第34天 圆锥曲线中的定点、定线、定值问题 每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定点定线定值问题，通过4道典型解答题覆盖抛物线、椭圆、双曲线等核心载体，强化几何直观与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点问题|1②,2②,3①|证明直线过定点|圆锥曲线方程→直线与曲线位置关系→参数恒成立推导| |定线问题|3①|证明点在定直线上|轨迹方程→直线交点坐标→参数消元确定定线| |定值问题|2①,4②|证明垂直/斜率积为定值|曲线切线性质→方程联立→韦达定理应用|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第34天 圆锥曲线中的定点、定线、定值问题 1.答案　(1)解　设P(x0,y0),则=y0,又E(0,1), 所以|PE|= == =, 所以当y0=时,|PE|取最小值,最小值为. (2)记直线PB,PC,BC的斜率分别为k1,k2,k3, 因为点P的横坐标为2,可得P(2,3),设过P(2,3)的圆E的切线方程为y-3=k(x-2), 由题意可得=r, 即(4-r2)k2-8k+4-r2=0, 因为k1,k2是方程的根, 所以k1+k2=,k1k2==1, 又 所以3x2-4kx+8k-12=0, 所以2xB=,2xC=, 即xB=-2,xC=-2, ①解　因为BC的斜率为k3, 所以k3==(xB+xC) = =k1+k2-3=-3, 又因为0<r≤, 所以-3∈(-1,-]. 即直线BC斜率的取值范围为. ②证明　因为xB=-2, 所以yB=k1+3=-4k1+3, 所以直线BC的方程为y-yB=k3(x-xB),即y- =(k1+k2-3), 即y=(k1+k2-3)x+2(k1+k2)-, 即y=(k1+k2)(x+2)-3x-, 令x=-2,则y=, 所以直线BC过定点. 2.解　(1)圆C1:x2+y2=1在点P(x0,y0)的切线l的方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=1, 与C2:x2+3y2=4联立消去y可得(3+)x2-6x0x+3-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=, 所以y1y2=· =, 而1-(x1+x2)x0+x1x2=1-+=, 所以y1y2=, 所以x1x2+y1y2=+==0, 所以OA⊥OB. (2)设椭圆C2:+=1,又过点P的圆C1的切线方程为x0x+y0y=1.联立 得(b2+a2)x2-2a2x0x+a2-a2b2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 所以y1y2=(1-x0x1)(1-x0x2) =1-x0(x1+x2)+x1x2. 由OA⊥OB,得(x1x2+y1y2)=0, 即x1x2+1-x0(x1+x2)+x1x2=0, 又+=1, 所以x1x2-x0(x1+x2)+1=0, 所以-+1=0, 化简可得=0, 所以(a2+b2-a2b2)=0, 又上式对任意的y0∈[-1,1]均成立, 故a2+b2-a2b2=0, 即+=1, 所以椭圆C2:+=1必过定点(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1). 3.(1)解　设点Q的坐标为(x,y),由PD⊥x轴于D,Q为线段PD的中点,得点P(x,2y), 由点P在圆x2+y2=4上,得x2+4y2=4,即+y2=1, 所以点Q的轨迹E的方程是+y2=1. (2)①证明　由(1)不妨令A1(-2,0),A2(2,0),直线l不垂直于y轴, 设直线l:x=ty+3,C(x1,y1),D(x2,y2), 由 得(t2+4)y2+6ty+5=0, 由Δ=16t2-80>0,得t>或t<-, 则y1+y2=-,y1y2=,5(y1+y2)=-6ty1y2, 直线A1C方程为y=(x+2), 直线A2D方程为y=(x-2), 联立消去y,得= == ==-5, 解得x=,所以点G在直线x=上. ②解　由CG⊥DG,得A1G⊥A2G,则点G在以A1A2为直径的圆上, 设G,则+t2=4, 解得t=±,即G, 于是直线A1C的方程为y=±(x+2), 由 消去y得9x2+16x-4=0, 而点A1横坐标为-2,则点C横坐标xC=-·=,纵坐标yC=±, 所以直线l的斜率=±. 4.(1)解　联立 得(3-m)x2-2mx-4m=0, 故 解得0<m<3或3<m<4. 故实数m的取值范围是(0,3)∪(3,4). (2)证明　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1·x2=, 设AB的中点为E(x0,y0),则x0=, 从而y0=x0+1=, 即E, 又双曲线的渐近线方程为y=±x, 联立,可得x=, 所以C, 同理可得D, 从而可得CD的中点为,故CD与AB的中点重合, 则|AE|=|EB|,|CE|=|ED|,即|AC|=|BD|. (3)设过P(x3,y3)且与双曲线N:-=λ相切的直线方程为y-y3=k(x-x3),即y=kx+y3-kx3, 联立 可得(3-2k2)x2-4k(y3-kx3)x-2(y3-kx3)2-6λ=0, 由题意可知,3-2k2≠0, Δ=16k2(y3-kx3)2+4(3-2k2)[2(y3-kx3)2+6λ]=0, 化简可得(y3-kx3)2+λ(3-2k2)=0, 即(-2λ)k2-2x3y3k++3λ=0, 由题意可知k1,k2为方程(-2λ)k2-2x3y3k++3λ=0的两个根, 则-2λ≠0,Δ1=4-4(-2λ)(+3λ)>0, 故k1·k2===, 若k1·k2为定值,则有=, 化简得λ=,此时k1·k2=, 但此时Δ1=4-4(-1)=-2(3-2)+6=-6<0, 故不存在λ,使得k1·k2为定值. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第34天 圆锥曲线中的定点、定线、定值问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 解答题(1题13分,2题15分,3题15分,4题17分) 1.(2025·合肥二模)已知抛物线Γ:x2=y,圆E:x2+(y-1)2=r2,点P在Γ上. (1)求|PE|的最小值; (2)设点P的横坐标为2,过P作圆E的两条切线,分别交Γ于B,C两点. ①求直线BC斜率的取值范围; ②证明直线BC过定点. 2.(2025·浙江七彩阳光联盟联考)已知圆C1:x2+y2=1,O为坐标原点,过C1上任意一点P(x0,y0)(x0y0≠0)作圆C1的切线l. (1)若l与椭圆C2:+=1相交于A,B两点,证明:OA⊥OB; (2)若l与椭圆C2:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,恒有OA⊥OB,判断C2是否过定点? 请说明理由. 3.(2025·呼和浩特一模)在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,线段PD的中点Q的轨迹为曲线E(当点经过圆与x轴的交点时,规定点Q与点P重合). (1)求曲线E的方程; (2)A1,A2为曲线E与x轴的交点,过点M(3,0)作直线l交E于C,D两点(与A1,A2不重合),直线A1C与A2D交于点G. ①证明:点G在定直线上; ②是否存在点G使得CG⊥DG,若存在,求出直线l的斜率;若不存在,请说明理由. 4.(2025·湖南九校二联)已知直线l:y=x+1与双曲线M:-=1(m>0)及其渐近线分别交于点A,B和点C,D. (1)求实数m的取值范围; (2)证明:|AC|=|BD|; (3)若m=2,过双曲线M上一点P向双曲线N:-=λ作切线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,问是否存在这样的λ,使得k1·k2为定值?若存在,求出λ的值及定值k1·k2;若不存在,请说明理由. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $