第3章 图形的相似单元复习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学“图形的相似”单元复习同步练，通过基础巩固、中档综合、探究创新三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|相似判定、位似性质等单一知识点|以单选（如第1题相似命题判断）、填空（如第13题相似比计算）为主，夯实概念理解| |中档层|图形变换（折叠、旋转）与相似综合|结合矩形、正方形等背景（如第15题折叠求GE长），考查推理与几何直观| |综合层|动态几何、新定义问题（如“直等补”四边形）|通过多问解答题（如第21题新定义探究），发展模型意识与创新意识|

第3章 图形的相似 单元复习 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似 2．如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图①，在矩形 中， 、 交于点 ，点 在边 上运动， 于点 ， 于点 ，设 ， ．且 与 满足一次函数关系，其图象如图②所示，其中 ，以下判断中，错误的是（　　） A． 中斜边 上的高为6 B．无论点 在 上何处， 与 的和始终保持不变 C．当 时， 垂直平分 D．若 ，则矩形 的面积为60 4．如图， 中， ， ，点 在 的延长线上，且 连接 并延长，过 作 于点 ，若 ，则 的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，在 中，如果点 是边 的中点，且 ，那么下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ，以点 为位似中心，在点 异侧作 ，使得 与 成位似图形，且位似比为 ，则线段 的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点E是正方形 的边 上的一点，且 ，延长 交 的延长线于点F，则 和四边形 的面积比为（　　） A． B． C． D． 9．如图， 中， ， 是中线， 是 上一点，作射线 ，交 于点 ，若 ，则 （　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（　　） A． B． C．3 D． 11．如图，在矩形 中， ， ，点E在 边上， ，垂足为F．若 ，则线段 的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，在矩形 中，E是 上的一点， 是等边三角形， 交 于点F，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在 中，D为BC上一点， ，则 的值为　 　. 14．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则 ，你认为其中正确是　 　（填写序号） 15．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若 ，则GE的长为　 　． 16．如图，已知 ，则 　 　． 17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是　 　. 18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED.其中正确的是　 　.（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 19．如图，四边形 是平行四边形，E是 延长线上的一点，连接 交 于点F.求证： . 20．如图，在锐角 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到 连接 ， 若 的面积为4，求 的面积. 21．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应点F在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点 到直线 的距离为 ． ①求 的长． ②若M、N分别是 、 边上的动点，求 周长的最小值． 22．如图，在菱形ABCD中， ， ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使 ，且CF、DE相交于点G （1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； （2）当 时，求AE的长； （3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度． 23．如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F. （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　 　； （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示） （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长. 24．如图 （1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证： = . （2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且 = ，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH. （3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且 = ，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意， 故答案为：D. 【分析】根据平行线的判定、矩形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定，逐一进行判断即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，OA=2OD， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：1， ∵△ABC的面积为S， ∴△DEF的面积为 ， 故答案为：C． 【分析】先求出△ABC与△DEF的相似比为2：1，再根据△ABC的面积为S，求解即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A.由图②可得，x＋y＝6，所以当x＝0时，y＝6，即PN的最大值为6，所以Rt△ABD中斜边BD上的高AE为6，故A不符合题意． B.由图②可得，x＋y＝6，所以无论点P在AD上何处，PM与PN的和始终为6，故B不符合题意． C.当x＝3时，y＝3，此时PN＝PM， ∵∠OAD=∠ODA，∠AMP=∠DNP=90°， ∴△APM≌△DPN， ∴点P为AD的中点， ∴等腰三角形AOD中，OP垂直平分AD，故C不符合题意． D.若AD＝10，则直角三角形ADE中，DE＝ ， ∵∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠DAE， ∴∠ABE=∠DAE， 又∵∠AEB=∠AED， ∴ ， ∴ ，即： ，解得：BE= ， ∴矩形ABCD的面积＝2× ×（ ＋8）×6＝75，故D符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据函数图象，勾股定理和相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断求解即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接CF， ∵∠ACB=90°，∠CBA=30°， ∴∠CAB=60°，FC=FA= AB， ∴△AFC是等边三角形， ∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA， ∵BA=2AD， ∴AC=AD=FA， ∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°， ∵BE⊥DC， ∴FC∥BE， ∴△DCF △DEB， ∴ ， ∵BE=3， ∴FC=2， ∴DC= ， ∴ 的面积为 ． 故答案为：C． 【分析】先求出△AFC是等边三角形，再求出△DCF △DEB，最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∵AD∥BC，∠A＝∠AEC， ∴AB＝CE， ∴CE＝CD，故A不符合题意； ∵点E是边AD的中点， ∴AD＝BC＝2AE＝2DE， ∵AD∥BC， ∴△BFC∽△DFE， ∴ ∴BF＝2DF，故B不符合题意； ∵AB＝CE， ∴FC＝2EF， ∴CE＝3EF， ∴AB＝CE＝3EF，故C符合题意； ∵ ，△BFC∽△DFE， ∴S△BFC＝4S△DEF， ∴S△DFC＝2S△DEF， ∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF， ∴S四边形ABFE＝5S△DEF，故D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据平行四边形的性质和 点 是边 的中点，且 ， 对每个选项一一判断求解即可。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ， ∴根据两点距离公式可得 ， ∵ 与 成位似图形，且位似比为 ， ∴ ； 故答案为：A. 【分析】根据题意易得 ，然后根据两点距离公式可得 ，进而问题可求解. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∴ ， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵AE∥DF， ∴∠CGE=∠CHD。∠CEG=∠D， ∴△CEG∽△CDH， ∴ ， ∴ ， ∵AB∥CD， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵AB∥CD，AE∥DF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE， ∵AE∥DF， ∴ ， ∴ ； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵AE∥DF， ∴△BFH∽△BAG， ∴ ， ∵AB FA ∴ ∴D选项错误，符合题目要求． 故答案为：D． 【分析】根据平行线爱你分线段成比例定理得出比例式，再根据需要变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，AB∥DC且AD＝BC=AB=CD， ∴△ADE∽△FCE， ∴ ∴ ∵AB∥DC， ∴△CFE∽△BFA， ∴ ∴ ∴ 故答案选：C 【分析】根据正方形的性质，证明得到△ADE∽△BFA，继而由相似三角形的性质证明得到△CFE∽△BFA，由相似三角形的性质，求出面积的比。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，作 ，交 于点 ， ∴ ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ 是 边上的中线， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ， 则 ． 故答案为：C． 【分析】作 ，交 于点 ，如图，则，则 ， ，，，则，即可选出选项。 10．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 ， ∵ ，M是AD边上的一点， ， ∴ ， ， ∵将 沿BM对折至 ，四边形ABCD是正方形， ∴ ， ， ∴ (HL)， ∴ ， ∴ ， 在 中，设 ，则 ， 根据勾股定理可得 ，解得 ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：D. 【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 NF⊥CD，利用已知条件求出AM，DM的长；利用折叠的性质可证得AB=AN=BC，利用HL可证得△BEN≌△BEC，利用全等三角形的性质可得到NE=CE，由此可表示出EM的长；设DE=x，表示出ME的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE，NE和ME的长；再证明△MDE∽△NFE，利用相似三角形的性质可求出NF，EF的长，由此可求出DF的长；然后利用勾股定理求出DN的长. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， ∴ ， ∵DF=6， ∴AF= ， ∴ ， ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3. 故答案为：B. 【分析】证明△AFD∽△EBA，得到 ，求出AF，即可求出AE，从而可得EF. 12．【答案】B 【解析】【解答】解：在矩形ABCD中， 是等边三角形， ∴∠DAB=90°，∠EAB=60°， ∴∠DAE=90°-60°=30°， 故A说法不符合题意； 若∠BAC=45°，则AB=BC， 又∵AB=BE， ∴BE=BC， 在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC， 故B说法符合题意； 设EC的长为x， 易得∠ECB=30°， ∴BE=2EC=2x，BC= ， AB=BE=2x， ∵DC∥AB， ∴∠ECA=∠CAB， 又∵∠EFC=∠BFA， ∴△ECF∽△BAF， ∴ ， 故C说法不符合题意； AD=BC= ， ∴ ， 故D说法不符合题意． 故答案为：B 【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法符合题意；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B说法不符合题意；设EC的长为x，BE=2EC=2x，BC= ，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法符合题意；AD=BC= ，AB=BE=2x，可得D说法正确． 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴ . 故答案为： . 【分析】利用已知条件可证得AB，CB，BD，AB四条线段成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可求出AD与AC的比值. 14．