第三章 《图形的相似》综合练习（2）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版初中数学九年级（上） 第三章图形的相似 综合练习(2) 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1.下列命题中，正确的是() A.两个等腰三角形一定相似 B.两个等腰梯形一定相似 C.两个菱形一定相似D.两个正方形一定相似 【答案】 D 【解析) 根据相似图形的判定，逐项判断即可求解】 【解答】 解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意， 故选：D 2.已知2x=3yy≠0，则下面结论成立的是（) A.X=3 B.=2 c.=2 D.X-y y2 3 y y3 23 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键， 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论 【解答】 解：A、由×=3得2x=3y故选项符合题意 y2 B、由-2得y6故选项不符合题意 3 y C、由￥-3得3x=2y. 故选项不符合题意， D、由=得3x=2y,故选项不符合题意. 23 故选：A 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6,点E,F分别在AD,BC边上，且EF⊥BC,若矩形ABFE~矩形 DEFC,且面积比为1：9，则AE长为() B A.1B.2 C.3 D.18 【答案】 B 【解析】 本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键。根据相似图形的对应边成比例， 面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案 【解答】 解：，四边形ABCD为矩形， .∴.CD=AB=6, .矩形ABFE~矩形DEFC,且面积比为1：9， ABAE1 DE DC 3' 6=AE=1 DE63' ∴.DE=18,AE=2. 故选：B 4.如图，四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形，若OB:OB=1:2,则四边形ABCD 与ABCD的周长比是() B A.1:2B.1:4C.1:2 D.1:3 【答案】 A 【解析】 本题考查了位似图形的定义，相似三角形的判定及性质，相似多边形的性质；由位似图形的定义得四边 形ABCD四边形ABCD,由相似多边形的性质得OA:OA口'=OB:OB=1:2,可判定 △AOB~△AOB, 再由相似多边形的性质即可求解；理解位似图形的定义，掌握相似多边形的性质是 解题的关键 【解答】 解：：四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形 ∴.四边形ABCD~四边形ABCD,OA:OA=OB:OB=1:2, .∠AOB=∠AOB, ∴.△AOB~△AOB, .∴.AB:AB=1:2, 心 C四边形ACAB=1 C四边ABAB2’ 故选：A 5如图.BC|DE. AE_2 AC 3 下列结论错误的是() D A A.△ADE~△ABC B.AD=2 BD C.2BC=3DE D.SAADE_2 SAABC 3 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：BC‖DE ∴.∠B=∠D,∠C=∠E .∴.△ADE~△ABC,故A正确 AD_DE_AE_2 :AB BC AC3 AD_2 BD5 2BC=3DE,故B、C正确 SAADE AE 4,故D错误 SAABC 9 4 6.大自然中到处可见黄金分割的美.如图是一种海螺，点C为线段AB的黄金分割点AC<BC,已知 AB=10cm,则BC长为() B A15-5)cmB15+6cmC15+55cmD155-5cm 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了黄金分新：报据题意得到比例关系BC_5-1将AB=10en代入，即可解决本题 AB 2 【解答】 解：.'点C为线段AB的黄金分割点(AC<BC),AB=10cm BC=5-1AB=5-L×10=51R5-1=55-51cm 2 2 BC的长为55-5lcm. 故选：D。 7如图.矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3:4,l2,11上·若直线L1l2‖l3‖l4且间距相等，AD交直 线，于点G,AB=4,BC=3则AC的值为() CD D 12 A 6 B 3 5 C. 0 V15 4 2 15 【答案】 A 【解析】 由矩形的性质得出CD=AB=4,AD=BC=3,根据平行线分线段成比例定理：可得AG=二AD=3 2 即可求解 【解答】 解：如图，过点D作DF⊥13于点F,交L2于点E D G E B 四边形ABCD是矩形 .∴.CD=AB=4,AD=BC=3. l2l3, ·AG-EF_1 AD FD 2 AG=AD- 3 AG 2_3 CD-4-8 8.如图.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移，点A,D的对 应点分别为点E,F,线段EF分别与OA,OD交于点G,H.当点G是OA的中点时， GH的值为 AB 6 D G H O A 4 【答案】 A 【解析】 由四边形ABCD是正方形得AD=AB，,由点G是OA的中点得OA=2OG,由平移得AD∥EF,进而得 △OGH∽△OAD, 得出GH-0G-1 AD OA 2 代换即可求出G过=L AB 2 【解答】 解： … 四边形ABCD是正方形， .AD=AB 点G是OA的中点 OA=20G. 由平移得AD∥EF ∴.△OGH∽△OAD GH OG OG1 AD OA 20G 2 又AD=AB GH=1 AB 2 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm,点P从点C出发，以2cm/s的速度沿 着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终 点时，另一个点随之停止.经过（)s后，△PCQ与△ABC相似· > A40B40或25 13 13或7 c智吗 D.25或5 7 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键·设经过×秒后两三角 形相似.分两种情况分别计算，①若APCQ一44CB.得AC-PC ②若△PCQ~△BCA,得 BC CQ BC_PC AC CQ 代入用x表示的线段计算即可， 【解答】 解：设经过x秒后△PCQ与△ABC相似， .∠C=∠C 若APCQ~AACB 则需AC-PC BC CQ :88 10_-2x 解得x=40 13 △PCQ~△BCA. 则需 BC_PC AC CQ :08× 8= 2x 解得x=16 7 经过8秒或9物AP0Q与ABC相假. 13 故答案为： 40或 13 7 1O.如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF 连接AC、AE、AF,过点E作EG⊥AF于点G,分别交AB、AC、DC于点M、H、N.则下列结论： ①MN=AF;②∠EAH=∠EHA:③EN·BF=EC~HN;④若BF:FC=3:4.则tan∠AC=2 5 其中正确的结论是（) D E B F A.①23 B.①2④ C.①23④ D.①3④ 【答案】 C 【解析】 证明△AEB≈△AFB SAS),从而可得∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=&,进而可得 ∠EAH=∠AHE,从而可得②正确，过点B作BK‖EN,交CD于点K,构造 9 AABF≈△BCKAAS]结合四边形BMNK是平行四边形可得MN=BK=AF,可得①正确，再利用角关 系证明△NEC~△BAF,△AEC~△HNC,可得EN:BF=CN·AF=CN·AE=ECHN,从而得出结论③ 正确，过点F作FP⊥AC,设BF=3x,由BF:FC=3:4可得FC=4x,解三角形求出PF=2V2xAP=5 2x,从而求出an∠FAC=PE=2 ,故结论④正确. AP 5 【解答】 解：如图1，过点B作BK‖EN,交CD于点K, M Gh E BF 在正方形ABCD中 .AB=BC=CD=AD∠ABC=∠BCD=90°∠BAC=∠ACB=∠ACD=45°ABCD ∴.△ABC、△ADC是等腰三，有 又，BE=BF,AB=AB, ∴.△AEB≈△AFB SAS, ∴.AE=AF,∠AEF=∠AFE,∠BAE=∠BAF, ∴.△AEF是等腰三， ∵EG⊥AF, .∴.∠NEC+∠AFE=90°， 又：∠BAF+∠AFE=90°， ∴.∠NEC=∠BAF, BK‖EN, .∴.∠KBC=∠NEC,∠BKC=∠ENC, .∴.∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE, 设∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=a, .'∠EAH=∠BAE+∠BAC=a+45°，∠AHE=∠HEC+∠ACB=a+45°， .'.∠EAH=∠AHE,故结论②正确： 10 ∴.EA=EH,即△AEH是等腰三角 在△ABF和 ，L AB=BC ∠KBC=∠BAF ∠ABF=∠BCK ∴.△ABF=△BCKAAS, .∴.BK=AF,∠CKB=∠AFE=∠AEF=90°-a BK‖EN,AB‖CD, 四边形BMNK是平行四边形 ∴.MN=BK, '.MN=AF,故结论①正确 .·∠NEC=∠BAF,∠BCD=∠ABC=90°， ∴.△NEC~△BAF, EN CN AF BE' ∴.EN·BF=CN·AF, .:∠EAH=∠AHE=∠CHN=45°+，∠ACE=∠ACN=45°， .∴.△AEC~△HNC, ·AE_EC ·HNNC, ∴.CN·AE=EC·HN, .AE=AF, ∴.CN·AF=EC·HN, ∴.EN·BF=EC·HN,故结论③正确 11 0 M Gh E B 图2 设BF=3X,由BF:FC=3:4可得FC=4X,AB=BC=7X 设BF=3x由BF:FC=3:4可得FC=4xAB=BC=7X, ∴.AF2=AB+BF2=7x2+3x2=58x2, PF-FC.sin 2 ACB=4x.=2x ∴.AP=√AF2-PF2=V58x2-8X2=52x, an∠AC=P咒22x-2故结论④正确， AP 52x 5 综上所述：正确结论有①②③④ 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11.如果在比例尺为1：200000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离 是68千米. 【答案】 68 【解析 本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解. 【解答】 解：设A、B两地的实际距离为Xcm 则：3.4：x=1:2000000 解得x=6800000cm=68千米 12 A、B两地的实际距离为68千米 故答案为：68 12.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 与△ABC成位似关系，则位似中心的坐标为一(4,5) 8 6 5 4 3 A O12345678910x 【答案】 (4,5) 【解析) 对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解。 【解答】 解：如图，AA与CC的交点D即为位似中心，坐标为(4,5)， 8 7 6 5 2 A O12345678910x 3.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出 来的音调最和谐、最悦耳.如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm,千斤线绑在点B处，则B点下方的琴 弦BC长为—405-1—am 13 【答案】 409V5-1 【解析) 本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键.根据黄金分割的定义即可解决问题， 【解答】 二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦BC长为X, 且二胡的琴弦AC长为80cm 则有 BC=x-5-1 AC802 解得 x=4095-1cm, 故答案为： 4015-1 14.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC上靠近B的三等分点，BD与AE交于点F,若AF=FE, 则入=3一· E 【答案】 3 14 【解析】 过点E作EH//AC,交BD于点H,证明△BEH~△BCD△EFH~△AFD,利用三角形相似的性质 代换证明即可： 【解答】 解：过点E作EHIIAC,交BD于点H D 在△ABC中，D是AC的中点∴.AD=CD, ·E是BC上靠近B的三等分点 BEBC .EH‖CD, .∴.△BEH~△BCD, EH_BE_1 ·CD-BC3' .∴.CD=3EH, ∴.AD=CD=3EH, EH AD, ∴.AEFH~△AFD, FE_EH_1 AF AD 3 ∴.AF=3FE, .AF=λFE, ∴.FE=3FE, ∴.1=3 15 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D为△ABC内一动点，且满足CD=4 则AD+名BD的最小值为 3 【答案】 8/10 3 【解析】 此题考查相仪三角形的判定和性质等知识如图。在CB上取一点T使得CT=号连接Dr、AT。正明 △DCT一△BCD,推 DT-CD=?可得DT=BD.推出AD+BD=AD+DT≥AT,求出 DB CB 3 AT即可得到结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题， 【解答】 解：在CB上取-点T,使得CT=9连接DT,AT,如图所示 B D .'CD=4,CT= 8 CB=6, 16 .∴.CD2=CT·CB ·CD=CB ·CTCD .'∠DCT=∠BCD ∴.△DCT~△BCD DTCD_2 ·DBCB3 Dr号0 AD+BD=AD+DT≥AT 在RE△ACT中，AC=8.CT=8 3 A-ac- _8V10 3 AD+2BD≥810 3 3 AD+号6D的最小值为80 3 故此题答案为 810 3 三、解答题（本题共计10小题，共计90分） 16(8分)已知线段a、b、c,且9=b=9 345 (1)求+b的值： b (2)若线段a、b、c满足a+b+c=60,求a、b、c的值. 【答案】 17 a=15,b=20,c=25 【解析】 (1)设a=3k,b=4k,c=5k.代入计算即可 (2)由(1)中的结论构建方程求出k即可. 【解答】 (1)解：设a=3k,b=4k,c=5k 则： a+b=3k+4k7k_7 (2)解：.a+b+c=60, ∴.3k+4k+5k=60, ∴.k=5, .∴.a=15,b=20,c=25 17.(8分)已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A,B,C的坐标分别为1,0,4，-1： 3,2'AA1B,C,与ABC是以点P为位似中心的位似图形 (1)直接写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC相似比 为2：1； (3)若点Ma,b为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为一(2a,-2b】 【答案】 18 (0,-2) 见解析 -2a,-2b 【解析】 (1)利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； (2)根据点O为位似中心，相似比为2：1作图即可； (3)利用位似图形的性质求解即可： 【解答】 (1)解：如图，连接A1A,B1B,C1C,并延长相交于点P, ∴.P0,-2; (2)解：如图，△A2B2C2即为所求； (3)解：由题意得，点M在△A2B2C,内的对应点的坐标为(-2a,-2b)；故答案为：(2a,-2b)· 18.(6分)如图，在△ABC和△ADE中，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：一∠B=∠D(答 案不唯-）一，使△ABC一△ADE,并说明理由· 19 【答案】 ∠B=∠D(答案不唯一)，理由见解析 【解析】 本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角 也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【解答】 解：添加条件∠B=∠D,理由如下 ∠1=∠2 ∴.∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAC=∠DAE 又，∠B=∠D ∴.△ABC~△ADE· 19.(8分)AB‖CD.AC与BD交于点E,且AB=8,AE=4,AC=16,BE=5.5. B (1)求CD的长； (2)求BC的长 【答案】 24 11 【解析) (1)根据相似三角形的判定得出△CDB~△ABE,进而利用相似三角形的性质解答即可； 20 (2)根据相似三角形的判定得出△ABE~△ACB,进而利用相似三角形的性质解答即可. 【解答】 (1)解：.AE=4,AC=16. .∴.CE=AC-AE=16-4=12; AB//CD, .∴.△CDB~△ABE, 器柒3 .CD=ABCE=8×12=24; AE 4 ·AE-AB AB AC .∠A=∠A1 .△ABE~△ACB ABBE ·ACBC’ .'AB=8,AE=4,AC=16,BE=5.5, ·8=5.5 ·16BC’ .∴.BC=11. 20.(8分)如图，已知DE//BC,FE/1CD D E (1)若AF=3,AD=5,AE=4.求CE的长； 21 (2)求证： AF_AD FD DB 【答案】 CE-3 见解析 【解析】 (1)先末出DF=AD-AP=5-3=2.根据FE11CD.得出AE=A二 代入数据求出结果即可 DE EC (2)根据DE1/BC,得出AD=AE 根据FE11CD,得出A正=AE 求出结果即可 DB EC “FDEC 【解答】 (1)解：AF=3,AD=5, ∴.DF=AD-AF=5-3=2, FE//CD AF AE ·DE EC 即34 2 EC .:CE=8 (2)证明：，DE//BC AD AE DB EC FE//CD. .AFAE ·FDEC AF_AD ·FDDB 21.(10分)如图，在△ABC中，EF/1CD,DE‖BC 22 D B (1)求证： AFAD FD DB (2)已知AB=45,AD:DB=2:1,求FD的长 【答案】 见解析 10 【解析 (1)由EF/CD, 求得AF=AE FD FC 由DE引*得识瓷 据此即可得到A5-AD FD DR (2)设FD=X, AE=AD求得AF=2XAD=3x,再根据AD:DB=2:1可求得BD=3X再根据 FD DB AB=45,列式计算即可求解. 【解答】 (1)证明：EF/1CD, “品能 .DE‖BC, .AD=AE ·DBEC' :00B AF AD (2)解：设FD=x “悟 ,AD:DB=2:1, 23 AE=2, FD .∴.AD=3X, AD:DB=2:1, BD=3x, AB=45, .3x+3 X=45, 解得x=10, ∴.FD的长为10 22.(10分)如图，在·ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，连接AE,BF,AE平分∠BAD CE=DF. E (1)求证：AE⊥BF; (2)若AF=4,四边形ABCD与四边形CEFD相似，求CE的长. 【答案】 详见解析 2V5-2 【解析】 (1)先证明四边形ABEF是平行四边形，然后证明AB=BE,即可得到□ABEF是菱形，再由菱形的性质 证明即可 (②)根据菱形可得AB=EF=BE=AF=4,再由四边形ABCD与四边形CEFD相似可得A5=BC CE EF 故 44+CE 再解方程即可 CE 4 【解答】 24 (1)证明：，四边形ABCD是平行四边形 .AD‖BC,AD=BC. CE=DF, ∴.AF‖BE,AF=BE, ∴.∠AE=∠BEA,四边形ABEF是平行四边形 .AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠FAE, ∴.∠BAE=∠BEA, ∴.AB=BE, .∴.口ABEF是菱形 ∴.AE⊥BF (2)解：∵四边形ABEF是菱形 ∴.AB=EF=BE=AF=4, ·.四边形ABCD与四边形CEFD相似， .AB_BC ·CEEF 4_4+CE 4’ ∴.CE2+4CE-16=0, 解得CE=2V5-2或CE=-2V5-2(不符合题意，舍去) ∴.CE的长为2V5-2 23.(10分)在平面直角坐标系中，已知OA=10cm,OB=5cm,点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s 的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用ts表示移动 的时间0≤t≤5 B (1)用含t的代数式表示：线段PO=_2tcm;OQ=(5-t)_cm 25 (2)求当t为何值时，四边形APQB的面积为19cm2. (3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值 【答案】 2t,(5-t) 当t=2或3时，四边形APQB的面积为19cm2 当t=5或1时：4P0Q与A40B相似 【解析】 (1)由运动知，OP=2tcm,OQ=5-tcm,得出结论； (2)根据题意，列出方程，解方程即可求解； (3)分△POQ~△AOB或△POQ~△BOA两种情况，得出比例式.建立方程求解，即可求出答案. 【解答】 (1)解：由运动知，OP=2tcm,OQ=5-tcm, 故答案为：2t,(5t): (2)解：，S四边8aAB0-S4PO0, 19-x10×5×2×15-d 解得：t=2或3， .∴.当t2或3时，四边形APQB的面积为19cm2。 (3)解：.‘△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90 ∴.△POQ~△AOB或MPOQ~△BOA, .0P=00或P=0 ·OA OB OB OA’ 018品则=55 当0P=0Q 105, 26 当P=00时则2t-5t OB OA 510 ∴.t=1, :当仁5或1时AP0Q与4A0B相似 2 24.(10分)已知：如图，在梯形ABCD中，AB‖CD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形，DE//BC DE与AC交于点E,∠ADB=2∠DBC. D (1)求证：△ADE~△DBC; (2)求证：点E是线段AC的黄金分割点. 【答案】 见解析 见解析 【解析 (1)根据△ABC为等边三角形，AB‖CD,得到∠DCB=∠1+∠3=120°由DE//BC,得到 ∠EDC=180'-∠DCB=180'-120°=60，∠AED=∠EDC+∠3=120由DE/BC,得到 ∠5=∠6结合∠ADB=2∠5得到∠5=∠4由相似三角形的判定方法即可求解； (2)根据题意可得△CDE为等边三角形，即CE=DE=CD,由△ABC为等边三角形，得到AC=BC,根 据AADE~ADBC,得到A9=DE即AS=EC由此即可求解， CD BC CE AC 【解答】 (1)证明：如图所示 27 46 .'△ABC为等边三角形 ∴.∠1=∠2=60°. AB‖CD, .∠3=∠2=60 .∴.∠DCB=∠1+∠3=120°. DE//BC. .∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°， .∴.∠AED=∠EDC+∠3=120°. ∴.∠AED=∠DCB, DE//BC, .∴.∠5=∠6， .:∠ADB=2∠5，且∠ADB=∠4+∠6， ∴.∠5=∠4， .△ADE~△DBC (2)解：.∠3=∠EDC=60 ∴，△CDE为等边三角形，即CE=DE=CD ·.·△ABC为等边三角形 ∴.AC=BC, ·.·△ADE~△DBC AEDE CD BC' ·AE-E ·CEAC ,EC2=AE·AC, ∴，点E是线段AC的黄金分割点， 25.(12分)如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）.DE∥AB交AC于点 F,CE∥AM,连接AE. 28 D M(D) M M 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D与M重合时，求证：AB=ED (2)如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； (3)如图3，延长BD交AC于点H,若BH LAC,且BH=AM.当FH=V5.DM=6时，求DH的长 【答案】 见解析； 平行四边形、见解析； DH=1+7 【解析】 (1)由平行线的性质可得∠EDC=∠ABM,∠ECD=∠ADB,由“ASA"可证△ABD=△EDC 即可得出结论： (2)先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助(1)的结论即可得出结论： (③)先判南出M|BH。M=BH,进而利用直角三角形的性质即可得出结论，设DH=X,则 AH=3x AD=2x 推出 AM=6+2x BH6+2x,由四边形ABDE是平行四边形，推出DF ‖AB,推出 HF HD 3x HA HB 可得3x6+2x· 解方程即可 【解答】 (1)DE‖AB, .∴.∠EDC=∠ABM, .CE‖AM, 29 .∴.∠ECD=∠ADB, 'AM是△ABC的中线，且D与M重合 ∴.BD=DC ∴.△ABD≈△EDC ASA .∴.AB=ED; (2)四边形ABDE是平行四边形 理由如下：如图2，过点M作MGDE交CE于G, E G 图2 .CE‖AM, ∴.四边形DMGE是乎行 ∴.ED=GM,且ED‖GM, 由(1)知，AB=GM, ∴.AB=DE, 又.ABDE, ∴.四边形ABDE是平行四边形 (3)如图3取线段CH的中点I,连接Ml, 30 A M 图3 .BM=MC, ∴.MI是△BHC的中位线 MB,M=号B班， .BH⊥AC,且BH=AM, ∴.MI=AM,MI⊥AC, .∴.∠CAM=30 设DH=X,则AH=V5xAD=2X, ∴.AM=6+2X, .'四边形ABDE是平行四边形 .∴.BH=6+2x, .DF AB, 3 X ·3x6+2x 解得x=1+V7或1-V7(负值舍去) HF HD 。 HA HB ∴.DH=1+V/7 31 北师大版初中数学九年级 (上) 第3章 图形的相似 综合练习（2） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.下列命题中，正确的是（       ） A.两个等腰三角形一定相似 B.两个等腰梯形一定相似 C.两个菱形一定相似 D.两个正方形一定相似 2.已知，则下面结论成立的是（       ） A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（       ） A.1 B.2 C.3 D.18 4.如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（       ） A. B. C. D. 5.如图，，，下列结论错误的是（        ） A. B. C. D. 6.大自然中到处可见黄金分割的美．如图是一种海螺，点为线段的黄金分割点，已知，则长为（       ） A. cm B. cm C. cm D. cm 7.如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（        ） A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（        ） A. B. C. D. 9.如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（       ）s后，与相似． A. B.或 C.或 D.或 10.如图，在正方形中，点在边上(不与点、重合)，点在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；② ； ③；④若，则．其中正确的结论是（        ） A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①③④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是________千米． 12.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为________． 13.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 14.如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则________． 15.如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为      ． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 17.(8分) 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 18.（6分）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由． 19.(8分) ，AC与BD交于点E，且，，，． （1）求CD的长； （2）求BC的长． 20.(8分) 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 21.(10分) 如图，在中，，． （1）求证： （2）已知，，求的长． 22.(10分) 如图，在中，点E，F分别在边上，连接，平分，． （1）求证：； （2）若，四边形与四边形相似，求的长． 23.(10分) 在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、同时出发，用表示移动的时间． （1）用含t的代数式表示：线段       ；   ． （2）求当t为何值时，四边形的面积为． （3）当与相似时，求出t的值． 24.(10分) 已知：如图，在梯形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 25.(12分) 如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版初中数学九年级 (上) 第3章 图形的相似 综合练习（2） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.下列命题中，正确的是（       ） A.两个等腰三角形一定相似 B.两个等腰梯形一定相似 C.两个菱形一定相似 D.两个正方形一定相似 2.已知，则下面结论成立的是（       ） A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（       ） A.1 B.2 C.3 D.18 4.如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（       ） A. B. C. D. 5.如图，，，下列结论错误的是（        ） A. B. C. D. 6.大自然中到处可见黄金分割的美．如图是一种海螺，点为线段的黄金分割点，已知，则长为（       ） A. cm B. cm C. cm D. cm 7.如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（        ） A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（        ） A. B. C. D. 9.如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（       ）s后，与相似． A. B.或 C.或 D.或 10.如图，在正方形中，点在边上(不与点、重合)，点在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；② ； ③；④若，则．其中正确的结论是（        ） A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①③④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是________千米． 12.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为________． 13.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 14.如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则________． 15.如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为      ． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 17.(8分) 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 18.（6分）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由． 19.(8分) ，AC与BD交于点E，且，，，． （1）求CD的长； （2）求BC的长． 20.(8分) 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 21.(10分) 如图，在中，，． （1）求证： （2）已知，，求的长． 22.(10分) 如图，在中，点E，F分别在边上，连接，平分，． （1）求证：； （2）若，四边形与四边形相似，求的长． 23.(10分) 在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、同时出发，用表示移动的时间． （1）用含t的代数式表示：线段      ；        ． （2）求当t为何值时，四边形的面积为． （3）当与相似时，求出t的值． 24.(10分) 已知：如图，在梯形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 25.(12分) 如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 学科网（北京）股份有限公司 $