_______，异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】 ①. ②. ##0.6 【解析】 【分析】将正方体的棱作为基底，通过基底表示出所求向量，计算即可． 【详解】 由图可知；； 则； ； ； 则； 故异面直线与所成角的余弦值为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为 是正方形的底面，所以， 因为平面（正方体侧棱垂直于底面），而平面 ，故， 平面，且，故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）要证一条直线垂直于一个平面，只需证它垂直于该平面内两条相交直线，即根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质找到所求角，解直角三角形求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点O，由平面，可知平面； 连接，为在平面内的射影， 则即为直线与平面所成角； 在中，， 是以 O为直角顶点的直角三角形，, 故，即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 如图，在长方体中，，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，求出异面直线与的点的坐标，利用异面直线之间夹角公式求解两条异面直线所成角的余弦值. (2)先求出与两条直线之间的夹角，再利用向量法求解点到直线的距离. 【小问1详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由题意得，，，，. ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，，，又， 所以，， 设点到直线的距离为，则 . 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接． 因为四边形为正方形，所以为的中点． 又因为点为的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 设平面的法向量为， 则即可取； 设平面的法向量为， 则即可取． 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）连接，因为，点D为棱的中点，所以， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是中点，所以， 因为，，所以， ，， 设平面的法向量， 则， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 因为直线与平面所成角正弦值为， 所以， 因为，所以， 则转化为， 解得，即， 即，即， 解得，即， 解得， 因为，所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角为60°，求的值； （3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 【答案】（1）证明：由题意平面，平面，故； 又四边形为正方形，故,而平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量公式，可得关于的方程，即可求解； （3）根据空间距离的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形为正方形，所以． 因为平面，所以，，相互垂直． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设，因为，所以，即， 则，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，即，可取． 设平面的法向量为，， 则，即，可取． 因为平面与平面所成角为60°， 所以， 解得． 【小问3详解】 由（2）得平面的法向量为，结合， 所以点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月高二数学检测 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 3. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 5 6. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，则过，，三点的截面的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为，上底面的直径为，已知为上底面的直径，圆台的高，点是上底面圆周上一点，且，是该圆台的一条母线，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 可构成向量中的一组基底 B. C. 体对角线的长为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 11. 在棱长为4的正方体中，E为棱上靠近D的四等分点，F为正方形内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. A，E，B，F可能四点共面 B. 若点F为正方形的中心，则平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 线段长度的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则与侧面所成的角是________． 13. 圆柱内有一个球O，球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若圆柱与球的体积之差为，则球O的表面积为_______. 14. 在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则_______，异面直线与所成角的余弦值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 如图，在长方体中，，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到直线的距离． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且．点M在线段上，设（）． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角为60°，求的值； （3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $