精品解析：江苏宿迁市沭阳县沭阳如东实验学校2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期九年级阶段练习 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需依据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、当时，方程二次项系数为0，不是一元二次方程； B、将右边展开得，移项化简后为，不含二次项，不是一元二次方程； C、方程为整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，二次项系数，是一元二次方程； D、方程分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程． 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：D． 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 当时，y的值随x的增大而减小 C. 当时， D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 4. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 5. 若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 根据题意得，当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选项； 当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 6. 已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 7. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含x的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解∶ 设矩形的边，则， 根据题意，得， 故选∶A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9. 若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 10. 若是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 11. 在函数中，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质，结合自变量 x 的取值范围，分析函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵函数 是反比例函数，比例系数 ， ∴函数图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵当 时，， ∴当 时，，且 y 为正数， 因此，y 的取值范围是 ， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】关于的一元二次方程有实数根 ∴ ∴，即且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解． 13. 某人编制了一条短信，发送给若干个人，收到短信的人再转发给同样数目的人，经过两轮发送后共有42个人收到短信，问平均每轮发送给 _____个人． 【答案】6 【解析】 【分析】设平均每轮发送给x个人，根据经过两轮发送后共有42个人收到短信，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设平均每轮发送给x个人， 由题意得：， 解得：（舍去）， ∴平均每轮发送给6个人， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据两条直线的交点求不等式的解集，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用点在双曲线的图象上，求出反比例函数解析式，再求出点的横坐标，从而可结合图象求出不等式的解集． 【详解】解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线的图象上， ∴，解得：， ∴， 当时，在第一象限内点的左边符合，此时； 在第三象限内点的左边符合，此时， 综上所述，不等式的解集是或， 故答案为：或． 15. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 16. 对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 17. 已知实数满足，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法将原方程转化为一元二次方程，求解后根据为实数，舍去不符合题意的解，得到结果． 【详解】解：设， 则原方程变形为， 因式分解得， 解得或， 当时，得，即， ∵该方程的判别式， ∴该方程无实数根，不符合题意，舍去， 当时，得，即， 该方程的判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意， ∴的值为． 18. 已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将第二个方程整理得到和满足同一个一元二次方程，结合得到和是该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系代入化简即可得结果． 【详解】解：∵ 代入，得左边， ∴ ， 对两边同时除以， 得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子：． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据化简结果，将已知等式化简代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 21. 已知反比例函数y=的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入得， 解得， ∴的值为； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； 【小问3详解】 解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】（1） 解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）矩形对角线的长是4 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为， ∴， 解得． ∴这个矩形对角线的长是4． 23. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （2）试用配方法求出代数式的最小值． 【答案】（1）是等腰三角形，理由如下： ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）代数式的最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入方程，整理得出，从而可得，即可得出结果； （2）利用配方法计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 25. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段所在直线的函数表达式； （2）当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】（1） （2）第二天早上能驾车出行 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合运用，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，则设双曲线的解析式为，将点代入可得反比例函数解析式，当时，，根据从晚上到第二天早上时间间距为小时，由此即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 26. 东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． （1）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率可列出方程，进而求解即可； （2）根据总盈利=每千克盈余×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果，结合“尽快减少库存”确定解的取舍． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为，根据题意得： 解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，由题意得： 整理得 解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 27. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】（1） （2）1； （3）如图， （4）①减小；②或 【解析】 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 28. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 【答案】（1）不是 （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，根据，代入可求出k的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，然后分两种情况，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 不是“限制方程”； 【小问2详解】 解：是的两根， 则，， ∵， ∴， ， 解得或6， 当时，，解得， ， 不符合题意，舍去，  当时，，解得，满足， ∴； 【小问3详解】 解：方程的根为， ∵该方程是“限制方程”， ∴， 当时， ，解得，  当时， ，解得，  ∴m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级阶段练习 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 当时，y的值随x的增大而减小 C. 当时， D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 4. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9. 若函数是反比例函数，则k的值为__________． 10. 若是方程的一个根，则的值为_____． 11. 在函数中，当时，的取值范围是_____． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 13. 某人编制了一条短信，发送给若干个人，收到短信的人再转发给同样数目的人，经过两轮发送后共有42个人收到短信，问平均每轮发送给 _____个人． 14. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 15. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 16. 对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 17. 已知实数满足，则代数式的值为___________． 18. 已知实数满足，则的值是___________． 三．解答题（共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知反比例函数y=的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 22. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 23. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （2）试用配方法求出代数式的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 25. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段所在直线的函数表达式； （2）当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 26. 东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 27. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 28. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $