专题10中心对称同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题10中心对称同步培优讲义 ✺知识框架 中心对称是旋转角为180°的特殊图形旋转，属于全等变换。本节承接图形的旋转知识，是几何对称体系的重要组成部分，为后续几何综合应用提供基础。本节核心知识体系： 1.中心对称：定义、对称中心、对称点相关概念 2.中心对称性质：点、线、图形的核心数量与位置关系 3.中心对称作图：规范作图依据与步骤 4.中心对称图形：定义、常见图形、与中心对称的概念辨析 5.坐标规律：平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特征 6.易错辨析：区分各类图形变换与对称图形 ✺知识梳理 知识点一、中心对称的定义 定义：把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称。 其中，固定的定点为对称中心，旋转后相互重合的点为对称点。 如下图。点O为对称点，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点，点A和点C是关于点O的对称点。 核心本质：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转变换，属于全等变换，仅改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 知识点二、中心对称的基本性质 1.全等性：关于中心对称的两个图形全等，对应边相等、对应角相等。 2.中点性：任意一组对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，对称中心是所有对称点连线的中点。 3.平行性：两组对应线段互相平行（或在同一条直线上），且长度相等。 知识点三、中心对称作图步骤 ▲已知图形和对称中心，作原图形关于该中心对称的图形，步骤如下： 1.取关键点：找出原图形的顶点、端点等所有核心关键点； 2.连线延长：依次连接各关键点与对称中心，并向对称中心另一侧延长； 3.截取对称点：在延长线上截取线段，使其长度等于关键点到对称中心的距离，得到各点的对称点； 4.顺次连线：按照原图形的顺序，依次连接所有对称点，形成新图形； 5.规范收尾：标注对应点字母，书写作图结论：所得图形即为原图形关于该点中心对称的图形。 ▼如下左图，选择点O为对称中心，画出△ABC 关于点O对称的△。 如下右图，作出A,B,C三点关于点O的对称点,,,依次连接,,,就可以得到与△ABC关于点O对称的△. 知识点四、中心对称图形的定义 ▲把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若旋转后的图形能够与自身完全重合，则该图形为中心对称图形，这个定点为图形的对称中心。 常见典型图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都是中心对称图形。 核心性质：经过中心对称图形对称中心的任意一条直线，都可将该图形分成两个全等的部分，两部分形状、面积完全相等。 知识点五、中心对称与中心对称图形的区别与联系 知识点六、平面直角坐标系中关于原点对称的坐标规律 在平面直角坐标系中，点P(x，y)关于原点对称的点的坐标为P'(-x，-y)。 规律总结：关于原点中心对称，点的横、纵坐标同时变为相反数，数值大小保持不变。 基础对比辨析： 1.关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数； 2.关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数； 3.关于原点对称：横、纵坐标同时取相反数。 【易错点梳理】 1.概念混淆：混淆中心对称与中心对称图形，前者描述两个图形的关系，后者描述单个图形的性质。 2.判定误区：任意角度旋转重合不属于中心对称，必须严格满足旋转180°重合。 3.坐标易错：求原点对称点时，仅改变单一坐标符号，未做到横、纵坐标同时变号。 4.性质误区：误认为中心对称对应线段一定平行，忽略对应线段共线的情况。 5.图形辨析错误：混淆轴对称图形与中心对称图形，如等腰三角形、等腰梯形仅为轴对称图形，非中心对称图形。 ✺题型精讲 题型1.成中心对称 1．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 2．如图，和是成中心对称的两个图形． (1)对称中心是点_____； (2)点的对应点是点_____； (3)和_____全等图形（填“是”或“不是”）． 3．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 题型2.画已知图形关于某点对称的图形 1．与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________． 3．如图，选择点O为对称中心，作出与关于点O对称的． 题型3.画两个图形的对称中心 1．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（画图时字母应标注清楚哦） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为______． (3)请求出的面积． 题型4.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 2．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 3．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 题型5.中心对称图形的识别 1．下列图形中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 3．有一块邻边长分别为，的矩形土地，要在矩形土地上开辟一个花坛，使花坛面积是矩形土地面积的一半，并且花坛形状是中心对称图形，该如何设计（提供两种设计方案）？ 题型6.判断中心对称图形的对称中心 1．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 2．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 3．在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． 题型7.在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的顶点都在格点上．将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，关于原点成中心对称的图形是． (1)请画出； (2)请画出． 题型8.中心对称图形规律问题 1．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 3．某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 题型9.求关于原点对称的点的坐标 1．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点是坐标原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出先向右平移5格，再向下平移1格后的； (2)画出绕点逆时针旋转后的，并写出点的坐标； (3)若与关于原点对称，则点的坐标为___________． 题型10.已知两点关于原点对称求参数 1．若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a的值为______． 3．已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 题型11.判断两个点是否关于原点对称 1．在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 2．已知点与点，则这两个点关于______对称． 3．如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 题型12.按图形的变换要求画出另一个图形 1．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度； 请画出平移后的． 如果看成一次平移，则平移的距离是____________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的． 3．如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题 5．若点和点关于原点对称，________． 6．如图，和关于点P成中心对称，则点P坐标是_______________．    三、解答题 7．在网格中画对称图形．如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中的小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、图②、图③、图④中（只需各画一个，内部涂上阴影）； (1)是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)是中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)既是轴对称图形，又是中心对称图形； (4)既不是轴对称图形，又不是中心对称图形． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． (1)作出以点为对称中心的图形； (2)平移，若点对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)过点作直线平分四边形的面积，并求出四边形的面积． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10中心对称同步培优讲义 ✺知识框架 中心对称是旋转角为180°的特殊图形旋转，属于全等变换。本节承接图形的旋转知识，是几何对称体系的重要组成部分，为后续几何综合应用提供基础。本节核心知识体系： 1.中心对称：定义、对称中心、对称点相关概念 2.中心对称性质：点、线、图形的核心数量与位置关系 3.中心对称作图：规范作图依据与步骤 4.中心对称图形：定义、常见图形、与中心对称的概念辨析 5.坐标规律：平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特征 6.易错辨析：区分各类图形变换与对称图形 ✺知识梳理 知识点一、中心对称的定义 定义：把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称。 其中，固定的定点为对称中心，旋转后相互重合的点为对称点。 如下图。点O为对称点，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点，点A和点C是关于点O的对称点。 核心本质：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转变换，属于全等变换，仅改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 知识点二、中心对称的基本性质 1.全等性：关于中心对称的两个图形全等，对应边相等、对应角相等。 2.中点性：任意一组对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，对称中心是所有对称点连线的中点。 3.平行性：两组对应线段互相平行（或在同一条直线上），且长度相等。 知识点三、中心对称作图步骤 ▲已知图形和对称中心，作原图形关于该中心对称的图形，步骤如下： 1.取关键点：找出原图形的顶点、端点等所有核心关键点； 2.连线延长：依次连接各关键点与对称中心，并向对称中心另一侧延长； 3.截取对称点：在延长线上截取线段，使其长度等于关键点到对称中心的距离，得到各点的对称点； 4.顺次连线：按照原图形的顺序，依次连接所有对称点，形成新图形； 5.规范收尾：标注对应点字母，书写作图结论：所得图形即为原图形关于该点中心对称的图形。 ▼如下左图，选择点O为对称中心，画出△ABC 关于点O对称的△。 如下右图，作出A,B,C三点关于点O的对称点,,,依次连接,,,就可以得到与△ABC关于点O对称的△. 知识点四、中心对称图形的定义 ▲把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若旋转后的图形能够与自身完全重合，则该图形为中心对称图形，这个定点为图形的对称中心。 常见典型图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都是中心对称图形。 核心性质：经过中心对称图形对称中心的任意一条直线，都可将该图形分成两个全等的部分，两部分形状、面积完全相等。 知识点五、中心对称与中心对称图形的区别与联系 知识点六、平面直角坐标系中关于原点对称的坐标规律 在平面直角坐标系中，点P(x，y)关于原点对称的点的坐标为P'(-x，-y)。 规律总结：关于原点中心对称，点的横、纵坐标同时变为相反数，数值大小保持不变。 基础对比辨析： 1.关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数； 2.关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数； 3.关于原点对称：横、纵坐标同时取相反数。 【易错点梳理】 1.概念混淆：混淆中心对称与中心对称图形，前者描述两个图形的关系，后者描述单个图形的性质。 2.判定误区：任意角度旋转重合不属于中心对称，必须严格满足旋转180°重合。 3.坐标易错：求原点对称点时，仅改变单一坐标符号，未做到横、纵坐标同时变号。 4.性质误区：误认为中心对称对应线段一定平行，忽略对应线段共线的情况。 5.图形辨析错误：混淆轴对称图形与中心对称图形，如等腰三角形、等腰梯形仅为轴对称图形，非中心对称图形。 ✺题型精讲 题型1.成中心对称 1．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 2．如图，和是成中心对称的两个图形． (1)对称中心是点_____； (2)点的对应点是点_____； (3)和_____全等图形（填“是”或“不是”）． 【答案】(1)O (2)D (3)是 【分析】本题考查了成中心对称图形，熟练掌握成中心对称图形的定义和性质，是解题的关键． （1）根据和绕点O旋转重合，可得对称中心是点O： （2）根据和绕点O旋转，点A与点D重合，得点的对应点是点D： （3）根据和绕点O旋转，与重合，得和是全等图形． 【详解】（1）解：∵和绕点O旋转，和重合， ∴对称中心是点O． 故答案为：O． （2）解：∵和绕点O旋转，点A与点D重合， ∴点的对应点是点D． 故答案为：D． （3）解：∵和绕点O旋转，与重合， ∴和是全等图形． 故答案为：是． 3．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了关于坐标原点成中心对称图形，旋转画图，求三角形的面积，解题的关键是掌握基本知识和割补法求面积． （1）根据中心对称的性质找到对应点，并依次连接； （2）根据旋转的性质找到对应点，并依次连接； （3）利用割补法求三角形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，沿三角形的顶点构造矩形， ， ， ∴的面积是． 题型2.画已知图形关于某点对称的图形 1．与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由于点A1与点A关于原点O成中心对称，点A（4，2），所以点A1的坐标为（-4，-2），故选B． 考点：中心对称． 2．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________． 【答案】 【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答； 【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D， 由对称性可得EF=E ， 由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD， ∴EF+EB=E+EB=B≥BD， Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°， ∴∠BAD=2∠BAC=30°， Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=， ∴线段的最小值是， 故答案为：； 【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键． 3．如图，选择点O为对称中心，作出与关于点O对称的． 【答案】如图，即为所求． 【分析】连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，依次连接，，，得到的就是关于点对称的三角形． 【详解】略 题型3.画两个图形的对称中心 1．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（画图时字母应标注清楚哦） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为______． (3)请求出的面积． 【答案】(1)如图，即为所作： (2) (3) 【分析】（1）将三顶点绕原点顺时针旋转得到； （2）和是中心对称图形，连接对应点即可得到答案； （3）利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 由此可知，与的对称中心的坐标为； （3） 解：． 题型4.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】由中心对称的性质直接求解即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，，， 选项中四个结论中错误． 2．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质得出，，，根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵图形是一个中心对称图形，为对称中心，，，， ∴，，， ∴， ∴． 3．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2)42 【分析】（1）首先由中心对称的性质得到，，然后推出，即可得到四边形是平行四边形； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，得到，，，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 题型5.中心对称图形的识别 1．下列图形中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，故A符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 2．下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，熟练掌握“中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形”是解题的关键． 判断每个图形是否为中心对称图形（绕某点旋转能与自身重合的图形），依次分析每个图形的旋转性质． 【详解】解：①正方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ②长方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ③等边三角形：绕某点旋转不能与自身重合； ④线段：绕中点旋转能与自身重合； ⑤角：绕某点旋转不能与自身重合； ⑥平行四边形：绕对角线交点旋转能与自身重合． 故答案为：①②④⑥． 3．有一块邻边长分别为，的矩形土地，要在矩形土地上开辟一个花坛，使花坛面积是矩形土地面积的一半，并且花坛形状是中心对称图形，该如何设计（提供两种设计方案）？ 【答案】方案一：顺次连接矩形土地四条边的中点，所得菱形即为所求作花坛； 方案二：作小矩形使其长为的一边与原矩形长为的一边重合，且宽为3m的两边在原矩形的两条宽上，且与原矩形长为的两边距离均为，所得小矩形即为所求作花坛． 【分析】根据中心对称图形定义及矩形性质设计方案即可． 【详解】略 题型6.判断中心对称图形的对称中心 1．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 2．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 3．在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． 【答案】 第1张和第3张都是中心对称图形， 如图，点即为所求的点． 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转后能与原图形重合．理解中心对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可． 【详解】解：第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形重合，所以是中心对称图形，它们的对称中心在对角线的交点． 题型7.在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转后能与自身重合，观察图形中黑子的分布确定对称中心，再根据已有白子的位置找出缺失的对称点． 【详解】解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称， 该对弈图的对称中心为网格的中心点， 左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称， 要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称， 观察图形可知，白方落子应在C点． 2．如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的顶点都在格点上．将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，关于原点成中心对称的图形是． (1)请画出； (2)请画出． 【答案】(1)如图，即为所作． (2)如图，即为所作． 【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据中心对称图形的性质画出图形即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型8.中心对称图形规律问题 1．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 【答案】 7 【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点， 由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点， ， 所以点． 故答案为7， 【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键． 3．某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： (1)点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； (2)如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②设抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， 抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得， 解得（舍）， ， 答：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）①根据对称性可得抛物线的顶点为，据此即可求解； ②由①可设抛物线为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令进行求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为 设抛物线的关系式为 把代入可得解得，， 答：水滑道所在的抛物线的关系式为． （2）解：①由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ， 抛物线的顶点坐标为 答：此人腾空飞出后距水面的最大高度为； ② 略 题型9.求关于原点对称的点的坐标 1．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点是坐标原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，得出点A与点C关于原点对称，再根据关于原点对称点的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线交点是坐标原点O， ∴点A与点C关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出先向右平移5格，再向下平移1格后的； (2)画出绕点逆时针旋转后的，并写出点的坐标； (3)若与关于原点对称，则点的坐标为___________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求， (3) 【分析】（1）根据平移变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出，由图即可得出点的坐标； （3）根据中心对称的性质即可解答； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴． 题型10.已知两点关于原点对称求参数 1．若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可求解． 【详解】解：∵ 点 与点 关于原点对称， ∴，， ∴，． 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a的值为______． 【答案】1 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 解得， 故答案为1． 3．已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴． 题型11.判断两个点是否关于原点对称 1．在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点与点关于y轴轴对称， 故选B． 2．已知点与点，则这两个点关于______对称． 【答案】轴或原点 【分析】根据点与点的坐标，这两个点在轴上，并且到原点的距离相等，从而根据点的对称性得到答案． 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 【点睛】本题考查点的坐标特征，熟记点关于点对称、点关于线对称是解决问题的关键． 3．如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】(1) (2) ，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 【详解】（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （3） 略 题型12.按图形的变换要求画出另一个图形 1．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度； 请画出平移后的． 如果看成一次平移，则平移的距离是____________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； ； (2) 如图，即为所求． 【分析】（）根据平移的性质得出坐标，然后连接进而画出图形即可； 根据平移的性质及勾股定理即可求解； （）根据中心对称的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：∵先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，，，， ∴，，， 连接； 如图，连接， ∴， ∴如果看成一次平移，则平移的距离是个单位长度， 故答案为：； （2）略 3．如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 【答案】(1) 如图 (2) 如图 (3)3 【分析】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键． （1）分别将点A、B、C向向右平移2格，再向下平移3格，得到点、、，然后顺次连接； （2）找出、关于的中心对称点、（中心对称点连线过对称中心，且被对称中心平分），连接、、得； （3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示： 中为底，根据，可知点到的距离与到距离相等的格线与格点的交点（除）有3个， 所以点共3个． 故答案为：3． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 3．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标特点，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 即A、C两点关于原点对称， ∵， ∴． 4．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 二、填空题 5．若点和点关于原点对称，________． 【答案】 【分析】两个点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，据此列方程求出和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标规律，可得， 解第一个方程得，即， 解第二个方程得，即， ∴． 6．如图，和关于点P成中心对称，则点P坐标是_______________．    【答案】 【分析】根据图形找出和中一对对应点的坐标，则对应点连线的中点必为对称中心． 【详解】解：由图可知，点，， ∴的中点坐标是，即， 则点P坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了中心对称图形，熟练掌握对称中心的求法是解题的关键． 三、解答题 7．在网格中画对称图形．如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中的小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、图②、图③、图④中（只需各画一个，内部涂上阴影）； (1)是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)是中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)既是轴对称图形，又是中心对称图形； (4)既不是轴对称图形，又不是中心对称图形． 【答案】(1)如图①，是轴对称图形，但不是中心对称图形；（答案不唯一） (2)如图②，是中心对称图形，但不是轴对称图形；（答案不唯一） (3)如图③，既是轴对称图形，又是中心对称图形； (4)如图④，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形．（答案不唯一） 【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． (1)作出以点为对称中心的图形； (2)平移，若点对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)过点作直线平分四边形的面积，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据对称作图即可； （2）由题可知先向左平移2个单位，再向下平移6个单位，再根据平移作图即可； （3）连接、交于点，再连接即为所求直线，然后由平行四边形的面积公式计算面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：平移得到，即先向左平移2个单位，再向下平移6个单位， 则，，如图即为所求； （3）解：连接、交于点，再连接即为所求直线， 如图：略； 设直线分别交于， 四边形是平行四边形， ，，， ，又， ， ，又， ， 直线即为所求直线； 四边形的面积为． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 【答案】(1)， (2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为 (3)时，P坐标为，Q坐标为 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据路程之和等于矩形的周长构建方程即可解决问题； （3）根据题意得到两点的位置关于原点O对称，进而求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的非负数的性质，相遇问题等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）由题意可得：点P运动路程为t，点Q运动路程为，长方形的周长为， 根据题意得， ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）由题意：、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 ∴两点的位置关于原点O对称， 当时，此时点P所走的路程4，坐标为 此时Q坐标为，满足条件， 所以此时P坐标为，Q坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $