3.2 某些简单立体图形的展开图 课时作业 2026-2027学年北京版数学七年级上册

北京版七年级上册　第三章　3.2 某些简单立体图形的展开图　课时作业 3.2　某些简单立体图形的展开图　课时作业 北京版·七年级上册·第三章　简单的几何图形 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　用时：______分钟 一、学习目标 1．了解立体图形展开图的含义，能识别正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的展开图。 2．掌握正方体展开图的11种基本形式，能根据展开图判断正方体中相对的面。 3．能利用展开图解决与表面积、体积有关的简单实际问题，体会“立体—平面”之间的相互转化。 二、知识点梳理 知识点1　展开图的含义 把一个立体图形的表面沿着某些棱（或线）适当剪开，可以展开成一个平面图形，这个平面图形叫做该立体图形的表面展开图，简称展开图。 注意：（1）同一个立体图形，剪开的方法不同，得到的展开图也可能不同；（2）展开图是一个整体，各部分之间至少有一条边相连，不能“断开”。 知识点2　正方体的展开图（11种） 正方体有6个面、12条棱、8个顶点。展开成平面图形时需剪开7条棱，剩下5条棱把6个正方形连在一起。 正方体的展开图共有11种，可分为四类：“1-4-1”型6种，“2-3-1”型3种，“2-2-2”型1种，“3-3”型1种（如下图）。 图1　正方体的11种展开图 知识点3　判断正方体展开图的口诀与方法 口诀：“一线不过四，田凹应弃之；相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知。” （1）一线不过四：展开图中，同一行（或列）的正方形不能超过4个； （2）田凹应弃之：出现“田”字形（2×2的正方形）或“凹”字形的图形，一定不是正方体展开图； （3）相间是对面：在同一行（或同一列）中，中间隔着一个正方形的两个面是相对的面； （4）Z端是对面：成“Z”字形（或“S”字形）排列的两端的面是相对的面； （5）相对的面在展开图中一定不相邻（没有公共边）。 知识点4　其他立体图形的展开图 （1）长方体：展开图由6个长方形（可能有两个是正方形）组成，相对的两个面形状、大小完全相同。 （2）圆柱：展开图由两个相同的圆和一个长方形组成，长方形的一边长等于底面圆的周长，另一边长等于圆柱的高。 （3）圆锥：展开图由一个扇形和一个圆组成，扇形的弧长等于底面圆的周长。 （4）n棱柱：展开图由2个n边形（底面）和n个长方形（侧面）组成，两个底面分别位于侧面的两侧。 （5）n棱锥：展开图由1个n边形（底面）和n个三角形（侧面）组成。 图2　圆柱、圆锥及其展开图 图3　三棱柱、四棱锥及其展开图 易错提醒：（1）判断棱柱的展开图时，两个底面不能在侧面的同一侧；（2）圆锥的展开图中，圆要与扇形的弧相接，而不是与扇形的半径相接；（3）找相对面时，先找“相间”，再找“Z端”，最后用排除法确认。 三、典型例题精讲 例1　下列四个图形中，能折成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用口诀“一线不过四，田凹应弃之”逐一判断。 【解答】A中含有“田”字形，不能折成正方体；C中有一行有5个正方形，超过4个，不能折成正方体；D中含有“田”字形，不能折成正方体；B属于“1-4-1”型，能折成正方体。故选B。 例2　如图是一个正方体的展开图，把它折成正方体后，与“数”字所在的面相对的面上的字是______。 【分析】该展开图属于“2-3-1”型，可用“相间”和“Z端”的方法寻找相对面。 【解答】“我”“爱”“数”“学”四个面成“Z”字形，两端的“我”与“学”是相对面；“数”与“课”在同一行中相间，是相对面；剩下的“爱”与“堂”是相对面。所以与“数”相对的面上的字是“课”。 例3　如图是一个圆柱的展开图，侧面展开后得到的长方形的长为12.56 cm，宽为5 cm，长方形的长等于底面圆的周长。求这个圆柱的表面积（π取3.14）。 【分析】侧面展开图的长等于底面周长，由此求出底面半径，再计算两个底面积与侧面积之和。 【解答】设底面半径为r cm，则2×3.14×r＝12.56，解得r＝2。 底面积：3.14×2²＝12.56（cm²）；侧面积：12.56×5＝62.8（cm²）。 表面积：62.8＋2×12.56＝62.8＋25.12＝87.92（cm²）。 答：这个圆柱的表面积是87.92 cm²。 例4　如图是一个长方体的展开图（单位：cm），求这个长方体的表面积和体积。 【分析】由展开图读出长方体的长、宽、高分别为5 cm、3 cm、2 cm。 【解答】表面积：2×（5×3＋5×2＋3×2）＝2×（15＋10＋6）＝62（cm²）；体积：5×3×2＝30（cm³）。 答：这个长方体的表面积是62 cm²，体积是30 cm³。 例5　如图是由5个大小相同的正方形组成的图形，再添加1个同样大小的正方形，使它能折成一个正方体，共有几种不同的添法？ 【分析】添加后应符合11种展开图中的某一种，同时不能出现“田”字形或一行超过4个。 【解答】添在第一行最左边，可形成“3-3”型；添在第二行三个正方形中任意一个的下方，可形成“2-3-1”型。其他位置会出现“田”字形、一行超过4个或两面重合的情况。所以满足条件的位置有4个（如下图阴影部分所示，每次只添其中一个），共有4种不同的添法。 四、基础巩固 （一）选择题 1．下列图形中，是三棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，可以作为圆锥的展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形经过折叠能围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一个正方体的展开图，折成正方体后，与“美”字所在的面相对的面上的字是（　　） A．建 B．丽 C．中 D．国 5．下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 6．把一个圆柱的侧面沿着一条高剪开，展开后得到的图形不可能是（　　） A．长方形 B．正方形 C．梯形 D．以上都有可能 7．一个立体图形的展开图由2个三角形和3个长方形组成，这个立体图形是（　　） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．长方体 8．一个五棱柱的展开图中，长方形的个数和所有面的个数分别是（　　） A．5，6 B．5，7 C．6，7 D．7，5 （二）填空题 9．正方体有______个面，它的展开图共有______种不同的形状；把正方体的表面展开成平面图形，需要剪开______条棱。 10．圆锥的侧面展开图是一个______，圆柱的侧面展开图（沿高剪开）是一个______。 11．n棱锥的展开图由______个三角形和1个______边形组成。 12．如图是一个正方体的展开图，若折成正方体后相对的两个面上的数互为相反数，则x＝______，y＝______，z＝______，x＋y＋z＝______。 13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为6.28 cm的正方形，则这个圆柱的底面半径是______cm，高是______cm（π取3.14）。 14．如图是一个正方体的展开图，若折成正方体后面A在底面，则面______在上面；与面B相对的是面______，与面D相对的是面______。 （三）解答题 15．如图是由5个相同的小正方形组成的图形，请你在图中再画1个同样大小的小正方形，使它能折成一个正方体（画出所有可能的情况，每种情况单独画一个图）。 16．如图是一个长方体的展开图（单位：cm）。 （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）求这个长方体的表面积和体积。 17．一个圆柱的侧面展开图是长18.84 cm、宽10 cm的长方形，长方形的长等于底面圆的周长。求这个圆柱的体积（π取3.14）。 五、能力提升 18．一个骰子相对两面上的点数之和都等于7。如图是这个骰子的展开图，其中三个面已标出点数1，2，3，求a，b，c分别表示的点数。 19．一个正方体的六个面上分别写有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同的方向看到的情形如图所示，请判断与A，B，C相对的面上分别是哪个字母，并说明理由。 ① ② ③ 20．要给一个正方体的六个面涂色，要求有公共边的两个面颜色不同，那么至少需要几种颜色？请结合正方体的展开图说明理由。 21．小明把一个正方体纸盒沿某些棱剪开，展开成一个平面图形。（1）他一共剪开了几条棱？（2）若改为一个长方体纸盒，展开成一个平面图形，需要剪开几条棱？请说明理由。 22．一个圆锥的底面半径为2 cm，把它的侧面展开后得到一个扇形，求这个扇形的弧长（π取3.14）。若这个扇形的半径为6 cm，扇形的弧长是以6 cm为半径的圆的周长的几分之几？ 六、拓展探究 23．（数学活动）如图，用一张边长为20 cm的正方形纸板，在四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形（x为整数），然后沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒。 （1）用含x的式子表示这个纸盒的容积V； （2）当x分别取1，2，3，4，5时，计算纸盒的容积，填入下表，并指出x取何值时容积最大。 x：1　　2　　3　　4　　5 V（cm³）：______　______　______　______　______ 24．如图，在正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，它想沿着正方体的表面爬到与A相对的顶点B处吃食物。请利用展开图画出蚂蚁爬行的一条最短路线，并说明这样的最短路线共有几条。 参考答案及解析 三、典型例题 例1～例5的答案及分析已在例题中给出，此处不再重复。 四、基础巩固 1．B　【解析】三棱柱的展开图由3个长方形和2个三角形组成，两个三角形应分别在长方形的两侧。A中两个三角形在同一侧，折叠后会重合；C有4个长方形；D只有1个三角形。故选B。 2．A　【解析】圆锥的展开图由一个扇形和一个圆组成，且圆与扇形的弧相接。B是三角形与圆，C是扇形与正方形，D是长方形与圆，都不符合。故选A。 3．C　【解析】A中第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个，按此排列折叠时会出现两个面重合，不能围成正方体；B是“凹”字形，不能围成正方体；D中含“田”字形，不能围成正方体；C是“1-4-1”型，能围成正方体。故选C。 4．C　【解析】“美”“丽”“中”在同一行中，“美”与“中”中间隔着“丽”，是相对面。故选C。 5．C　【解析】C中第二行有4个正方形，第一行的两个正方形都在第二行左侧的上方，折叠后会有两个面重合，不是正方体的展开图；A是“2-2-2”型，B是“1-4-1”型，D是“1-3-2”型（即“2-3-1”型的变形），都是正方体展开图。故选C。 6．C　【解析】圆柱的侧面沿高剪开，得到的是长方形；当底面周长与高相等时，得到正方形。不可能是梯形。故选C。 7．B　【解析】2个三角形是两个底面，3个长方形是侧面，所以是三棱柱。故选B。 8．B　【解析】五棱柱有5个侧面（长方形）和2个底面（五边形），共7个面。故选B。 9．6，11，7　【解析】正方体有12条棱，展开后有5条棱仍连接6个面，所以剪开12－5＝7条棱。 10．扇形，长方形（特殊时为正方形） 11．n，n 12．－1，2，－3，－2　【解析】由“相间是对面”“Z端是对面”可知：1与x相对，y与－2相对，3与z相对。所以x＝－1，y＝2，z＝－3，x＋y＋z＝－1＋2－3＝－2。 13．1，6.28　【解析】底面周长为6.28 cm，所以2×3.14×r＝6.28，r＝1；圆柱的高等于正方形的边长6.28 cm。 14．C，E，F　【解析】这是“3-3”型展开图，A与C在同一行相间，是相对面；同理D与F相对；B与E成“Z”字形两端，是相对面。 15．【解答】共有4种画法：在第二行（4个正方形的那一行）的下方，任意一个正方形的下面添画一个即可（如下图阴影所示，每次添一个）。 【解析】添加后形成“1-4-1”型的展开图都能折成正方体；若添在上方，会出现两个面重合或形成“田”字形；若添在第二行的左右两端，一行会有5个正方形，都不能折成正方体。 16．（1）长6 cm，宽4 cm，高3 cm。 （2）表面积：2×（6×4＋6×3＋4×3）＝2×（24＋18＋12）＝108（cm²）；体积：6×4×3＝72（cm³）。 17．【解答】设底面半径为r cm，则2×3.14×r＝18.84，r＝3。体积：3.14×3²×10＝3.14×9×10＝282.6（cm³）。答：这个圆柱的体积是282.6 cm³。 五、能力提升 18．a＝5，b＝4，c＝6。【解析】由展开图可知：“1”与“c”在同一列相间，是相对面，所以c＝7－1＝6；“2”与“a”在同一行相间，是相对面，所以a＝7－2＝5；“3”与“b”在同一行相间，是相对面，所以b＝7－3＝4。 19．与A相对的是D，与B相对的是E，与C相对的是F。 【解析】由图①②③可知，与C相邻的面有A，B，E，D，所以C的对面是F；与A相邻的面有B，C，E（图①②），且A的对面不是F（F是C的对面），所以A的对面是D；与B相邻的面有A，C，D（图①③），B的对面只能是E。 20．至少需要3种颜色。【解析】正方体中，相邻的面不能同色，而相对的面没有公共边，可以同色。正方体有3对相对面，每对相对面涂同一种颜色，共需3种颜色；又因为一个顶点处有3个面两两相邻，所以至少需要3种颜色。 21．（1）7条。正方体有12条棱，6个面连成一个整体至少需要5条棱连接，所以剪开12－5＝7条棱。（2）7条。长方体也有6个面、12条棱，理由同（1）。 22．【解答】扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长：2×3.14×2＝12.56（cm）。以6 cm为半径的圆的周长为2×3.14×6＝37.68（cm），12.56÷37.68＝。所以扇形弧长是该圆周长的。 六、拓展探究 23．（1）纸盒的底面是边长为（20－2x）cm的正方形，高为x cm，所以V＝（20－2x）²·x。 （2）x＝1时，V＝18²×1＝324；x＝2时，V＝16²×2＝512；x＝3时，V＝14²×3＝588；x＝4时，V＝12²×4＝576；x＝5时，V＝10²×5＝500。所以在这几个值中，x＝3时容积最大，为588 cm³。 【点评】本题把正方形纸板（平面图形）折成无盖纸盒（立体图形），体现了展开与折叠的关系。 24．【解答】把正方体的前面和上面展开在同一平面内，连接A，B两点，线段AB就是一条最短路线（如下图）。依据是“两点之间，线段最短”。 从A出发到B，可经过“前面→上面”“前面→右面”“左面→上面”“左面→后面”“下面→右面”“下面→后面”，每种都对应一条最短路线，所以最短路线共有6条。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $