第5讲 线段垂直平分线及角平分线 优等生讲义（知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第5讲 线段垂直平分线及角平分线 优等生讲义 （知识梳理＋典例＋针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质定理和判定定理 · 理解角平分线的概念，掌握其性质定理和判定定理 · 能用尺规作线段的垂直平分线和角的平分线 · 能运用垂直平分线和角平分线的性质解决线段相等、角相等问题 · 能解决与垂直平分线、角平分线相关的最短距离、周长最值等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.线段垂直平分线 垂直于一条线段并且平分它的直线叫做这条线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三边的垂直平分线交于一点（外心），这点到三个顶点的距离相等 概念辨析例题：如图，MN是BC的垂直平分线，点D在MN上，AB＝5，AC＝9，求△ABD的周长最小值 解析：D在BC垂直平分线上，所以DB＝DC。△ABD周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，当D在AC与MN交点时取等号。 ☆ 2.角平分线 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），这点到三边的距离相等 概念辨析例题：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，OD＝6，求△POD的面积 解析：P在角平分线上，所以P到OB的距离＝PC＝3。S△POD＝×OD×高＝×6×3＝9。 ☆ 3.尺规作图 作线段垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，大于一半线段长为半径画弧，两弧交点连线 作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧交于一点，连线 作图依据：SSS全等保证所作直线是垂直平分线/角平分线 实际应用：到两点距离相等的点在垂直平分线上，到两边距离相等的点在角平分线上 概念辨析例题：三角形草坪上建一个凉亭，使它到三条边的距离相等，凉亭应建在（　　）A．三边垂直平分线交点　B．三条角平分线交点　C．三条高的交点　D．三条中线的交点 解析：到角两边距离相等的点在角平分线上，到三边距离相等即到三个角两边距离相等，所以凉亭在三条角平分线交点（内心）。 ☆ 4.综合应用 最短距离问题：直线同侧两点到直线上一点距离和最小，用轴对称转化 周长最值：利用垂直平分线把折线段转化为直线段 角平分线+平行线：常出现等腰三角形（内错角相等+角平分⇒等角对等边） 垂直平分线+角平分线综合：常结合全等三角形证明线段和差关系 概念辨析例题：如图，CD平分∠ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，AC：BC＝9：7，BD＝14，求AB的长 解析：CD是角平分线，DE⊥AC、DF⊥BC，所以DE＝DF。△ACD和△BCD高相等，面积比＝底之比＝AC：BC＝9：7。又S△ACD＝AC·DE，S△BCD＝BC·DF。由角平分线性质结合面积，AD：BD＝AC：BC＝9：7，BD＝14，AD＝18，AB＝AD+BD＝32。 📋 知识总结表 核心概念 性质定理 判定定理 线段垂直平分线 线上点到两端距离相等 到两端距离相等的点在线上 角平分线 线上点到两边距离相等 到两边距离相等的点在线上 外心 三边垂直平分线交点 到三顶点距离相等 内心 三条角平分线交点 到三边距离相等 最短距离 轴对称转化 两点之间线段最短 角平分线+平行 出等腰三角形 等角对等边 ⚠️ 核心考点 【考点1】线段垂直平分线的性质（第1-17题） · 看到垂直平分线，立刻想到「线上点到两端距离相等」 · 周长最值：用垂直平分线把折线段转化为直线段 · 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点等距 · 三角形中出现两条垂直平分线交点，连接它与三个顶点 1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 3．如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 4．如图，在锐角△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．9 B．10 C．7 D．8 5．如图，△ABC中，DE垂直平分AB，DE分别交AC、AB于点D、E，连接BD，△ABC的周长为26，BE＝5，则△BCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．若BE＝8，△ABC的周长为36，则△CBD的周长为_______ ． 7．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 _______ ． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ _______________ cm． 9．如图，在△ABC中，DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线，BC＝8，则△ADE的周长＝_____ ． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长是 _____ ． 11．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 _______ ． 12．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD． （1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 13．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝________ °，∠EAN＝_______ °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝_______ °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系____________________ ． 14．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 15．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，连接AE，DF．求证： （1）∠EAD＝∠EDA； （2）DF∥AC； （3）∠EAC＝∠B． 16．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点E、D、M分别在AB、BC、AC上，连接ED、DM、EM，点F、N分别在BD、CD上，连接EF、MN． （1）若EF、MN分别是△BED和△DMC的中线，DF＝2，NC＝8，求BC的长度； （2）若EF、MN分别垂直平分BD、DC，判断ED与MD是否垂直，并说明理由． 【考点2】角平分线（第18-36题） · 看到角平分线+垂线，立刻想到「到两边距离相等」 · 面积问题：角平分线上的点到两边距离相等，可作高 · 角平分线+平行线⇒等腰三角形 · 内心：三条角平分线交点，到三边等距 17．在△ABC中，CD是AB边长的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝18，DE＝2，AB＝12，则AC的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 19．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 20．如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE＝BF，∠BFD+∠C＝180°，E是AC的中点，若△DCE的面积为3cm2，则△ABC的面积为__________ ． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为_____ ． 22．已知，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，则△ABD的面积为_______ cm2． 23．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则的值为__________________ ． 24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ _____ ． 25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么点D到AB边所在直线的距离是 _____ cm． 26．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为 _____ ． 27．如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 28．在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB． （1）若∠CEB＝46°，求∠B的度数． （2）若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？ 29．如图，点C在∠AOB的平分线OM上，点D在边OB上，且OD＝12，△OCD的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作法） 30．如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 31．如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD的中点，BF⊥AC于点F． （1）若BD平分∠ABC，∠C＝80°，∠BAC＝60°，求∠DBF的度数． （2）若AD＝CD＝2CF＝2DF，且△ABE的面积S△ABE＝m，求S△CBF的值．（用含m的式子表示） 32．如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝5，求△ABC的面积． 【考点3】创新与压轴题（第37-41题） · 多结论题：逐一验证，注意垂直平分线和角平分线性质的结合 · 新定义题：先翻译定义，再用性质定理推理 · 实验探究题：从特殊情况入手找规律，再推广到一般 · 综合证明：常需先证全等，再用性质得到线段/角关系 33．如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB，在直线AB的右侧取一点C，满足∠ABC＝45°，∠BAC＝30°． （1）如图1，若∠NAC＝2∠CBQ，求∠MAB的度数； （2）如图2，在直线MN上方平面内取一点F，直线AF交PQ于点E，使得∠NAE和∠FBQ的角平分线交于点C，求∠F； （3）如图3，作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于W，且使得，，当四边形ASWT的一边与BC平行时，直接写出∠MAB的度数． 34．数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题． 已知，如图1，这副三角尺有以下特征： ①∠C＝∠F＝90°， ∠A＝∠B＝45°， ∠D＝30°，∠E＝60°； ②点C到AB的距离与点F到DE的距离相等． 请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题： （1）甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数． （2）乙同学：如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E放在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由． （3）丙同学：如图4，三角尺DEF固定不动，转动三角尺ABC的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出∠ACE的度数（写出所有可能的情况）． 35．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图①，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠EAN＝_______ °； （2）如图①，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；如图②，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式； （4）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN的度数与∠B，∠C的关系． 36．【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】 （1）如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， PA＜PB，请证明这个结论； 【迁移研究】 （2）如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连结AD，BC，CD，试判断BC和AD+CD之间的大小关系，并说明理由． 37．如图①，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，点P是∠ACD内部一点．若BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．求证：． 七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程： ∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠P＝∠PCD﹣∠PBC． ∴． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴，． ∵∠P＝∠PCD﹣∠PBC， ∴． ∴． （1）如图②，若，．求证：； （2）如图③，∠MON＝90°，射线OA从射线ON的位置开始，绕点O以每秒2°的速度顺时针或逆时针旋转，点B是线段OA上的一点，点C是射线OM上的一点（不与点O重合）．连接BC，在∠BCO内部作射线CD，使得，在∠ABC内部作射线BE，使得，射线BE的反向延长线与射线CD交于点P．设射线OA旋转的时间为t秒（0＜t＜90，且t≠45）： ①当t＝15秒，求∠BPC的度数； ②当45＜t＜90时，∠BPC＝____________________ °．（直接写出答案，用含字母t的代数式表示） 💯 课后巩固 复习建议 · 垂直平分线：线上点到两端距离相等；反过来，到两端等距的点在线上 · 角平分线：线上点到两边距离相等；反过来，到两边等距的点在线上 · 周长最值题用垂直平分线把折线拉直，利用两点之间线段最短 · 角平分线+平行线会出现等腰三角形，这是常用模型 · 到三角形三顶点等距用外心（垂直平分线交点），到三边等距用内心（角平分线交点） 【作业 1】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【作业 2】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【作业 3】如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF+∠EDC﹣∠ADB＝90°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【作业 4】如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【作业 5】如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【作业 6】如图，点O，F在△ABC内部，OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，FB＝FC，作直线OF． （1）连接OB，OC，求证：OB＝OC； （2）求证：OF垂直平分BC． 【作业 7】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数； （2）若△CMN的周长为15cm，求AB的长． 【作业 8】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为16cm，△OBC的周长为40cm，求线段BC，OA的长； （2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数． 【作业 9】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，AC：BC＝9：7．若BD＝14，求AB的长． 【作业 10】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF． （1）如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边AB，AC上，连接AF并延长，交BC于点P．求证：AP平分∠BAC． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝8，△ABC的面积为60，求AB的长． 【作业 11】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点． （1）求∠B的大小； （2）若BC＝12，求DE的长． 【作业 12】在如图所示的△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）若∠A＝60°，∠C＝40°，求∠ADB的度数； （2）过点D作DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，DE＝3，求△ABC的面积． 【作业 13】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 线段垂直平分线及角平分线 优等生讲义 （知识梳理＋典例＋针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质定理和判定定理 · 理解角平分线的概念，掌握其性质定理和判定定理 · 能用尺规作线段的垂直平分线和角的平分线 · 能运用垂直平分线和角平分线的性质解决线段相等、角相等问题 · 能解决与垂直平分线、角平分线相关的最短距离、周长最值等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.线段垂直平分线 垂直于一条线段并且平分它的直线叫做这条线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三边的垂直平分线交于一点（外心），这点到三个顶点的距离相等 概念辨析例题：如图，MN是BC的垂直平分线，点D在MN上，AB＝5，AC＝9，求△ABD的周长最小值 解析：D在BC垂直平分线上，所以DB＝DC。△ABD周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，当D在AC与MN交点时取等号。 ☆ 2.角平分线 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），这点到三边的距离相等 概念辨析例题：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，OD＝6，求△POD的面积 解析：P在角平分线上，所以P到OB的距离＝PC＝3。S△POD＝×OD×高＝×6×3＝9。 ☆ 3.尺规作图 作线段垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，大于一半线段长为半径画弧，两弧交点连线 作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧交于一点，连线 作图依据：SSS全等保证所作直线是垂直平分线/角平分线 实际应用：到两点距离相等的点在垂直平分线上，到两边距离相等的点在角平分线上 概念辨析例题：三角形草坪上建一个凉亭，使它到三条边的距离相等，凉亭应建在（　　）A．三边垂直平分线交点　B．三条角平分线交点　C．三条高的交点　D．三条中线的交点 解析：到角两边距离相等的点在角平分线上，到三边距离相等即到三个角两边距离相等，所以凉亭在三条角平分线交点（内心）。 ☆ 4.综合应用 最短距离问题：直线同侧两点到直线上一点距离和最小，用轴对称转化 周长最值：利用垂直平分线把折线段转化为直线段 角平分线+平行线：常出现等腰三角形（内错角相等+角平分⇒等角对等边） 垂直平分线+角平分线综合：常结合全等三角形证明线段和差关系 概念辨析例题：如图，CD平分∠ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，AC：BC＝9：7，BD＝14，求AB的长 解析：CD是角平分线，DE⊥AC、DF⊥BC，所以DE＝DF。△ACD和△BCD高相等，面积比＝底之比＝AC：BC＝9：7。又S△ACD＝AC·DE，S△BCD＝BC·DF。由角平分线性质结合面积，AD：BD＝AC：BC＝9：7，BD＝14，AD＝18，AB＝AD+BD＝32。 📋 知识总结表 核心概念 性质定理 判定定理 线段垂直平分线 线上点到两端距离相等 到两端距离相等的点在线上 角平分线 线上点到两边距离相等 到两边距离相等的点在线上 外心 三边垂直平分线交点 到三顶点距离相等 内心 三条角平分线交点 到三边距离相等 最短距离 轴对称转化 两点之间线段最短 角平分线+平行 出等腰三角形 等角对等边 ⚠️ 核心考点 【考点1】线段垂直平分线的性质（第1-17题） · 看到垂直平分线，立刻想到「线上点到两端距离相等」 · 周长最值：用垂直平分线把折线段转化为直线段 · 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点等距 · 三角形中出现两条垂直平分线交点，连接它与三个顶点 1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 2．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【分析】由线段垂直平分线的性质得DB＝DA，EA＝EC，则∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到结论． 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝40°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣40°＝140°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝140°， ∴∠BAD+∠CAE＝70°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝70°+40°＝110°． 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，关键是掌握等边对等角． 3．如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，据此即可求解． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝9+2＝11， ∴△AEG的周长为11； 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 4．如图，在锐角△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．9 B．10 C．7 D．8 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，据此即可求解． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝7+2＝9，即△AEG的周长为9， 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 5．如图，△ABC中，DE垂直平分AB，DE分别交AC、AB于点D、E，连接BD，△ABC的周长为26，BE＝5，则△BCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】由DE垂直平分AB，DE分别交AC、AB于点D、E，得AE＝BEAB，AD＝BD，则BD+CD＝AD+CD＝AC，所以BD+CD+BC＝AC+BC，因为BE＝5，所以AB＝2BE＝10，因为AC+BC+AB＝26，所以AC+BC＝16，则BD+CD+BC＝16，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC中，DE垂直平分AB，DE分别交AC、AB于点D、E， ∴AE＝BEAB，AD＝BD， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC， ∴BD+CD+BC＝AC+BC， ∵BE＝5， ∴AB＝2BE＝10， ∵△ABC的周长为26， ∴AC+BC+AB＝26， ∴AC+BC＝26﹣AB＝26﹣10＝16， ∴BD+CD+BC＝16， ∴△BCD的周长为16， 故选：D． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，推导出BD+CD+BC＝AC+BC是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．若BE＝8，△ABC的周长为36，则△CBD的周长为　20　 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝BE，从而得到AB＝2BE＝16，再根据△ABC的周长为36，计算△CBD的周长即可． 【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E， ∴AD＝BD，AE＝BE． ∵BE＝8， ∴AB＝2BE＝16． ∵△ABC的周长为36， ∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝C△ABC﹣AB＝36﹣AB＝36﹣16＝20． 即△CBD的周长为20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握． 7．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　 ． 【分析】由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，解题的关键是读懂图象信息． 8．如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　　 cm． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝45°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝3cm，EA＝EC，求出∠DAE＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝45°， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴DA＝DB＝3cm，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°， 由勾股定理得，AEcm， ∴ECcm， 故答案为：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线，BC＝8，则△ADE的周长＝　8　 ． 【分析】如图，由题意可知DA＝DB，EA＝EC，再由BD+EC+DE＝8，即可推出AD+AE+DE＝8，即△ADE的周长＝8． 【解答】解：∵边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵BC＝BD+EC+DE＝8， ∴AD+AE+DE＝8，即△ADE的周长＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，关键在于根据题意推出DA＝DB，EA＝EC，正确的进行等量代换． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长是 　2　 ． 【分析】先根据AB＝AC，OB＝OC，得出直线AO是线段BC的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【解答】解：∵AB＝AC，OB＝OC， ∴直线AO是线段BC的垂直平分线， ∴D是BC的中点， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 11．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　22　 ． 【分析】由AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，AE＝EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长． 【解答】解：因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， 所以AD＝BD，AE＝EC， 所以BC＝BD+DE+CE＝AD+DE+AE，即为△ADE的周长， 又因为△ADE的周长为22， 所以BC＝22． 故答案为：22． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键掌握数形结合思想与转化思想的应用． 12．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD． （1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得DC＝DB，，即可得BC＝8，进而由△BDC的周长为18得到2DB+10＝18，据此即可求解； （2）由对顶角性质可得∠CDE＝60°，即可得∠DBC＝∠C＝30°，进而得∠ABC＝50°，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝DB，， ∵EC＝4， ∴BC＝8， 又∵△BDC的周长为18， ∴DB+DC+BC＝18， ∴2DB+8＝18， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDE＝60°， ∵MN垂直平分BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠C＝30°， ∵DC＝DB， ∴∠DBC＝∠C＝30°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝20°+30°＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝　112　 °，∠EAN＝　44　 °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝　24　 °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系　∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）　 ． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C，由三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出∠EAN的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAN＝180°﹣2∠BAC，即可求出∠EAN的度数； （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝32°+36°＝68°． ∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣68°＝112°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：112；44； （2）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC． ∴∠EAN＝∠EAB+∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2×78°＝24°， 故答案为：24； （3）∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C），理由如下： 由（1）知当90°＜∠BAC＜180°时， ∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN） ＝180°﹣（∠B+∠C）﹣（∠B+∠C） ＝180°﹣2（∠B+∠C）． 由（2）知0°＜∠BAC＜90°时， ∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°， 综上，∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 故答案为：∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． 14．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）由角平分线的性质推出∠EAD＝∠DAF，由等腰三角形的性质得到∠EDA＝∠EAD，因此∠DAF＝∠EDA，即可证明DE∥AC； （2）由垂直的定义得到∠AOE＝∠AOF＝90°，而∠OAE＝∠OAF，由三角形内角和定理推出∠AEO＝∠AFO，判定△AEF是等腰三角形，由平行线的性质推出∠EAF＝∠BED＝60°，判定△AEF是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）△AEF是等边三角形，理由如下： ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 由（1）知：∠OAE＝∠OAF， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵DE∥AC， ∴∠EAF＝∠BED＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 15．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，连接AE，DF．求证： （1）∠EAD＝∠EDA； （2）DF∥AC； （3）∠EAC＝∠B． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出EA＝ED，由等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠EDA； （2）由线段垂直平分线的性质推出FA＝FD，得到∠ADF＝∠DAF，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，因此∠CAD＝∠ADF，即可证明问题； （3）由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，由三角形的外角性质推出EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，即可证明∠EAC＝∠B． 【解答】证明：（1）∵EF垂直平分AD， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA； （2）∵EF垂直平分AD， ∴FA＝FD， ∴∠ADF＝∠DAF， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠ADF， ∴DF∥AC； （3）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， 由（1）知：∠EAD＝∠EDA， ∴EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD， ∴∠EAC＝∠B． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． 16．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点E、D、M分别在AB、BC、AC上，连接ED、DM、EM，点F、N分别在BD、CD上，连接EF、MN． （1）若EF、MN分别是△BED和△DMC的中线，DF＝2，NC＝8，求BC的长度； （2）若EF、MN分别垂直平分BD、DC，判断ED与MD是否垂直，并说明理由． 【分析】（1）根据中线的性质得到BF＝DF＝2，DN＝NC＝8，进而求解即可； （2）由垂直平分线的性质得到EB＝ED，MD＝MC，推出∠B＝∠EDB，∠MDC＝∠C，然后结合∠A＝90°得到∠EDM＝90°，即可证明． 【解答】解：（1）∵EF、MN分别是△BED和△DMC的中线， ∴BF＝DF，DN＝NC， ∴BC＝BF+DF+DN+NC＝2+2+8+8＝20． （2）ED⊥MD，理由如下： 由线段垂直平分线的性质可知，EB＝ED，MD＝MC， ∴∠B＝∠EDB，∠MDC＝∠C， ∴∠A＝90°， ∴∠EDB+∠MDC＝90°， ∴∠EDM＝90°， ∴ED⊥MD． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【考点2】角平分线（第18-36题） · 看到角平分线+垂线，立刻想到「到两边距离相等」 · 面积问题：角平分线上的点到两边距离相等，可作高 · 角平分线+平行线⇒等腰三角形 · 内心：三条角平分线交点，到三边等距 17．在△ABC中，CD是AB边长的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于点F， ∵CD是AB边长的高线， ∴CD⊥AB，即ED⊥AB， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴DE＝EF＝2， ∴S△BCE5． 故选：C． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝18，DE＝2，AB＝12，则AC的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】过点D作DF⊥AC交AC的延长线于点F，由角平分线的性质得到DE＝DF＝2，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，列出方程求解即可． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC交AC的延长线于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴AB•DEAC•DF＝18， ∴12×2AC×2＝18， ∴AC＝6． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出DF＝DE． 19．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，根据△ABC的面积是50得AB•OEBC•ODAC•OF＝50，进而得AB+BC+AC，据此即可得出答案． 【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图所示： ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD＝3， ∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3， ∵△ABC的面积是50， ∴S△OAB+S△OBC+S△OAC＝50， ∴AB•OEBC•ODAC•OF＝50， ∴3AB+3BC+3AC＝100， ∴AB+BC+AC， ∴△ABC的周长为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 20．如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE＝BF，∠BFD+∠C＝180°，E是AC的中点，若△DCE的面积为3cm2，则△ABC的面积为　15cm2 ． 