圆锥曲线经典例题赏析三专项训练-2027届高三数学一轮复习

经典例题赏析：圆锥曲线的第三定义与垂径定理

【原题呈现】（满分17分）

10. 设 分别为椭圆 的左、右两个焦点。

（1）若椭圆 上的点 到 两点的距离之和等于 ，写出椭圆 的方程。

（2）设 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点的轨迹方程。

（3）已知椭圆具有性质：若 是椭圆 上关于原点对称的两个点，点 是椭圆上任意一点，当直线 的斜率都存在，并记为 时，那么 与 之积是与点 位置无关的定值。试对双曲线

写出具有类似特性的性质，并加以证明。

第（1）问解析

由椭圆定义知，椭圆 上的点到两焦点 的距离之和等于 。因为点 到 两点的距离之和等于 ，所以

解得

将点 代入椭圆方程

得

即

解得

故椭圆 的方程为

第（2）问解析

由（1）知椭圆 的方程为

且

所以

即左焦点