专题25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（5大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数关系（韦达定理）核心知识点，承接方程解法，系统梳理定理表达式、适用前提（Δ≥0）、特殊情况及常见变形公式，为代数式求值、参数求解等问题提供学习支架。 资料通过易错点剖析（如忽略Δ、符号错误）、技巧总结（口诀记忆、固定步骤）及分层题型设计（含新定义问题），结合中考真题培养学生运算能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识应用。

专题25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【新人教版】 【题型1 利用根与系数关系求简单式子的值】....................................................................................................2 【题型2 利用根与系数关系求复杂式子的值】....................................................................................................3 【题型3 利用根与系数的关系求参数的值】........................................................................................................3 【题型4 一元二次方程根与系数关系的应用】....................................................................................................4 【题型5 新定义问题】............................................................................................................................................4 1. 根与系数关系（韦达定理） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个实数根、时： 两根之和：，两根之积： 2. 特殊情况 ①当一次项系数为0：x2+c=0，； ②当常数项为0：ax2+bx=0，，必有一根为0。 3. 适用前提 必须有实数根，使用前需保证≥0。 4. 常见变形公式（必考） · x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2​ · (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2​ · · 易错1：忽略使用前提 不解方程直接套韦达定理，Δ＜0无实数根，不能用根与系数关系。 易错2：两根之和符号记错 ，自带负号，最容易记反、算错。 易错3：未化标准式直接代系数 方程未整理为ax^2+bx+c=0，a、b、c 取值错误，导致结果全错。 易错4：混淆相等根、不存在根 Δ=0时有两个相等实数根，依然满足韦达定理；Δ＜0无实数根，定理失效。 易错5：变形公式乱用 未正确展开平方、通分，代数式变形计算失误。 技巧1：韦达定理口诀 和，，积为，必先判 技巧2：固定解题步骤 1. 化方程为标准形式； 2. 计算Δ，确认有实数根； 3. 求， 4. 整体代入变形公式求值。 技巧3：题型秒杀思路 1 不解方程，求两根和、积、代数式的值； ② 已知一根，快速求另一根、求参数； ③ 根据根的关系，列方程求字母参数。 技巧4：解题方法优先级 不求根、不求解的代数式求值，优先韦达定理整体代入，避免繁琐解方程。题型一 利用根与系数关系求简单式子的值 【例1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·湖北随州·一模）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【变式1-2】（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）已知，是方程的两个根，则______． 题型二 利用根与系数关系求复杂式子的值 【例2】（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）若m，n为方程的两个实数根，则_______． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【变式2-3】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 题型三 利用根与系数的关系求参数的值 【例3】（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【变式3-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 题型四 一元二次方程根与系数关系的应用 【例4】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【变式4-2】（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 题型五 新定义问题 【例5】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【变式5-2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【新人教版】 【题型1 利用根与系数关系求简单式子的值】....................................................................................................2 【题型2 利用根与系数关系求复杂式子的值】....................................................................................................4 【题型3 利用根与系数的关系求参数的值】........................................................................................................6 【题型4 一元二次方程根与系数关系的应用】....................................................................................................8 【题型5 新定义问题】..........................................................................................................................................10 1. 根与系数关系（韦达定理） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当方程有两个实数根、时： 两根之和：，两根之积： 2. 特殊情况 ①当一次项系数为0：x2+c=0，； ②当常数项为0：ax2+bx=0，，必有一根为0。 3. 适用前提 必须有实数根，使用前需保证≥0。 4. 常见变形公式（必考） · x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2​ · (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2​ · · 易错1：忽略使用前提 不解方程直接套韦达定理，Δ＜0无实数根，不能用根与系数关系。 易错2：两根之和符号记错 ，自带负号，最容易记反、算错。 易错3：未化标准式直接代系数 方程未整理为ax^2+bx+c=0，a、b、c 取值错误，导致结果全错。 易错4：混淆相等根、不存在根 Δ=0时有两个相等实数根，依然满足韦达定理；Δ＜0无实数根，定理失效。 易错5：变形公式乱用 未正确展开平方、通分，代数式变形计算失误。 技巧1：韦达定理口诀 和，，积为，必先判 技巧2：固定解题步骤 1. 化方程为标准形式； 2. 计算Δ，确认有实数根； 3. 求， 4. 整体代入变形公式求值。 技巧3：题型秒杀思路 1 不解方程，求两根和、积、代数式的值； ② 已知一根，快速求另一根、求参数； ③ 根据根的关系，列方程求字母参数。 技巧4：解题方法优先级 不求根、不求解的代数式求值，优先韦达定理整体代入，避免繁琐解方程。题型一 利用根与系数关系求简单式子的值 【例1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 【变式1-1】（2026·湖北随州·一模）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 【变式1-2】（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）已知，是方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】将所求分式通分转化为用两根之和与两根之积表示的形式，再利用韦达定理代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 题型二 利用根与系数关系求复杂式子的值 【例2】（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）若m，n为方程的两个实数根，则_______． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系． 利用一元二次方程的解得到，即，根据根与系数的关系得到，进而可求的值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， 即， ∵m和n是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：2026． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 【变式2-3】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 题型三 利用根与系数的关系求参数的值 【例3】（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得． 【变式3-1】（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】 【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达式，解方程求的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， ，即． ， 解得， 检验：当时，方程的判别式，符合题意； 故． 【变式3-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 题型四 一元二次方程根与系数关系的应用 【例4】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 【变式4-2】（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据勾股定理结合根与系数之间的关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或； ∵是一个矩形的两边长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积是3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． 【详解】（1）解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； （2）解：当时，， 此时菱形的面积为． 题型五 新定义问题 【例5】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 【变式5-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 【变式5-2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 【答案】(1)3 (2)16 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确理解题意． （1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）利用根与系数的关系设根并求解参数值． 【详解】（1）解： ， 或 解得，， ∵ ， ∴ 方程是“3倍根方程”； （2）解：设方程 的两个根为和， 由题意得， 根据根与系数的关系，有， ∴， 解得 ， ∴， 又∵， ∴， ∴ 的值为16． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 【答案】(1) (2)方程是“邻根方程” 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴两根和为，两根积为， ∴ 一元二次方程为； （2）解：解，得，， ， 方程是“邻根方程”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $