专题03 全等三角形、三角形全等的判定 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形性质与判定核心知识点，系统梳理性质（由全等推对应边、角相等）与判定（SSS、SAS、ASA、AAS由边角条件证全等）的逆向推理关系，构建线段、角度等量转化的几何推理学习支架。 资料通过23类分层题型设计，覆盖基础概念、尺规作图到倍长中线等模型应用，强调隐含条件挖掘与规范书写，培养几何直观与推理能力。课中助力教师分层教学，课后综合题帮助学生查漏补缺，提升逻辑表达。

专题03全等三角形、三角形全等的判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.全等三角形的性质立足于图形完全重合的本质。已知两个三角形全等，就可以推得对应边、对应角相等，多用于几何计算与推导。 2.三角形全等的判定以边角的对应关系为依据，在未知三角形是否全等时，利用判定定理证明两个三角形全等，是几何证明的核心工具。 3.性质与判定互为逆向推理。性质由全等推出边角等量关系；判定由边角条件推证三角形全等。本章全部习题都围绕这一组正反推理展开，是后续线段、角度等量转化的重要基础。 ✅本节需要掌握两项核心能力：利用全等性质完成边角等量转化；利用 SSS、SAS、ASA、AAS 证明三角形全等。学习重点是把握各判定定理条件，规避 SSA、AAA 等无效判定的陷阱，学会挖掘图形隐含条件，养成规范严谨的几何推理习惯。 ✺学习目标 1.理解全等图形与全等三角形的定义，能够准确识别对应顶点、对应边、对应角，掌握全等符号的规范书写。 2.掌握全等三角形的性质，能够运用性质求解线段、角度，完成基础几何推理。 3.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 四种三角形全等判定定理，厘清各定理的适用条件，认清 SSA、AAA 不能判定三角形全等。 4.能够挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件，合理选用判定定理完成全等证明。 会借助全等实现线段、角的等量转化，熟悉几何证明的书写格式，提升逻辑推理能力 ✺题型归纳 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念 题型3.全等三角形的性质 题型4.将已知图形分割成几个全等图形 题型5.尺规作图——作三角形 题型6.用SSS证明三角形全等 题型7.用SSS间接证明三角形全等 题型8.全等的性质和SSS综合 题型9.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合 题型12.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型13.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型14.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型15.添加条件使三角形全等 题型16.灵活选用判定方法证全等 题型17.结合尺规作图的全等问题 题型18.连接两点构造全等三角形 题型19.倍长中线模型 题型20.其他模型 题型21.证一条线段等于两条线段和差 题型22.全等三角形综合问题 题型23.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、全等三角形 1.全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形形状相同、大小相等。 2.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 【提示】图形经过平移、翻折、旋转，仅位置发生改变，形状和大小保持不变，变换前后的三角形全等。 3.书写规范：全等符号写作≌，书写全等三角形时，必须将对应顶点写在对应位置，以此确定对应边与对应角。 例：△ABC≌△DEF，则点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应。 【提示】公共边一定是对应边；公共角、对顶角一定是对应角。 4.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 【拓展】全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长相等，面积相等。该拓展结论考试可直接使用。 知识点二、三角形全等的四大判定定理 ▲证明三角形全等，至少要有一组对应边相等；判定条件必须是对应相等，仅仅边角相等但不对应，不能证明全等。直角三角形HL判定安排在后续课时，本节不涉及。 1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3.ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（边必须是两角的公共夹边）。 4.AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 ▲隐含条件与判定选用技巧 1.图形常见隐含相等条件：公共边相等、公共角相等、对顶角相等，是解题中经常用到的隐藏条件。 2.判定方法选择思路 （1）已知两组边对应相等：优先选用 SSS，其次寻找两边夹角使用 SAS。 （2）已知两组角对应相等：再寻找任意一组对应边相等，选用 ASA 或者 AAS。 （3）已知一组边与一组角对应相等，可以推导得到另一组角相等，或是补齐该角的夹边条件。 ★重难点与易错提示 1.书写全等三角形时，对应顶点字母顺序不可随意调换，防止对应边、对应角识别出错。 2.使用 SAS 证明全等，务必确认角是两边的夹角，答题禁止使用 SSA、AAA 作为全等判定依据，否则会直接造成失分。 3.分清 ASA 与 AAS 的区别，不可混淆夹边与对边。 4.证明过程的全部条件，必须来自题干或者图形，不能自行添加题目没有给出的边角关系。 ☘标准解题思路 1.需要证明线段相等或者角相等时，可以先证明线段、角所在的两个三角形全等，再利用全等三角形的性质推导出结果。 2.常规解题步骤：梳理题干已知条件，挖掘图形隐含条件，选择合适判定定理证明三角形全等，最后得出所求结论。 3.若直接证全等条件不足，可以利用角的和差、线段和差、平行线得到的角关系，先补齐边角条件，再完成全等证明。 ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 2．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察图形， 得图中全等的图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）． 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12） 3．玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？    【答案】选用A型材料最省钱，要用36元 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，方案选择问题，全选A型板时，要与的正方形全等，需满足所选A型板中小正方形的总数与的正方形中小正方形的总数相等． 【详解】解：拼成的正方形全等的图案： 用A型板12块，每块3元，花费（元）， 用B型板12块，每块4元，花费（元）， 用C型板9块，每块5元，花费（元）． 所以，选用A型材料最省钱，要用36元． 题型2.全等三角形的概念 1．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 2．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空． 【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点． 【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容． 3．如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】 对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】略 题型3.全等三角形的性质 1．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 2．如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 3．如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再利用三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的差得到，再求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型4.将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 3．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 【答案】 如图所示： 【分析】此题主要考查全等形，理解全等形的概念是解题关键． 直接利用全等图形的性质来构造图形． 【详解】略 题型5.尺规作图——作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到． 【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形． 故选：C． 2．已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 3．已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【答案】 如图：即为所作． 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】略 题型6.用SSS证明三角形全等 1．如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：A． 2．如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是__________在或选填 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：在与中， ， ， 故答案为：． 3．如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 题型7.用SSS间接证明三角形全等 1．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 2．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为__________ 【答案】41° 【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF(SSS)， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°， 故答案为：41°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 3．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， 则，即， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】略． 题型8.全等的性质和SSS综合 1．如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：A． 2．如图，已知，，，则图中有______对全等三角形，它们是______． 【答案】 ， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据已知利用，分别证明，，即可求解． 【详解】解：在与中， ，，， ， ， ， ， 在与中， ∵，，， ， 图中全等的三角形有对，它们分别是，． 故答案为：，，． 3．七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点标上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 在和中， ∵，第一步 ∴，第二步 ∴，第三步 ∴平分，第四步 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等 (2)证明：在和中 ∵，，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可； （2）首先证明出，得到，即可得到平分． 【详解】（1）解：小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2） 略 题型9.用SAS证明三角形全等 1．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴． 2．如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴判定的理由是． 故答案为：． 3．如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】直接使用“边角边”的判定定理证明全等即可． 【详解】略 题型10.用SAS间接证明三角形全等 1．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 2．如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 故答案为：． 3．如图，，且．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，再根据证明即可． 【详解】略 题型11.全等的性质和SAS综合 1．如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据O为和的中点，且即可判定，即可求得的长度． 【详解】解：连接，， ∵，的中点连在一起， ∴，， ∵， ∴， 即， 故． 2．如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 【答案】12 【分析】先利用“”SAS定理证明，于是得到，然后求的周长即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则的周长为． 3．如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 题型12.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析被墨迹污染后的三角形剩余部分的特征，并结合全等三角形的判定定理来判断． 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 2．如图，已知，若用“”证明，还需要加上条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：AAS． 根据“角角边”的方法判定即可得到答案． 【详解】解：添加条件， 在和中， ∴ 故答案为：． 3．如图，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，再利用全等三角形的性质证明出结论． 【详解】略 题型13.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 【答案】①②③ 【分析】由“”可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：平分， ， ，， ， 又， ， ，，， 平分，故①②③正确． 3．如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【分析】证明， 即可得证． 【详解】略 题型14.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 2．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 题型15.添加条件使三角形全等 1．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 2．如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加，则， ∴． 3．如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1) 解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； (2) (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可； （3）先根据全等三角形的性质得到，再由线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型16.灵活选用判定方法证全等 1．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【详解】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 2．如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 3．如图，，；有如下条件：①；②． (1)从①②中选一个作为已知条件，求证：； (2)若，，求点到点的距离． 【答案】(1) 选择①， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 选择②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)8 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质． （1）选择①，根据可证明；选择②，根据可证明； （2）根据平行线的性质得，再由，得是等边三角形，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即点到点的距离为8． 题型17.结合尺规作图的全等问题 1．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 【答案】52° 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，OD=OE=OF，EF=DE， ∴△ODE≌△OFE（SSS）， ∴∠EOD=∠EOF=26°， ∴∠BOD=2∠AOB=52°， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【答案】①利用刻度尺在、上分别截取，②连接，利用刻度尺作出的中点F，③作射线，则为的平分线．    【分析】利用证明，可得结论． 【详解】解：由作图可知： ，，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答． 题型18.连接两点构造全等三角形 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【详解】在中，，，， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； 则， 若时， 则， ∵， ∴， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明． 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 3．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【详解】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 题型19.倍长中线模型 1．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 2．在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 【答案】 【分析】如图，延长到E，使，连接，证明，得到，在中，，即可求出答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，在三角形中，若，，延长到E，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 3．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）略 （3）略 题型20.其他模型 1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 2．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，已知△ABC，在BC的延长线上取一点D使得AD＝AC． （1）在AC左侧，求作点E，使得AE＝AB，CE＝DB，连接AE、CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论．） （2）求证：∠EAB＝∠CAD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由题意直接根据要求作出图形即可； （2）根据题意先证明△ABD≌△AEC（SSS），可得出结论． 【详解】解：（1）如图，线段AE，CE即为所求作． （2）证明；在△ABD和△AEC中， ， ∴△ABD≌△AEC（SSS）， ∴∠BAD＝∠EAC， ∴∠EAB＝∠CAD． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型21.证一条线段等于两条线段和差 1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 3．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1) 证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． (2) 解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）略 （3） 略 题型22.全等三角形综合问题 1．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及动点问题的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合动点的运动路程与速度、时间的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设运动时间为秒，则，，， ①若≌， 则，， 即 解得； ②若≌， 则，， 即 解得 故或． 故选：C ． 2．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 【答案】5或9或14 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】①当E在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意； ②当E在射线上，时，，如图1所示， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在射线上，时，，如图2所示， ， 点的运动时间为秒； 故答案为：5或9或14． 3．（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． 【答案】（1）解：第一步错误，正确的证明过程如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：这两个三角形全等，理由： 如图所示，过点作于点，过点作于点， ． ∴， 又， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据等边对等角得到，，则，得到，运用边角边即可求证，由全等三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，证明，得，则，运用边角边即可求证． 【详解】解：（1）∵不能运用“边边角”证明两个三角形全等， ∴证明中第一步错误， （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 2．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理以及图形，分析求解，即可解题． 【详解】解：，， 的依据是“”， 故选：A． 4．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，则由作图可得，，证明，再根据全等三角形性质求解． 【详解】解：如图，连接，，， 由作图可得，，， ∵， ∴， ∴． 5．如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合角平分线以及平角，得到，接着证明，进一步证明，，最后利用全等三角形的对应角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 _______．    【答案】42 【分析】由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：42． 【点睛】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 9．如图，在中，，、是的角平分线，，，，则_______；__________ 【答案】 /度 4 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理，求出的度数；在上取点F使得，则，再证明，得到，进一步得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵，、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 如图，在上取点F使得， 则． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 10．如图，在中，平分，，，，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题 11．根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【分析】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【详解】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 12．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3) 解：，证明如下： 如图，在上取点使得，连接， 由（2）得，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据轴对称的性质得到，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，最后利用角的和差即可求解； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点使得，连接，由（2）得，，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴，， ∵点A关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：不发生变化，如图，设与交于点， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的大小不发生变化，且； （3）略 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 15．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形、三角形全等的判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.全等三角形的性质立足于图形完全重合的本质。已知两个三角形全等，就可以推得对应边、对应角相等，多用于几何计算与推导。 2.三角形全等的判定以边角的对应关系为依据，在未知三角形是否全等时，利用判定定理证明两个三角形全等，是几何证明的核心工具。 3.性质与判定互为逆向推理。性质由全等推出边角等量关系；判定由边角条件推证三角形全等。本章全部习题都围绕这一组正反推理展开，是后续线段、角度等量转化的重要基础。 ✅本节需要掌握两项核心能力：利用全等性质完成边角等量转化；利用 SSS、SAS、ASA、AAS 证明三角形全等。学习重点是把握各判定定理条件，规避 SSA、AAA 等无效判定的陷阱，学会挖掘图形隐含条件，养成规范严谨的几何推理习惯。 ✺学习目标 1.理解全等图形与全等三角形的定义，能够准确识别对应顶点、对应边、对应角，掌握全等符号的规范书写。 2.掌握全等三角形的性质，能够运用性质求解线段、角度，完成基础几何推理。 3.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 四种三角形全等判定定理，厘清各定理的适用条件，认清 SSA、AAA 不能判定三角形全等。 4.能够挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件，合理选用判定定理完成全等证明。 会借助全等实现线段、角的等量转化，熟悉几何证明的书写格式，提升逻辑推理能力 ✺题型归纳 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念 题型3.全等三角形的性质 题型4.将已知图形分割成几个全等图形 题型5.尺规作图——作三角形 题型6.用SSS证明三角形全等 题型7.用SSS间接证明三角形全等 题型8.全等的性质和SSS综合 题型9.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合 题型12.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型13.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型14.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型15.添加条件使三角形全等 题型16.灵活选用判定方法证全等 题型17.结合尺规作图的全等问题 题型18.连接两点构造全等三角形 题型19.倍长中线模型 题型20.其他模型 题型21.证一条线段等于两条线段和差 题型22.全等三角形综合问题 题型23.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、全等三角形 1.全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形形状相同、大小相等。 2.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 【提示】图形经过平移、翻折、旋转，仅位置发生改变，形状和大小保持不变，变换前后的三角形全等。 3.书写规范：全等符号写作≌，书写全等三角形时，必须将对应顶点写在对应位置，以此确定对应边与对应角。 例：△ABC≌△DEF，则点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应。 【提示】公共边一定是对应边；公共角、对顶角一定是对应角。 4.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 几何语言：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 【拓展】全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长相等，面积相等。该拓展结论考试可直接使用。 知识点二、三角形全等的四大判定定理 ▲证明三角形全等，至少要有一组对应边相等；判定条件必须是对应相等，仅仅边角相等但不对应，不能证明全等。直角三角形HL判定安排在后续课时，本节不涉及。 1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3.ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（边必须是两角的公共夹边）。 4.AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 ▲隐含条件与判定选用技巧 1.图形常见隐含相等条件：公共边相等、公共角相等、对顶角相等，是解题中经常用到的隐藏条件。 2.判定方法选择思路 （1）已知两组边对应相等：优先选用 SSS，其次寻找两边夹角使用 SAS。 （2）已知两组角对应相等：再寻找任意一组对应边相等，选用 ASA 或者 AAS。 （3）已知一组边与一组角对应相等，可以推导得到另一组角相等，或是补齐该角的夹边条件。 ★重难点与易错提示 1.书写全等三角形时，对应顶点字母顺序不可随意调换，防止对应边、对应角识别出错。 2.使用 SAS 证明全等，务必确认角是两边的夹角，答题禁止使用 SSA、AAA 作为全等判定依据，否则会直接造成失分。 3.分清 ASA 与 AAS 的区别，不可混淆夹边与对边。 4.证明过程的全部条件，必须来自题干或者图形，不能自行添加题目没有给出的边角关系。 ☘标准解题思路 1.需要证明线段相等或者角相等时，可以先证明线段、角所在的两个三角形全等，再利用全等三角形的性质推导出结果。 2.常规解题步骤：梳理题干已知条件，挖掘图形隐含条件，选择合适判定定理证明三角形全等，最后得出所求结论。 3.若直接证全等条件不足，可以利用角的和差、线段和差、平行线得到的角关系，先补齐边角条件，再完成全等证明。 ✺题型精讲 题型1.图形的全等 1．下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 3．玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？    题型2.全等三角形的概念 1．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 3．如图，已知，试找出对应边，对应角． 题型3.全等三角形的性质 1．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，，点在线段上，，，则________． 3．如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 题型4.将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 3．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 题型5.尺规作图——作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 2．已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为___________．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 3．已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 题型6.用SSS证明三角形全等 1．如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 2．如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是__________在或选填 3．如图，，，点是线段的中点．求证：． 题型7.用SSS间接证明三角形全等 1．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为__________ 3．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 题型8.全等的性质和SSS综合 1．如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则图中有______对全等三角形，它们是______． 3．七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点标上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 在和中， ∵，第一步 ∴，第二步 ∴，第三步 ∴平分，第四步 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 题型9.用SAS证明三角形全等 1．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 3．如图，，．求证：． 题型10.用SAS间接证明三角形全等 1．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 2．如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为___________． 3．如图，，且．求证：． 题型11.全等的性质和SAS综合 1．如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 3．如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 题型12.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，若用“”证明，还需要加上条件是_____． 3．如图，．求证：． 题型13.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 3．如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 题型14.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 题型15.添加条件使三角形全等 1．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 3．如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 题型16.灵活选用判定方法证全等 1．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 2．如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 3．如图，，；有如下条件：①；②． (1)从①②中选一个作为已知条件，求证：； 题型17.结合尺规作图的全等问题 1．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线．若，则的度数为______． 3．如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    题型18.连接两点构造全等三角形 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 3．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 题型19.倍长中线模型 1．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 3．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 题型20.其他模型 1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 2．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 3．如图，已知△ABC，在BC的延长线上取一点D使得AD＝AC． （1）在AC左侧，求作点E，使得AE＝AB，CE＝DB，连接AE、CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论．） （2）求证：∠EAB＝∠CAD． 题型21.证一条线段等于两条线段和差 1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 2．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    3．如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 题型22.全等三角形综合问题 1．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 2．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 3．（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 5．如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 7．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 8．如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 _______．    9．如图，在中，，、是的角平分线，，，，则_______；__________ 10．如图，在中，平分，，，，则______． 三、解答题 11．根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 12．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 13．如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 14．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 15．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $