20.1 二次根式 课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

20.1　认识二次根式 第20章　二次根式 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 学习目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.(重点) 2.理解二次根式的性质：()2＝a(a≥0)及＝|a|，并能利用它们进行化简或计算.(难点) 课堂引入 计算下列各数的平方根和算术平方根，并据此回忆平方根与算术平方根的相关知识.   16 49 0 －25 平方根         算术平方根         思考：什么叫作一个数的平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？由上述知识填空我们可以得出什么结论？ 二次根式的概念 一、 问题1　下列各式表示什么意义？其结果有什么特点？ ，，，，. 提示　①上述各式均表示一个非负数的算术平方根.②由算术平方根的定义可知上述各式结果均大于等于0，即结果是一个非负数. 知识梳理 (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个____数，它的平方等于__，即有：(1)≥0(a≥0)；(2)()2＝__(a≥0). 形如(a≥0)的式子叫作二次根式. 注意点：在中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 非负 a a 例1　(课本P2例题)x是怎样的实数时，式子有意义？ 解　当x－1≥0，即x≥1时，式子有意义. 反思感悟 由于二次根式的被开方数必须是非负数，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于等于0，因此求二次根式被开方数中字母的取值范围时，可列不等式求解. 跟踪训练1　(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ ，，，(x>0)，，，－，，(x≥0，y≥0). 解　二次根式有，(x>0)，，－，(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有，，，. 解　①由题意得，－2－3x≥0，解得x≤－. ②∵x2≥0，∴x2＋4≥4，∴x取全体实数. ③由题意得，3－x≥0且3x－6≥0， 解得x≤3且x≥2， ∴2≤x≤3. （2）求下列二次根式中x的取值范围： ①； ②； ③. 二次根式的性质 二、 问题2　(1)的被开方数是什么？a的取值有没有限制？ 提示　a2.没有限制，因为被开方数为a2，根据二次根式的定义，只需a2≥0即可，这里a的值不管取正数、0、负数，都满足a2≥0，因此没有限制. （2）等于什么？我们不妨取一些值，如2，－2，0，3，－3，分别计算对应的的值，看看有什么规律？ 提示　如图所示. 知识梳理 二次根式的性质. 当a≥0时，＝a；当a<0时，＝－a.即 解　(1)9＝32，＝3. (2)(－4)2＝42，＝4. (3)25＝52，＝5. (4)(－3)2＝32，＝3. 例2　化简：(1)；(2)；(3)；(4). 跟踪训练2　(1)下列各式中，正确的是 A.＝－3 B.－＝－3 C.＝±3 D.＝±3 解析　＝|－3|＝3，所以A选项错误； －＝－|－3|＝－3，所以B选项正确； ＝|±3|＝3，所以C选项错误； ＝3，所以D选项错误. √ (2)计算：①；②；③(3)2；④. 解　①. ②. ③＝32×()2＝9×5＝45. ④. （3）解答下列问题. ①计算：＝　　　　，＝　　　　，＝　　　　，＝　　　　，＝　　　　，＝　　　　；  解　＝9，＝0.7，＝6，，＝0.28，＝0. （3）解答下列问题. ②根据①中的计算结果可知，＝　　　＝　　　(用含a的式子表示)； 解　根据①中的计算结果可知，＝|a|＝ （3）解答下列问题. ③利用上述规律直接写出的值. 解　∵π>3.14，∴3.14－π<0，∴＝π－3.14. 课堂小结 1.形如(a≥0)的式子叫作二次根式，实质是一个非负实数的算术平方根的表达式. 2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零. 3.求二次根式中字母取值范围的方法： （1）观察配方法； （2）列不等式或不等式组求解. 4.区分()2＝a(a≥0)与. 1.下列各式中，一定是二次根式的是 A. B. C. D. 随堂演练 √ 解析　被开方数为－2<0，无意义，不是二次根式，故A选项不符合题意； 是二次根式，故B选项符合题意； 根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 当x<0时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，故D选项不符合题意. 2.下列运算结果等于－4的是 A. B.± C.(±)2 D. 课堂练习 √ 解析　A选项，＝－4； B选项，±＝±4； C选项，(±)2＝4； D选项，＝4. 3.若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　　　　.  解析　根据算术平方根的非负性，可得10－a≥0，解得a≤10， 由条件可知正整数a＝10或9或6或1，则满足条件的最大正整数a的值是10. 10 课堂练习 4.若a＝－3，a，b为实数，则的值为　　　　.  解析　由题意得解得b＝2， ∴a＝－3＝－3，∴＝3. 3 课堂练习 5.x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 解　(1)2x－1>0，解得x>. (2)1－2x>0，解得x<. （3）x可取任何实数. (4)x2≠0，解得x≠0. (5)x≥0且1－≠0，解得x≥0且x≠1. (6)x≥0，－x≥0，解得x＝0. 课堂练习 谢谢观看 $