【答案】①②③④ 【解析】【解答】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠ABD＝∠FBE＝45°， 又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF， ∴ ， ∴选项①正确； ②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形， ∴AD＝AB，BF＝BE， ∴BD＝ AB，BE= BF， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴选项②正确； ④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠BEH＝∠BDE＝45°， 又∵∠EBH＝∠DBE， ∴△EBH∽△DBE， ∴ ，即BE2＝BH•BD， 又∵BE＝ BG， ∴ ， ∴选项④确； ③由②知： ， 又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴∠BAF＝∠BDE＝45°， ∴AF在正方形另外一条对角线上， ∴AF⊥BD， ∴③正确， ⑤∵ ， ∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x， ∴BE= ， ∵BE2＝BH•BD， ∴ ， ∴DH=BD-BH= ， ∴ ， 故⑤错误， 综上所述：①②③④正确， 故答案是：①②③④. 【分析】利用正方形的性质可证得∠ABD＝∠FBE＝45°，由此可知的∠ABF=∠DBE，可对①作出判断；再证明BD，AB，BE，BF对应成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得△ABF∽△DBE，可对②作出判断；利用正方形的性质可对AF⊥BD，可对③作出判断；利用正方形的性质可证得∠BEH＝∠BDE＝45°，可推出△EBH∽△DBE，利用相似三角形的对应边成比例，可对④作出判断；设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，利用勾股定理表示出BE，BD的长；再求出BH，DH的长，然后可求出BH，DH的比值，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的序号. 15．【答案】 【解析】【解答】解：如图， 四边形ABCD是正方形 因为折叠， ，设垂足为H ， 故答案为 ． 【分析】由"ASA"可证出，可得，由锐角三角函数可求DO的长，即可求解。 16．【答案】 【解析】【解答】解：作AE⊥BC，CF⊥BD ∵ ∴△ABD和△BCD等高，高均为AE ∴ ∵AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∴ ∵△BOC和△DOC等高，高均为CF ∴ ∴ 故答案为： 【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得，利用平行线可证△AOD∽△COB 可得 ，从而求出，继而得出结论. 17．【答案】 【解析】【解答】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图， ∵点E为BC中点， ∴BE=CE， 在△ABE和△MCE中， ， ∴△ABE≌△MCE（ASA）， ∴AB=MC=4， ∵CF=3DF，CF+DF=4， ∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7， ∵AB∥MF， ∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF， ∴△ABG∽△MFG， ∴ ， ∵ ， ∴ ， S△AFG=S△AFB-S△AGB= ， 故答案为 . 【分析】 延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，利用线段中点的定义可证得BE=CE，利用ASAS证明△ABE≌△MCE，利用全等三角形的性质可求出MC的长，由此可求出MF的长；再证明△ABG∽△MFG，利用相似三角形的性质可证得对应边成比例，即可求出GN，GH的长；然后利用三角形的面积公式，根据S△AFG=S△AFB-S△AGB，代入计算，可求出△AGF的面积. 18．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝ ∠CBF+ ∠ABF＝ ∠ABC＝45°. 故①正确；②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6， ∴HF＝BF﹣BH＝4， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴2S△BFG＝5S△FGH； 故②正确；③∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABF中，AF＝ ＝8， 设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x， 在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2， 即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5， ∴AG＝3， ∴FD＝2； 同理可得ED＝ ， ∴ ＝ ＝2， ＝ ＝ ， ∴ ≠ ， ∴△ABG与△DEF不相似， 故③错误；④∵CD＝AB＝6，ED＝ ， ∴CE＝CD﹣ED＝ ， ∴ ＝ ， ∴4CE＝5ED. 故④正确. 综上所述，正确的结论的序号为①②④， 故答案为：①②④. 【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案. 19．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形 ∴ ， ∴ 在 和 中 ∵ ， ∴ . 【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，利用平行线的性质得出，根据两角对应相等可证. 20．【答案】解：由旋转的性质，可得： ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ . ∵ . 【解析】【分析】根据题意结合旋转的性质证明 ，进而利用面积比是相似比的平方比即可求出 的面积. 21．【答案】（1）解：如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE ∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠F+∠BED=180°， ∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°， 故满足“直等补”四边形的定义， ∴四边形 为“直等补”四边形； （2）解：①∵四边形 是“直等补”四边形，AB=BC， ∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°， 如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， 则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE ∴D、C、F共线， ∴四边形EBFD是正方形， ∴BE=FD， 设BE=x，则CF=x-1， 在Rt△BFC中，BC=5， 由勾股定理得： ，即 ， 解得：x=4或x=﹣3(舍去)， ∴BE=4 ②如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5， 则NP=NC，MT=MC， ∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT， 过P作PH⊥BC，交BC延长线于H， ∵∠F=∠PHC=90°，∠BCF=∠PCH， ∴△BCF∽△PCH， ∴ ， 即 ， 解得： ， 在Rt△PHT中，TH= ， ， ∴ 周长的最小值为 ． 【解析】【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°，BF=BE，进而可证得四边形 为“直等补”四边形；（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD，设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC，由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值． 22．【答案】（1）证明：∵E为AB中点， ∴ ． ∴ ． ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ． ∴ ． ∴四边形DFEC是平行四边形； （2）解：如图，过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ， ∴AD∥BC， ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 则由勾股定理得 ． ∵CD∥AB， ∴△CDG∽△FEG． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 设 ，则 ． ∴ ， ． 在Rt△CFH中，由勾股定理得： ， ∴ ． 解得 ， （不合题意，舍去）． ∴AE的长为 （3）解：如图，连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM， ∵四边形ABCD是菱形， ， ∴ ， ． ∴△ABD为等边三角形． 同理可证：△BCD为等边三角形． ∴ ． ∵CD∥AB， ∴ ， ． ∴ ， ． ∴ ∵ ， ∴ ． ∴ ． 则由勾股定理得： ， ． 当点E从A出发运动到点B时，点G始终在直线AM上运动，运动轨迹为线段， 当点E与A重合时，点G与点A重合， 当点E与B重合时，点G为BD与AM 的交点N， ∴点G运动路径的长度为线段AN的长， ∵CD∥AB， ∴ ． ∴ ． ∴点G运动路径的长度为 【解析】【分析】（1）先求出EF=AB，再求出CD//AB，CD=AB，最后利用平行四边形的判定方法证明求解即可； （2）先求出BH=1，再证明 △CDG∽△FEG ，最后利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可； （3）先求出BD=AB=BC，再利用相似三角形的性质和勾股定理求解即可。 23．【答案】（1）AF＝AE （2）解：AF＝kAE. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF. ∴△ABE∽△ADF， ∴ ， ∵AD＝kAB， ∴ ， ∴ ， ∴AF＝kAE. （3）解：①如图1，当点F在DA上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1. 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝ ， ∵DF∥AB， ∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴ ∵AF＝GF+AG， ∴AG＝ ∵△ABE∽△ADF， ∴ ， ∴AE＝ ＝ 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝ ， ②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3， 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝ . ∵DF∥AB， ∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴ ， ∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2， ∵△ABE∽△ADF， ∴ ， ∴ ， 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝ . 综上所述，EG的长为 或 . 【解析】【解答】解：（1）AE＝AF. ∵AD＝AB，四边形ABCD矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE； 故答案为：AF＝AE. 【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE； （2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论； （3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出 ，求出AG＝ .由△ABE∽△ADF可得出 ，求出AE＝ .则可得出答案；②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长. 24．【答案】（1）证明：∵∠C=∠D=∠AEB=90°， ∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°， ∴∠BEC=∠EAD， ∴Rt△AED∽Rt△EBC， ∴ ； （2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M， 同（1）的理由可知： ， ∵ ， ， ∴ ， ∴CB=GM， 在△BCH和△GMH中， ， ∴△BCH≌△GMH（AAS）， ∴BH=GH； （3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE， 过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG， ∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB， ∴∠EAF=∠BEM， ∴△AEF∽△EBM， ∴ ， ∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°， 而∠EFA=∠AEB， ∴∠CED=∠EFD， ∵∠BMG+∠BME=180°， ∴∠N=∠EFD， ∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°， ∴∠EDF=∠CEN， ∴△DEF∽△ECN， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴BM=CN， 在△BGM和△CGN中， ， ∴△BGM≌△CGN（AAS）， ∴BG=CG. 【解析】【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论； （2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知 ，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH，可得出结论； （3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出 ，证明△DEF∽△ECN，则 ，得出 ，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $