21.2.3　公式法 课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第21章　21.2　一元二次方程的解法 21.2.3　公式法 学习目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.(难点) 2.熟练应用公式法解一元二次方程.(重点) 3.能根据一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法. 课堂引入 用配方法解关于x的方程x2+px+q=0(p2-4q≥0). 一、 用公式法解一元二次方程 问题1　如何解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)？ 提示　因为a≠0，方程两边都除以a，得x2+x+=0. 移项，得x2+x=-. 配方，得x2+2·x·+=-， 即=. 因为a≠0，所以4a2>0.当b2-4ac≥0时，直接平方，得x+=±. 所以x=-±， 即x1=，x2=. 知识梳理 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac≥0). 将一元二次方程中系数a，b，c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做_______. 公式法 知识梳理 2.公式法解一元二次方程的步骤. 例1　(课本P29例6)解下列方程： (1)2x2+x-6=0； 解　这里a=2，b=1，c=-6. 因为b2-4ac=12-4×2×(-6)=1+48=49>0， 所以x===， 即x1=，x2=-2. 例1　(课本P29例6)解下列方程： (2)x2+4x=2； 解　将方程化为一般形式，得x2+4x-2=0. 因为b2-4ac=24>0， 所以x==-2±， 即x1=-2+，x2=-2-. 例1　(课本P29例6)解下列方程： (3)5x2-4x-12=0； 解　因为b2-4ac=256>0， 所以x===， 即x1=2，x2=-. 例1　(课本P29例6)解下列方程： (4)4x2+4x+10=1-8x. 解　整理，得4x2+12x+9=0. 因为b2-4ac=0， 所以x=， 即x1=x2=-. 反思感悟 对于(2)(4)首先要把方程化成一般形式；注意a，b，c的符号；先计算b2-4ac的值，再代入公式求解. 跟踪训练1　(1)用公式法解下列方程： ①x2-6x+1=0； 解　这里a=1，b=-6，c=1， 因为b2-4ac=(-6)2-4×1×1=32， 所以x===3±2， 即x1=3+2，x2=3-2. 跟踪训练1　(1)用公式法解下列方程： ②2x2-x=6； 解　将方程化为一般形式，得2x2-x-6=0， 这里a=2，b=-1，c=-6， 因为b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=1+48=49， 所以x===， 即x1=2，x2=-. 跟踪训练1　(1)用公式法解下列方程： ③4x2-3x-1=x-2； 解　将方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0， 这里a=4，b=-4，c=1， 因为b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0， 所以x====， 即x1=x2=. 跟踪训练1　(1)用公式法解下列方程： ④3x(x-3)=2(x-1)(x+1). 解　将方程化为一般形式，得x2-9x+2=0， 这里a=1，b=-9，c=2， 因为b2-4ac=(-9)2-4×1×2=73， 所以x==， 即x1=，x2=. (2)小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过程如下： ∵a=1，b=-5，c=1，(第一步) ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21，(第二步) ∴x=，(第三步) ∴x1=，x2=.(第四步) ①小明解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是________；  解　小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式. (2)小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过程如下： ∵a=1，b=-5，c=1，(第一步) ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21，(第二步) ∴x=，(第三步) ∴x1=，x2=.(第四步) ②第三步所使用的公式是____________________；  解　第三步所使用的公式是x=. (2)小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过程如下： ∵a=1，b=-5，c=1，(第一步) ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21，(第二步) ∴x=，(第三步) ∴x1=，x2=.(第四步) ③写出此题正确的解答过程. 解　方程化为x2-5x-1=0，∵a=1，b=-5，c=-1， ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29. ∴x=.∴x1=，x2=. 二、 选择适当的方法解方程 问题2　解一元二次方程有哪几种方法？通常如何选择的？ 提示　 方法选择建议： (1)优先尝试因式分解法：如果方程容易因式分解. (2)直接开平方法：适用于已经或可以整理成平方形式的方程. (3)配方法：适用于二次项系数为1且一次项系数为偶数的情况. (4)公式法：当其他方法复杂或不可行时使用，尤其是判别式为正且非完全平方数时. 配方法和公式法是通用方法，但计算量可能较大. 例2　用适当的方法解方程： (1)2x2+3x=1； 解　2x2+3x-1=0， ∵a=2，b=3，c=-1， ∴b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0， ∴x==， ∴x1=，x2=. 例2　用适当的方法解方程： (2)(x-2)(x+5)=18； 解　(x-2)(x+5)=18， ∵x2+3x-28=0， ∴(x+7)(x-4)=0， 即x+7=0或x-4=0， ∴x1=-7，x2=4. 例2　用适当的方法解方程： (3)x(3x-6)=(x-2)2. 解　x(3x-6)=(x-2)2， ∵3x2-6x=x2-4x+4， ∴x2-x-2=0， ∴(x-2)(x+1)=0， 即x-2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1. 跟踪训练2　(1)解方程5x2-9x+1=0最适当的方法是 A.直接开方法 B.配方法 C.求根公式法 D.因式分解法 √ (2)解下列方程： ①4(x-2)2-36=0； 解　∵4(x-2)2-36=0， ∴4(x-2)2=36， ∴(x-2)2=9， 则x-2=3或x-2=-3， 解得x1=5，x2=-1. (2)解下列方程： ②-x2+4x-3=0； 解　整理，得x2-4x+3=0， ∴(x-1)(x-3)=0， ∴x-1=0或x-3=0， 解得x1=1，x2=3. (2)解下列方程： ③x2+10=2x. 解　整理，得x2-2x+10=0， ∴a=1，b=-2，c=10， ∴b2-4ac=(-2)2-4×1×10=-20<0， ∴此方程无实数根. 课堂小结 用公式法解一元二次方程的步骤 1.用公式法解一元二次方程3x2+3=2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是 A.a=3，b=2，c=3 B.a=-3，b=2，c=3 C.a=3，b=2，c=-3 D.a=3，b=-2，c=3 课堂练习 √ 解析　由条件可得3x2-2x+3=0，∴a=3，b=-2，c=3. 2.下列一元二次方程的根可以根据x=计算出的是 A.2x2+3x+1=0 B.2x2+3x-1=0 C.3x2+x-2=0 D.-2x2-x+3=0 √ 解析　∵一元二次方程的根可以根据x=计算， ∴a=2，b=3，c=-1，∴一元二次方程为2x2+3x-1=0. 课堂练习 3.将方程3x2=5(x+2)化为一元二次方程的一般式为____________.  3x2-5x-10=0 解析　3x2=5(x+2)，3x2=5x+10，3x2-5x-10=0. 课堂练习 4.有一个正数m，m与1的和乘m与1的差仍得m，则m的值为_______. 解析　由题意知(m+1)(m-1)=m，整理得m2-m-1=0， 解得m=或m=(舍去). 课堂练习 5.解下列方程： (1)x2-4x-12=0； 解　∵x2-4x-12=0， ∴(x-6)(x+2)=0， 则x-6=0或x+2=0， 解得x1=6，x2=-2. 课堂练习 5.解下列方程： (2)6(x-1)2=54； 解　∵6(x-1)2=54， ∴(x-1)2=9， 则x-1=3或x-1=-3， 解得x1=4，x2=-2. 课堂练习 5.解下列方程： (3)x2+2x-7=0. 解　∵x2+2x-7=0， ∴x2+2x=7， ∴x2+2x+1=7+1，即(x+1)2=8， ∴x+1=±2， ∴x1=-1+2，x2=-1-2. 课堂练习 谢谢观看 $