20.1 二次根式 课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“二次根式的概念、有意义的条件及性质”，通过回顾平方根和算术平方根的定义、性质及相关公式，以问题链为学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知，构建完整的知识脉络。 其亮点在于通过观察代数式共同特征抽象概念培养抽象能力（数学眼光），结合实例归纳性质发展推理意识（数学思维），利用数轴、绝对值等符号表达关系强化模型意识（数学语言）。如性质2通过计算√2²、√(-2)²等归纳，例2及变式综合分式、绝对值考查有意义条件。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效教学，学生提升数学核心素养。

20.1 认识二次根式 学习目标 1.理解二次根式的概念，会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（重点） 2.探索二次根式的性质，运用二次根式的性质进行化简计算. （难点） 2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. 用 (≥0)表示. 的平方根 是的平方根 的算术平方根 算术平方根 问题1 导入新课 问题2 3 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 的平方根 是的平方根 的算术平方根 算术平方根 观察下列代数式： （1） (5) 共同特征： 都含有开方运算，并且被开方数都是非负数 讲授新课 二次根式的概念 一 二次根式两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0 一般形如(≥0)的式子叫做二次根式. “”称为二次根号，叫做被开方数. 归纳 看一个式子是否为二次根式需满足两个条件： ①带根号 ②被开方数为非负数 换句话说 6 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3.a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 注意 想一想 的算术平方根 二次根式 当 时 这几种表达有什么关系？ 7 例1 下列各式哪些是二次根式，哪些不是二次根式? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) × √ × × √ × √ √ (9) √ (10) × (1)当x=1，9时，求二次根式 的值. (2)当x取何值时,在实数范围内有意义? (3)要使式子 有意义，则x的取值范围是? 例2 当，原式无意义； 当 思考 当 ，即 时，原式有意义； ,∴ 归纳 根式有意义的条件常见题型 (1)单个二次根式有意义的条件：如 ， 有意义的条件是： (2)如果一个式子含有多个二次根式 有意义的条件是： 归纳 根式有意义的条件常见题型 ② ，那么 且 ③ ，那么 且 (3)如果一个式子中既有含有二次根式又含有分式： ① ，那么 或 且 同正或同负. 双重非负性 被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0. 易知： 二次根式的性质 二 ≥0 二次根式的 12 1. 若式子 有意义，则实数x的取值范围为 2. 已知+，求的值. 思考 且 解： 由题意得 ∴ ∴ 变式 （2）设++2021，求的值. （3）已知a,b分别为等腰三角形的两条边长，且a,b满足 +3， 求此三角形周长. 解： 由题意得 ∴ ∴ 由题意得 解： ∴ ∴ 三角形三边长为4,4,2.周长为10. . （1）若||,求 点拨 若几个非负数的和是0，则这几个非负数都等于0.即若 || ，则 解：由题意得， ∴ . 变式 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 4 2 0 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 归纳 ==3，类似地，计算： = = = = = = = = 性质2 a -a () (a＜0) 2 2 3 3 0.5 0.5 归纳 (1)计算： 例3 解： (2)若 5 ,则x的取值范围为 (3)化简 只有 才有意义, ， 解： ∴ (4)若实数a,b在数轴上对应的点如图所示，化简 a 0 1 b 由数轴可知 则 , 解： 原式 ∴ - 1．下列各式：，，( 其中是二次根式的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果 是二次根式，则的取值范围是（　　） 当堂练习 3．计算： 当堂练习 （1） （2） （3） （4） （5） , , , , （1） （2） （3） （4） （5） 解： 二次根式 定义： （a≥0） 性质 双重非负性 性质1. 性质2. a -a () (a＜0) 有意义的条件：被开方数为非负数 判断一个式子是否为二次根式需同时满足两个条件： ①带根号；②被开方数大于等于0 课堂小结 性质1.( EQ \R(,a) )2=a (a≥0) $