【分析】如图：过点D分别作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，然后根据角平分线的性质可得DG＝DH，再根据三角形面积公式，即可得出S△DBF＝S△DCE＝3；利用三角形中线的性质可得S△ADC＝2S△DCE＝6，再证明△ADF≌△ADC（AAS），则S△ADF＝S△ADC＝6，最后根据△ABC的面积为S△ADF+S△ADC+S△BDF即可解答． 【解答】解：过点D分别作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H， ∵AD平分∠BAC， ∴DG＝DH，∠FAD＝∠CAD， ∵，，CE＝BF， ∴S△DBF＝S△DCE＝3． ∵E是AC的中点， ∴S△ADC＝2S△DCE＝6， ∵∠BFD+∠C＝180°，∠BFD+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝∠C， 在△ADF与△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（AAS）， ∴S△ADF＝S△ADC＝6， ∴△ABC的面积为S△ADF+S△ADC+S△BDF＝6+6+3＝15（cm2）． 故答案为：15cm2． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DG＝DH解答． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为　6　 ． 【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝CD＝2，于是得到△ABD的面积AB•DH＝6． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝CD＝2， ∵AB＝6， ∴△ABD的面积AB•DH6×2＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DH＝CD． 22．已知，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，则△ABD的面积为　15　 cm2． 【分析】作DE⊥AB于点E，因为∠C＝90°，所以CD⊥BC于点C，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质得DE＝CD＝3cm，而AB＝10cm，则S△ABDAB•DE＝15cm2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥BC于点C， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝CD＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴S△ABDAB•DE10×3＝15（cm2）， 故答案为：15． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则的值为　　 ． 【分析】根据三角形等高模型及BF＝2EF，S△DEF＝2，求出S△BDE＝6，同样根据点E为AD的中点，求出S△ACD＝9，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据∠BAC的角平分线AD交BC于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【解答】解：∵BF＝2EF，S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN（三角形中线定理）， ∴， 则的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是正确地作出辅助线． 24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　1　 ． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质得DF＝AD＝1，进而得S△BCDBC•DF＝2，再根据点E是BD的中点得DE＝BE，由此得S△BEC＝S△DEC＝1/2S△BCD＝1，据此可得出答案． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝1， ∴DF＝AD＝1， 又∵BC＝4， ∴S△BCDBC•DF4×1＝2， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， ∵△DEC的边DE上的高和△BEC的边BE上的高相同， ∴S△BEC＝S△DECS△BCD＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么点D到AB边所在直线的距离是 　3　 cm． 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【解答】解：如图，作DE垂直于AB于点E，则DE为点D到AB边所在直线的距离． ∵BC＝9cm，BD＝6cm， ∴CD＝3cm， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝3cm， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 26．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为 　9　 ． 【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线性质得PE＝PC＝3，然后再根据三角形的面积公式即可得出△POD的面积． 【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，如图所示： ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PC＝3， ∴PE＝PC＝3， 又∵OD＝6， ∴△POD的面积为：OD•PE6×3＝9． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 27．如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°， ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴S△ABES△ABD30＝18． 【点评】本题主要考查了角平分的性质，熟知角平分线的定义及性质是解题的关键． 28．在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB． （1）若∠CEB＝46°，求∠B的度数． （2）若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？ 【分析】（1）利用垂直平分线的性质得到∠A＝23°，再得到∠ACB＝46°，利用三角形内角和即可解答； （2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据题意求得AC，EF的长即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知EA＝EC， ∴∠A＝∠ACE， ∵∠BEC＝46°， ∴， ∵CE为角平分线， ∴∠ACB＝2∠ACE＝46°， ∴∠B＝180°﹣46°﹣23°＝111°； （2）如图，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F， ∵EF⊥BC，DE⊥AC，CE为角分平线， ∴EF＝DE， ∴， ∴EF＝DE＝3， ∵C△ABC＝AB+AC+BC，C△EBC＝EB+EC+BC＝AB+BC，且C△ABC﹣C△EBC＝8， ∴AC＝8， ∴12， ∴△AEC的面积为12． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． 29．如图，点C在∠AOB的平分线OM上，点D在边OB上，且OD＝12，△OCD的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA上求作一点E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】以C为圆心画弧交OA于K、L，分别以K、L为圆心大于KL的长为半径画弧交于点F，作直线CF交OA于点E，点E即为所求作的点． 【解答】解：如图所示：点E即为所求作的点，理由如下： 过C作CH⊥OB于H， 由作图知CE⊥OA， ∵OM平分∠AOB， ∴CE＝CH， ∵△OCD的面积OD•CH＝24， ∵OD＝12， ∴CH＝4， ∴CE＝4． 【点评】本题考查角平分线的性质，作图﹣基本作图，关键是掌握角平分线的性质定理，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线的方法． 30．如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P． 【解答】解：如图，点P为所求． 作角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点就是点P的位置． 【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质． 31．如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD的中点，BF⊥AC于点F． （1）若BD平分∠ABC，∠C＝80°，∠BAC＝60°，求∠DBF的度数． （2）若AD＝CD＝2CF＝2DF，且△ABE的面积S△ABE＝m，求S△CBF的值．（用含m的式子表示） 【分析】（1）根据三角形内角和得到∠ABC＝40°，根据角平分线的定义得到∠CBD＝20°，根据三角形内角和得到∠CBF＝10°，最后根据∠DBF＝∠CBD﹣∠CBF计算即可； （2）根据E是BD的中点得到S△ABD＝2m，根据AD＝CD得到S△ABD＝S△CBD＝2m，最后根据CF＝DF即可得到S△CBF＝m． 【解答】解：（1）∵∠C＝80°，∠BAC＝60°， 由三角形内角和定理可得，∠ABC＝180°﹣80°﹣60°＝40°． ∵BD平分∠ABC， ∴． ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴∠CBF＝90°﹣80°＝10°， ∴∠DBF＝∠CBD﹣∠CBF＝20°﹣10°＝10°； （2）∵E是BD的中点， ∴S△ABE＝S△AED＝m，S△ABD＝2m． ∵AD＝CD， ∴S△ABD＝S△CBD＝2m． ∵CF＝DF， ∴． 【点评】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形中线的性质，关键是根据三角形内角和定理得出∠ABC的度数解答． 32．如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝5，求△ABC的面积． 【分析】由角平分线的性质推出DF＝DE＝5，由三角形的面积公式得到△ABC的面积（AB+BC）•DE＝70． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5， ∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积AB•DEBC•DF（AB+BC）•DE， ∵AB＝16，BC＝12， ∴△ABC的面积（16+12）×5＝70． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DF＝DE． 【考点3】创新与压轴题（第37-41题） · 多结论题：逐一验证，注意垂直平分线和角平分线性质的结合 · 新定义题：先翻译定义，再用性质定理推理 · 实验探究题：从特殊情况入手找规律，再推广到一般 · 综合证明：常需先证全等，再用性质得到线段/角关系 33．如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB，在直线AB的右侧取一点C，满足∠ABC＝45°，∠BAC＝30°． （1）如图1，若∠NAC＝2∠CBQ，求∠MAB的度数； （2）如图2，在直线MN上方平面内取一点F，直线AF交PQ于点E，使得∠NAE和∠FBQ的角平分线交于点C，求∠F； （3）如图3，作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于W，且使得，，当四边形ASWT的一边与BC平行时，直接写出∠MAB的度数． 【分析】（1）设∠CBQ＝x，则∠NAC＝2x，解得∠ABQ＝45°+x，∠NAB＝30°+2x，得到∠MAB＝180°﹣∠NAB＝150°﹣2x，再根据平行线的性质列出方程求出x的值即可求解； （2）过点F作FH∥PQ，设∠NAC＝α，∠CBQ＝β，可得a+β＝105°，由角平分线的定义得∠EAN＝2α，∠FBQ＝2β，利用平行线的性质得∠FEQ＝180°﹣∠EAN＝180°﹣2α，∠BFH＝180°﹣∠FBQ＝180°﹣2β，∠EFH+∠FEQ＝180°，即得180°﹣2α+180°﹣2β+∠EFB＝180°，即可求解； （3）设∠MAS＝m，∠CBQ＝n，可得∠MAB＝2m，∠AST＝∠MAS＝m，∠TSU＝180°﹣∠AST＝180°﹣m，n＝2m﹣45°，，∠ATS＝∠NAT＝75°﹣m，∠STV＝180°﹣∠ATS＝105°+m，再分WT∥BC，AS∥BC，SW∥BC和AT∥BC四种情况解答即可求解． 【解答】解：（1）设∠CBQ＝x， ∵∠NAC＝2∠CBQ， ∴∠NAC＝2x， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠ABQ＝45°+x，∠NAB＝30°+2x， ∴∠MAB＝180°﹣∠NAB＝180°﹣（30°+2x）＝150°﹣2x， ∵MN∥PQ， ∴∠MAB＝∠ABQ， 即150°﹣2x＝45°+x， 解得x＝35°， ∴∠MAB＝150°﹣2×35°＝80°； （2）如图，过点F作FH∥PQ， 设∠NAC＝α，∠CBQ＝β， ∵MN∥PQ， ∴∠NAB+∠ABQ＝180°， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠NAC+∠CBQ＝105°，即α+β＝105°， ∵∠NAE和∠FBQ的角平分线交于点C， ∴∠EAC＝∠NAC，∠FBC＝∠QBC， ∴∠EAN＝2α，∠FBQ＝2β， ∵FH∥PQ，MN∥PQ， ∴∠FEQ＝180°﹣∠EAN＝180°﹣2α，∠BFH＝180°﹣∠FBQ＝180°﹣2β，∠EFH+∠FEQ＝180°， ∴∠BFH+∠EFB+∠FEQ＝180°， ∴180°﹣2α+180°﹣2β+∠EFB＝180°， ∴∠EFB＝2（α+β）﹣180°＝2×105°﹣180°＝30°； （3）作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于W，且使得，设∠MAS＝m，∠CBQ＝n， ∵AS平分∠MAB， ∴∠MAB＝2m， ∵MN∥PQ， ∴∠AST＝∠MAS＝m， ∴∠TSU＝180°﹣∠AST＝180°﹣m， ∵MN∥PQ，∠ABC＝45°， ∴∠MAB＝∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ，即2m＝45°+n， ∴n＝2m﹣45°， ∵AT平分∠NAC，∠BAC＝30°， ∴， ∵MN∥PQ， ∴∠ATS＝∠NAT＝75°﹣m， ∴∠STV＝180°﹣∠ATS＝105°+m， 如图，当WT∥BC时，则， ∴， 解得m＝48°， ∴∠MAB＝2m＝96°； 如图，当AS∥BC时，则∠SAB＝∠ABC＝45°， ∴∠MAB＝2∠SAB＝90°； 如图，当SW∥BC时，则∠TSW＝∠TBC， ∵∠TBC＝∠ABC﹣∠ABT，， ∴， ∵∠ABT＝∠MAB＝2m，∠TSU＝180°﹣m， ∴， 解得m＝5， ∴∠MAB＝2m＝10°； 当AT∥BC时，则∠BAT+∠ABC＝∠BAC+∠CAT＝180°， 即45°+30°+75°﹣m＝180°， 解得m＝﹣30°（不合题意，舍去）； 综上，当四边形ASWT的一边与BC平行时，∠MAB的度数为10°或90°或96°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 34．数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题． 已知，如图1，这副三角尺有以下特征： ①∠C＝∠F＝90°， ∠A＝∠B＝45°， ∠D＝30°，∠E＝60°； ②点C到AB的距离与点F到DE的距离相等． 请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题： （1）甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数． （2）乙同学：如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E放在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由． （3）丙同学：如图4，三角尺DEF固定不动，转动三角尺ABC的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出∠ACE的度数（写出所有可能的情况）． 【分析】（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算； （2）结合平行线的性质与三角形外角的性质进行求解； （3）运用分类讨论思想进行求解． 【解答】解：（1）如图2， ∵∠C＝90°，∠DFE＝90°，∠B＝∠CAB＝45°，∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BGD＝∠D+∠BAD＝30°+45°＝75°； （2）∠DEM﹣∠DPB＝30°， 理由如下： 如图3，DE与AB相交于点H， ∵AB∥MN，∠D＝30°， ∴∠DHB＝∠DEM， ∵∠DHB＝∠D+∠DPB， ∴∠DEM＝∠D+∠DPB， ∴∠DEM﹣∠DPB＝∠D＝30° ∴∠DEM﹣∠DPB＝30°； （3）∵∠ABC＝∠DFC＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°； 当BC∥DE时，如图4， ∴∠E＝∠ECB＝60°， ∴∠ACE＝90°+60°＝150°； 当AB∥EC时，如图， ∴∠B＝∠ECB＝45°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°； 当AC∥ED时，如图， ∴∠ACE＝∠E＝60°； 当AB∥CD时，如图，AB与CE交于点H， ∴∠AHC＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°， 综合得：∠ACE的度数可能是150°，135°，60°，45°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 35．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图①，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠EAN＝　44　 °； （2）如图①，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；如图②，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式； （4）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN的度数与∠B，∠C的关系． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质结合整体思想进行计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质结合整体思想及分类讨论的数学思想即可解决问题； （4）根据上面的解题过程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠B＝32°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣32°﹣36°＝112°，∠BAE+∠NAC＝32°+36°＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：44； （2）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝112°， ∴∠B+∠C＝180°﹣112°＝68°， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°； 同理可得，当∠BAC＝82°时， ∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°， ∴∠EAN＝（∠BAE+∠NAC）﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°； （3）当0°＜α＜90°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAE+∠NAC﹣∠BAC＝180°﹣2α． 当90°＜α＜180°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°． （4）由上述过程可知， 当0°＜∠BAC＜90°时，∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°； 当90°＜∠BAC＜180°时，∠EAN＝2∠BAC﹣180°＝2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2（∠B+∠C）． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及角的计算，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 36．【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】 （1）如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， PA＜PB，请证明这个结论； 【迁移研究】 （2）如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连结AD，BC，CD，试判断BC和AD+CD之间的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）如图①，连接PA，PB，AM，由线段垂直平分线的性质推出AM＝BM，由三角形三边关系定理得到PM+AM＞PA，推出PA＜PB； （2）如图②，当D不在线段BC上时，连接BD，由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD，由三角形三边关系定理得到AD+CD＞BC，当D在线段BC上时，AD+CD＝BC，于是AD+CD≥BC． 【解答】（1）证明：如图①，连接PA，PB，AM， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴PB＝PM+MB＝PM+AM， ∵PM+AM＞PA， ∴PA＜PB； （2）解：如图②，AD+CD≥BC，理由如下： 当D不在线段BC上时， 连接BD， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵BD+CD＞BC， ∴AD+CD＞BC， 当D在线段BC上时，AD+CD＝BC， ∴AD+CD≥BC， 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，比较线段的长度，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等． 37．如图①，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，点P是∠ACD内部一点．若BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．求证：． 七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程： ∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠P＝∠PCD﹣∠PBC． ∴． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴，． ∵∠P＝∠PCD﹣∠PBC， ∴． ∴． （1）如图②，若，．求证：； （2）如图③，∠MON＝90°，射线OA从射线ON的位置开始，绕点O以每秒2°的速度顺时针或逆时针旋转，点B是线段OA上的一点，点C是射线OM上的一点（不与点O重合）．连接BC，在∠BCO内部作射线CD，使得，在∠ABC内部作射线BE，使得，射线BE的反向延长线与射线CD交于点P．设射线OA旋转的时间为t秒（0＜t＜90，且t≠45）： ①当t＝15秒，求∠BPC的度数； ②当45＜t＜90时，∠BPC＝　（t﹣30）或（90t）　 °．（直接写出答案，用含字母t的代数式表示） 【分析】（1）理解三角形外角等于不相邻两个内角之和，并能根据题目给出的比例关系推导出∠P与∠A 的数量关系； （2）需要结合旋转速度和时间，用含t的代数式表示出∠A 的度数，进而求出∠BPC的度数． 【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠ABC+∠A， ∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∠P＝∠PCD﹣∠PBC， ， ∴∠PCDACD， ∴∠PACDABC（∠ACD﹣∠ABC）A， 即∠P∠A； 解：（2）①∵射线OA旋转的速度为2°/秒， t＝15， ∴∠AON＝15×2°＝30°， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOO＝∠MON﹣∠AON＝90°﹣30°＝60°， 即∠A＝60°， 由（1）知∠BPCA， ∴， 答：∠BPC的度数为20°； ②当45＜t＜90时， 情况1：旋转的角度∠AON＝2t°， 因为t＞45， 所以2t＞90， 即∠AON＞90°， 此时射线OA已经越过了射线OM，位于OM的下方． 所以∠AOC＝∠AON﹣∠MON＝2t°﹣90°， 即∠A＝（2t﹣90）°， 根据第（1）问的结论，． ∴； 情况2：射线OA逆时针旋转到ON左侧，射线逆时针继续旋转，越过ON，在ON左边，45＜t＜90，∠AON＝2t°， 周角360°，∠BOC＝360°﹣∠MON﹣∠AON＝360°﹣90°﹣2t°＝（270﹣2t）°， ． ∴∠BPC（270﹣2t）°＝（90t）°． 故答案为：（t﹣30）或（90t）． 【点评】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义以及动态几何中的角度计算．解题的关键在于相关知识的灵活运用． 💯 课后巩固 复习建议 · 垂直平分线：线上点到两端距离相等；反过来，到两端等距的点在线上 · 角平分线：线上点到两边距离相等；反过来，到两边等距的点在线上 · 周长最值题用垂直平分线把折线拉直，利用两点之间线段最短 · 角平分线+平行线会出现等腰三角形，这是常用模型 · 到三角形三顶点等距用外心（垂直平分线交点），到三边等距用内心（角平分线交点） 【作业 1】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【作业 2】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【分析】连接DC，则DC＝BD，AD+BD＝AD+DC≥AC，若要△ABD的周长最小，则A，D，C三点共线，即D为AC与MN的交点，△ABD的周长为AB+AC，问题可解． 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 【作业 3】如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF+∠EDC﹣∠ADB＝90°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】由垂直平分线可确定△BDC为等腰三角形，进而求出Rt△CDE≌Rt△BDF，Rt△AFD≌Rt△AED再利用全等，得出对应角，对应边相等，再求解． 【解答】解：过点D作DG⊥BC， ∵DG垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∵AD平分∠FAC． ∴DE＝DF， 在Rt△CDE与Rt△BDF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL）， 故①正确； ∴∠BDF＝∠CDE，CE＝BF，∠FBD＝∠DCE 在Rt△AFD与Rt△AED中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL） ∴AE＝AF，∠DAF＝∠DAE， ∴CE＝BF＝AB+AF＝AB+AE 故②正确； ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠DBC+∠ACB+∠DCA） ＝180°﹣（∠FBD+∠DBC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝∠BAC 故③正确； ∠DAF+∠EDC﹣∠ADB＝∠DAE+∠BDF﹣∠ADB ＝∠DAE+∠ADF＝90°． 故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．在本题中能利用线段（角）的和差和等量代换去分别表示题述结论等式的两边，从而判断结论是否正确是解决问题的关键． 【作业 4】如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由角平分线的性质可得，DF＝DE＝3，由题意知，计算求解即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝3， ∴DF＝DE＝3， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝18， ∴， ∴， 整理得，AB， 解得AB＝7． 则AB的长为7， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【作业 5】如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【分析】根据角平分线的性质即可得出答案． 【解答】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【作业 6】如图，点O，F在△ABC内部，OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，FB＝FC，作直线OF． （1）连接OB，OC，求证：OB＝OC； （2）求证：OF垂直平分BC． 【分析】（1）连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OA，OC＝OA，等量代换证明OB＝OC； （2）根据线段垂直平分线的判定证明． 【解答】证明：（1）如图，连接OA， ∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴OB＝OC； （2）∵OB＝OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵FB＝FC， ∴点F在线段BC的垂直平分线上， ∴OF是线段BC的垂直平分线， ∴OF垂直平分BC． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【作业 7】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数； （2）若△CMN的周长为15cm，求AB的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，CN＝NB，再利用等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，从而得出∠MCN＝2∠ACB﹣180°，从而得解； （2）根据线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，CN＝NB，可得△CMN的周长等于线段AB． 【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F，∠ACB＝120°， ∴AM＝CM，CN＝BN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°﹣（∠CMN+∠CNM）＝180°﹣（2∠A+2∠B）＝180°﹣2（180°﹣∠ACB）＝2∠ACB﹣180°＝60°； （2）由（1）知，AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长为CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB＝15cm． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【作业 8】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为16cm，△OBC的周长为40cm，求线段BC，OA的长； （2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质求解即可； （2）求解∠ABC+∠ACB＝65°，结合等腰三角形的性质进一步求解即可． 【解答】解：（1）由线段垂直平分线可得，DA＝DB，EA＝EC， ∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝16cm， 由线段垂直平分线可得，OA＝OB，OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝40cm， ∴OA＝OB＝OC＝12cm； （2）∵∠BAC＝115°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣115°＝65°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝115°﹣65°＝50°． 【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质解答． 【作业 9】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，AC：BC＝9：7．若BD＝14，求AB的长． 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据等面积得出，即可求解． 【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F， ∴DE＝DF， 设△ABC中AB边上的高的长度为h， ∵AC：BC＝9：7， ∴， 又∵，BD＝14， ∴， ∴AD＝18， ∴AB＝18+14＝32． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟知以上知识是解题的关键． 【作业 10】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF． （1）如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边AB，AC上，连接AF并延长，交BC于点P．求证：AP平分∠BAC． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝8，△ABC的面积为60，求AB的长． 【分析】（1）通过证明△ADF≌△AEF，得到角相等，从而证明AP平分∠BAC，核心为SSS全等判定； （2）由角平分线的性质得点P到AC的距离等于PQ，再利用三角形面积分割法，S△ABC＝S△ABP+S△ACP求解． 【解答】（1）证明：在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF（全等三角形对应角相等），即AP平分∠BAC； （2）解：过点P作PM⊥AC于M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PM⊥AC， ∴PM＝PQ＝6（角平分线的性质）， ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴， 代入已知条件S△ABC＝60，PQ＝PM＝6，AC＝8，即， 解得AB＝12． 【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 【作业 11】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点． （1）求∠B的大小； （2）若BC＝12，求DE的长． 【分析】（1）根据垂直平分线的判定及性质得出AD＝BD，再根据等边对等角得出∠B＝∠BAD，然后根据角平分线得出∠CAD＝∠BAD，最后根据余角的概念即可得出答案； （2）根据角平分线的性质得出DC＝DE，再根据含30度角的直角三角形的性质得出BD＝2DE，然后根据等量代换及线段的和差即可得出答案． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB，且E为AB的中点， ∴DE垂直平分AB， ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）， ∴∠B＝∠BAD， ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质）， ∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°； （2）∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵∠B＝30°， ∴BD＝2DE， ∴BD＝2DC， ∵BC＝12， ∴BD+CD＝3DE＝12， ∴DE＝4． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【作业 12】在如图所示的△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）若∠A＝60°，∠C＝40°，求∠ADB的度数； （2）过点D作DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，DE＝3，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠ABC，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，进而利用三角形面积公式解答即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵∠ABC的角平分线交AC于点D， ∴∠ABD＝∠ABC＝40°（角平分线的性质）， ∴∠ADB＝180°﹣60°﹣40°＝80°， 则∠ADB的度数为80°； （2）过点D作DF⊥AB于点F， ∵DE⊥BC， ∴DE＝3， ∴DE＝DF＝3， 又AB＝5，BC＝7， ∴△ABD的面积+△BDC的面积． 即△ABC的面积为18． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DE＝DF解答． 【作业 13】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 【分析】（1）根据角平分线得∠PEA＝∠PEF，再根据AB∥CD得∠PEA＝∠EPF，由此可得出结论； （2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH 得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数； （3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，先证明∠1∠EFD，∠2∠AEF，再根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，又根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数，进而得解． 【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $