河北省衡水市武强县衡水街关中学2026-2027学年高二上学期第一次月考质量检测数学试题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A A A D C AB BC 题号 11 答案 ABC 高二数学答案 1．A 【详解】，， 所以， . 2．A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 3．D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 4．A 【详解】因为， 所以，即， 又，， 所以， 则向量在向量上的投影向量为： ． 5．A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 6．A 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 7．D 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 8．C 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 9．AB 【分析】根据平均数定义计算判断A，应用方差公式计算判断B，D，举反例计算判断C. 【详解】对于A，的平均数为，故A正确； 对于B，的平均数为， 其方差为 ，故B正确； 对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但，，这3个数的平均数为，故C不正确； 对于D， ，故D不正确 10．BC 【分析】A:利用平行线间的距离公式，计算即可判断，对于B，根据题意结合百分位数定义计算判断B，应用垂直关系得出系数关系结合充分必要条件定义判断C，应用概率的基本性质结合已知条件计算即可判断D． 【详解】对于选项A：由平行线间的距离公式：，故A正确； 对于B， 由，故数据4，8，12，16，20的第分位数为第四个数和第五个数的平均数，故B错误； 对于C，当时，直线与满足，所以直线垂直， 直线与垂直则，即，不一定， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件，C选项错误； 对于D，事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， ， 则事件A，B都不发生的概率是，D选项正确； 故选：BC. 11．ABC 【分析】根据正方体的垂直关系建立空间直角坐标系，根据坐标关系判断选项即可． 【详解】在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为棱长为2，可得，，；设， 则，； 则；故对于任意点，都有，A选项正确； 因为分别是的中点，故，，； 则，； 设为平面的法向量， 则，可得，解得； 令可得，； 令，解得，不合题意， 故对于任意点，不存在∥平面，B选项正确； 在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点； 因为正方体中，平面平面，且交于； 因为平面，故平面，而平面，则； 因为平面，故平面； 平面截正方体的截面为矩形； 当与重合时，即为的中点时，截面最大， 面积为，故C正确； 由， 可得，因为是线段上的动点（不包含端点），故， 综上，不存在点，使得三棱锥体积为，故D错误． 12． 2 【分析】根据两点的坐标，结合截距式方程即可求解直线方程，再根据方向向量即可求解． 【详解】经过两点的直线方程为，即， 所以直线的一个方向向量为，故． 13． 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 14． 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 15．(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因，，， 设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为0时，直线过原点和点， 则其方程为，即； 当截距不为0时，依题意，可设直线， 代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）设关于的对称点，则中点在上且， 则， 解得，，故． 16．(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 17．(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 18．(1) (2) 【分析】小问（1）根据商数关系、正弦定理和诱导公式将等式化简，再根据锐角三角形得出角的范围从而求出结果；小问（2）运用第（1）问结果和锐角三角形求出角B的范围，再根据正弦定理和角的关系求出b、c两边与角B的关系式，三角形的三边相加并进行化简，再根据角B的范围求出周长的范围. 【详解】（1）在中，由题意得：， 即， 得， 因为，解得．   又，故． （2）由于该三角形为锐角三角形，，有， 即， 解得．     由正弦定理得：， 解得，，     则的周长 ， 又因为，所以， 的周长的取值范围为． 19．(1)证明：由题意知、分别是、的中点，则得， 因为平面，平面，所以平面． (2) (3)． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可； （3）利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解. 【详解】（1）略 （2）由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则, 故线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，所以三棱锥体积． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 绝密★启用前 0 衡水街关中学2026-2027学年度上学期第一次月考质量检测 ..: 高二数学 .: 到 (全卷满分150分，考试时间120分钟) 一、 单选题（每题5分，共40分。） 1.若复数z满足运=i-2,则以=() A.5 B.2 c.万 D.5 2. 直线x-5y+5=0的倾斜角是() . A.30 B.60 C.1209 D.150 3. 已知向量ā=(L,l,0),6=(-L,0,),且a+6与2a-b互相垂直， 则实数k=() A.1 号 B. c 已知平面向量à，6满足问=厅，问=反，且(a-25)1(a+,则向量a在向量6上的投影向量为() A ®5 c.56 D. 5. 已知点P(0,4),2(2),且线段P2是圆M的直径， 则圆M的方程为() 掷 A.(x-2+y2=2 B.(x-1'+y2=8 ...... c.x2+(y-=4 D.+(0-=8 6.如图，在平行六面体ABCD-48GD中，M为4G与BA的交点.若面=aD=b,M=c,则下列向 解 0 量中与B丽相等的向量是() A.-1a+18+c 2 B. 2 +5+ 2 1。-i+c c.-2a-2 17-LB+c D. 0- 22 7. 已知平行直线马，马分别过点A(2,5)和B(L,2),则这两条直线之间的距离的最大值为() A.3 B.4 c.25 0.√而 8.已知正方体ABCD-A8GD,的枚长为2， 点M满足DM=xD4+yDB+zDC,且x+z=1-y,则DM 的最小值是() 第1页共4页 A.25 8.22 c.45 0.42 3 3 3 3 二、多选题（每小原6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。) 9.有一组样本数据与，为，…，x的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（) A.设aeR,则样本数据匹，a匹，匹，的平均数为应 B.设a,beR,则样本数据西+b,a西+b,,匹.+b的方差为d2 C,样本数据，弓，，的平均数为 0.子-2- 10.下列命题是假命题的是() A.已知直线x-y-3=0和直线x-y-1=0平行，则这两条平行线之间的距离为反 8.样本数据4,8,12,16,20的第80百分位数为16 C.“a=1“是"直线匹+y-1=0与匹-y+1=0垂直“的充要条件 0.已知事件，B互斥，且事件A发生的概率P()=子事件B发生的概率P(D)-宁则事件，B 都不发生的概串是行 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-4BCD中，M,N,P分别是4，CC,CD,的中点，2是钱段D,4上 的动点（不包含端点），则() D A.对于任意点，都有BQ⊥B B.对于任意点2，不存在B犯∥平面MNP C.过点2且与BN垂直的平面截正方体ABCD-AB,GD所得截面面积的最大值为25 0。存在点2，使得三校锥4-BDQ体职为 第2页共4页 CS扫描全能王 合链3亿人都在用的扫描APP 三、填空题（每小题5分。共15分。12题第一空2分，第二空3分） 12.经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线方程为 ,若直线的一个方向向量为（心，），则 k= 13.已知空间向量ā=0，l,),6=(-2,2-2,1-句，若ā，5的夹角为钝角，则实数的取值范围为 14.已知点M(L,-2)、N(3,4),P是直线1：2x-y+1=0上的动点，则PM+PM的最小值为 四、解答题（共7刀分） 15.已知A(1,),B(2,3),C(4,0),求（均写出一般式方程）： ()BC边上的中线所在的直线方程4： (2)过B点且在x轴和”轴上的粮距互为相反数的直线方程马： 3)求点C关于4的对称点D的坐标. 16.已知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求证：直线过定点： (2)若P(2,)到直线1的距离最大，求a的值： (3)若直线/与两坐标轴的正半拍围成的三角形面积最小，求1的方程. 17.如图，在直三棱柱ABC-ABG中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E分别为AB,AC的中点. (I)证明：DE∥平面BCCB: (2)设CC=2,直线DE与平面ACC4所成的角为45°，求直线D5到平面BCCB的 距离。 +12 18.在锐角三角形4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且巴4+ b 1)求A: (2)若a=3,求。ABC周长的取值范围， 第3项共4项 19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,LBMC=90,D,B,F分别是棱AB,BC,CP的中 0 点，AB=AC=1,PA=2. (1)证明：PB/平面DEF: .: . (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值： (B)求三校推E一PDF的体积 最 .: .: ...... ..·.: 暴 .. . 第4页共4页 .: .: CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp