精品解析：河南周口市沈丘县全峰完中2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期期中复习作业 九年级数学（HS） 测试范围：20.1-22.5 注意事项：1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式中， 最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点，分别在，上，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程配方后得到方程，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 6. 如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A. 1 B. C. D. 7. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ） A. E B. F C. G D. H 8. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，这是小明的爸爸购买的添加了便签的2025年台历，图2是它的平面示意图，其中正方形是月历区，正方形是备忘录区，矩形是便签区，已知月历区的面积为，备忘录区的面积为，则便签区的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，4） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 12. 如图，在中，添加一个条件：________，使． 13. 如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 14. 如图，已知，和相交于，若，则______． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，AE=EB，MN=2，线段MN的两端在CB，CD上移动，当CM=_______时， △ADE与△CMN相似． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算与解方程． （1）计算； （2）计算：． （3）解方程：． （4）解方程：． 17. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 18. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地的时间； （2）若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 19. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 21. 某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点，求的长． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 23. （1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中复习作业 九年级数学（HS） 测试范围：20.1-22.5 注意事项：1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式中， 最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】A．，故不是最简二次根式，不符合题意； B．，故不是最简二次根式，不符合题意； C．，故不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设, （），代入运算即可． 【详解】解：∵ = ， ∴ 设, （）， ∴， 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式错误，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，点，分别在，上，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明即可得解； 【详解】∵，， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 5. 若关于的方程配方后得到方程，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据完全平方式的特征对配方可得，，则，即可求出答案． 【详解】解：∵对配方可得到，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的对应边成比例，求出的值是解题的关键．利用平行四边形的性质，可得出且，结合，可得出，由，可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ） A. E B. F C. G D. H 【答案】D 【解析】 【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接并延长， 以点为位似中心，点D是点C的对应点， 位似比为， 则点A的对应点是H， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键． 8. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 9. 如图1，这是小明的爸爸购买的添加了便签的2025年台历，图2是它的平面示意图，其中正方形是月历区，正方形是备忘录区，矩形是便签区，已知月历区的面积为，备忘录区的面积为，则便签区的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，矩形的性质，正方形的性质，根据题意分别求得，进而求得，再根据矩形的性质，即可求解． 【详解】∵正方形是月历区，面积为， ∴， ∵正方形是备忘录区，矩形是便签区， ∴， ∴， ∴便签区的面积为 故选：D． 10. 如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，4） 【答案】C 【解析】 【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标即可． 【详解】解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E， ∵A的坐标为（2，）， ∴AE=，OE=2． 由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4， 在Rt△ABE中， 由勾股定理得AB=3，A′B=3， 由旋转前后三角形面积相等得， 即， ∴O′F=． 在Rt△O′FB中， 由勾股定理BF=， ∴OF=． ∴O′的坐标为（）． 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， 所以，一次项系数为． 故答案为：． 12. 如图，在中，添加一个条件：________，使． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：与有一个公共角， 故添加或等时，， 故答案为：(答案不唯一) ． 【点睛】本题考查了添加条件使三角形相似，熟练掌握和运用相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 13. 如果是有理数，那么正整数的最小值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【详解】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 14. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，AE=EB，MN=2，线段MN的两端在CB，CD上移动，当CM=_______时， △ADE与△CMN相似． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得∠A=∠C=90°，AD=AB=2，则AE=EB=1，再根据勾股定理即可求得DE的长，最后根据△ADE与△MNC相似即可求得结果. 【详解】∵正方形ABCD， ∴∠A=∠C=90°，AD=AB=4， ∴AE=EB=2， ∴DE=， ∵△ADE与△MNC相似，∠A=∠C=90°，， 则或 ∴或 ， 即或， 解得CM=或 故答案为：或 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算与解方程． （1）计算； （2）计算：． （3）解方程：． （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ，即， ∴， ； 【小问4详解】 解： 或 ． 17. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例是解答本题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由可得，由平行线分线段成比例定理得，代入可得结论． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ， ． 18. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地的时间； （2）若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． （）把代入公式计算即可； （）把代入公式计算即可； 【小问1详解】 解：当时，， 答：从高空抛物到落地的时间为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：玩具抛出前离地面的高度为． 19. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 21. 某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点，求的长． 【答案】（1）2.4厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∴，即， 解得：， 答：像的长度为2.4厘米； 【小问2详解】 由题意得：，为矩形， ∴，厘米， ∴，即， 解得：， 答：的长为厘米． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 23. （1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴； （2）3；（3）4或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $