专题10直角三角形全等的判定 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦直角三角形全等的HL判定定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）及角平分线判定定理（角内部到两边距离相等的点在角平分线上），在一般三角形全等判定基础上，构建从定理理解到综合应用的学习支架。 资料特色为知识框架系统（含文字表述、符号语言、适用条件），题型分层设计（基础证明到旋转、垂线模型辅助线问题），易错点提醒规范书写（如标注Rt△、垂线段条件）。通过具体例题培养几何直观与推理能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化应用意识。

专题10直角三角形全等的判定 同步培优讲义 ✺知识框架 1.HL判定定理：文字表述、符号语言、适用条件 2.角平分线的判定定理：定理内容、符号语言、应用场景 3.综合应用：利用HL、角平分线判定定理证明线段相等、角相等 ✅本节课核心是直角三角形特有的 HL全等判定，同步学习角平分线的判定定理。HL仅适用于直角三角形；角平分线判定定理用于判定点在角平分线上，两个定理常结合完成几何推理。 ✺学习目标 1.直角三角形全等的HL判定定理，理解定理条件，能规范书写几何证明过程。 2.掌握角平分线的判定定理，区分角平分线性质定理与判定定理，能进行简单推理应用。 3.利用HL定理、角平分线判定定理证明线段相等、角相等，挖掘图形中公共边、直角等隐含条件。 4.明确HL的适用范围，规范几何书写格式，规避证明中的常见错误。 ✺题型归纳 题型1.用HL证全等（HL） 题型2.全等的性质和HL综合（HL） 题型3.旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型4.垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型5.角平分线的判定定理 题型6.课堂小练 ✺知识清单 知识点一 、直角三角形全等的判定定理 文字表述：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简记为斜边、直角边（HL）。 符号语言： 使用前提：必须是两个直角三角形；条件为斜边对应相等，且一条直角边对应相等。 知识点二、角平分线的判定定理 文字表述：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号语言：∵PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,PD=PE,且点P在∠AOB内部，∴OP平分∠AOB. 说明：定理包含两个条件：①点在角的内部；②该点到角两边的距离相等。 定理的作用：判定点在角平分线上，证明角相等。 应用结论：可以利用 HL 证明直角三角形全等，得到对应边、对应锐角相等，用来证明线段相等或角相等；而角平分线判定定理可直接判定角相等，不需要证明三角形全等。 【易错点提醒】 1.HL定理只适用于直角三角形，不能用于一般三角形全等证明。 2.使用HL证明时，书写格式必须标注Rt△，缺少标注会导致依据不成立。两条直角边对应相等，不能使用HL判定，应选用SAS判定。 3.使用角平分线判定定理，相等的线段必须是点到角两边的垂线段，不是任意线段；点必须在角的内部。 ✺题型精讲 题型1.用HL证全等（HL） 1．如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 3．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 题型2.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 2．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 3．如图，在中，，过点、分别作，，连接、、，．求证：． 题型3.旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，在中，，D是斜边上一点，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则______． 3．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 题型4.垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 2．如图，在四边形中，，则的长为______． 3．如图，在和中，，，点，，在一条直线上，，连结交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求的长． 题型5.角平分线的判定定理 1．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 2．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，连接，已知，则的度数是______． 3．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，过点A作，过点C作，两垂线相交于点D，且．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 5．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 三、解答题 6．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 7．如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 8．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10直角三角形全等的判定 同步培优讲义 ✺知识框架 1.HL判定定理：文字表述、符号语言、适用条件 2.角平分线的判定定理：定理内容、符号语言、应用场景 3.综合应用：利用HL、角平分线判定定理证明线段相等、角相等 ✅本节课核心是直角三角形特有的HL全等判定，同步学习角平分线的判定定理。HL仅适用于直角三角形；角平分线判定定理用于判定点在角平分线上，两个定理常结合完成几何推理。 ✺学习目标 1.直角三角形全等的HL判定定理，理解定理条件，能规范书写几何证明过程。 2.掌握角平分线的判定定理，区分角平分线性质定理与判定定理，能进行简单推理应用。 3.利用HL定理、角平分线判定定理证明线段相等、角相等，挖掘图形中公共边、直角等隐含条件。 4.明确HL的适用范围，规范几何书写格式，规避证明中的常见错误。 ✺题型归纳 题型1.用HL证全等（HL） 题型2.全等的性质和HL综合（HL） 题型3.旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型4.垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型5.角平分线的判定定理 题型6.课堂小练 ✺知识清单 知识点一 、直角三角形全等的判定定理 文字表述：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简记为斜边、直角边（HL）。 符号语言： 使用前提：必须是两个直角三角形；条件为斜边对应相等，且一条直角边对应相等。 知识点二、角平分线的判定定理 文字表述：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号语言：∵PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,PD=PE,且点P在∠AOB内部，∴OP平分∠AOB. 说明：定理包含两个条件：①点在角的内部；②该点到角两边的距离相等。 定理的作用：判定点在角平分线上，证明角相等。 应用结论：可以利用 HL 证明直角三角形全等，得到对应边、对应锐角相等，用来证明线段相等或角相等；而角平分线判定定理可直接判定角相等，不需要证明三角形全等。 【易错点提醒】 1.HL定理只适用于直角三角形，不能用于一般三角形全等证明。 2.使用HL证明时，书写格式必须标注Rt△，缺少标注会导致依据不成立。两条直角边对应相等，不能使用HL判定，应选用SAS判定。 3.使用角平分线判定定理，相等的线段必须是点到角两边的垂线段，不是任意线段；点必须在角的内部。 ✺题型精讲 题型1.用HL证全等（HL） 1．如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 2．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 3．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型2.全等的性质和HL综合（HL） 1．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】利用“”判定方法证明，根据全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、， ， 在和中， ， ， 、、， 平分， 故A、B、D选项正确； 根据题意无法得出， 故C选项错误． 2．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 3．如图，在中，，过点、分别作，，连接、、，．求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． 又， ， ． 【分析】根据等角对等边可得，再根据证明，即可得． 【详解】略 题型3.旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，在中，，D是斜边上一点，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACE，连结DE，由旋转可得AD=AE，∠ACE=∠B，BD=CE=1，由，可得∠ABC=∠ACB=45°， 可求∠DCE=90°，在Rt△DCE中，由勾股定理得，由AD=AE，∠DAE=90°，在Rt△ADE中，求出AD即可． 【详解】解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACE，连结DE， ∴AD=AE，∠ACE=∠B，BD=CE=1， ∵， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°， 在Rt△DCE中，， ∵AD=AE，∠DAE=90°， ∴在Rt△ADE中 ∴AD=5， 故选择C． 【点睛】本题考查图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是关键． 2．如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，先证明，得出，，然后在证是等腰直角三角形，求出的长，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，则， 在等腰直角中，是斜边的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 3．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)； (2) 且； 理由如下：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：且； (3)， 【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）解：，，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键． 题型4.垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在四边形中，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，在和中，，，点，，在一条直线上，，连结交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作交于点，交于点， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是的中点． (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形，利用勾股定理求线段长度是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，先利用全等三角形判定定理推出，得到，再利用全等三角形判定定理推出，得到，即可得出结论； （2）由和求出的长，进而得到、的长，在中利用勾股定理得出的长，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， 解得：， ， 由（1）中的结论得，，， ，， ， ， ， 在中，， 由（1）中的结论得，是的中点， ， 的长为5． 题型5.角平分线的判定定理 1．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 【答案】A 【详解】解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上， ∴O为三条角平分线的交点． 2．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，连接，已知，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上．根据两把完全相同的长方形直尺，可知平分，又，进而可得的度数．再由长方形直尺可得，利用平行线的性质可求解． 【详解】解：由题意，两把完全相同的长方形直尺，则点到的距离相等， ∴平分， ∴， 由长方形直尺可知：， ∴， 故答案为：． 3．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 2．如图，在中，过点A作，过点C作，两垂线相交于点D，且．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点A逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质可知对应边相等，，再利用勾股定理结合已知的、长度，求解． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得，连接， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ， 在中，， ∴， 解得． 3．如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 5．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵于D，于E， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于D，于E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得证； （3）根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴. 7．如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 8．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $