专题04线段垂直平分线与角平分线性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦线段垂直平分线与角平分线的性质定理、逆定理及尺规作图，作为全等三角形的实际应用，构建从定义到性质、逆定理再到作图与推理的学习支架，帮助学生厘清定理条件与结论，建立几何推理逻辑。 该资料通过“解题抓手”“格式得分点”及高频失分点总结，强化定理应用规范，培养学生推理意识。结合充电点选址等实际应用题，提升应用意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化几何直观与规范表达。

专题04线段垂直平分线与角平分线性质精讲学案 核心立意 本节为全等三角形的实际应用，掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理；熟练两类尺规作图；运用定理完成线段、角度推理证明，厘清定理条件与结论，区分两类距离概念，建立几何推理逻辑。 线段垂直平分线相关定理 ①定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 ②性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；几何语言：若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB。 ③逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 角平分线相关定理 ①定义：将一个角分成两个相等角的射线，叫做角平分线。 ②性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；⚠️距离指垂线段长度，必须具备垂直条件； 几何语言：点P在AOB平分线上，PM OA，PNOB，则PM=PN。 ③逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 几何语言：点P在AOB内部，PMOA，PNOB，PM=PN，则点P在 AOB的平分线上。 作线段的垂直平分线 ①分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径，在线段两侧画弧，得到两个交点； ②连接两交点作直线，即为该线段的垂直平分线； 注意：作图必须保留全部弧痕。 作角平分线 ①以角的顶点为圆心，取适当长度为半径画弧，交角的两条边于两点； ②分别以两交点为圆心，大于两点间距一半长为半径，在角内部画弧得到交点； ③连接角顶点与该交点作射线，即为角平分线； 注意：作图必须保留全部弧痕。 两类定理解题应用【解题抓手】 ①遇线段垂直平分线，直接得线段两端点距离相等；证点在垂直平分线上，只需证该点到线段两端距离相等。 ②遇角平分线，向角两边作垂线段，可得垂线段相等；证点在角平分线上，需证点到角两边垂线段相等。 ③依托全等三角形完成定理证明与综合几何推理。 证明书写规范【格式得分点】 ①使用性质定理，必须写明点在垂直平分线或角平分线上的前提条件； ②运用角平分线性质，必须标注垂直条件； ③线段垂直平分线逆定理无需垂直条件；角平分线逆定理限定点位于角的内部。 重点辨析 ①线段垂直平分线的距离为两点间线段长度；角平分线的距离为点到直线的垂线段长度，二者不可混淆。 ②线段垂直平分线逆定理：只要到线段两端距离相等，点就在其垂直平分线上；角平分线逆定理前提为点在角的内部。 ③拓展：三角形三边垂直平分线交于一点；三角形三条内角平分线交于一点（课本探究内容）。 ④性质定理：由点的位置推线段相等；逆定理：由线段相等推点的位置，二者不可颠倒。 【学生高频失分点】 ①运用角平分线性质，遗漏垂直条件直接推出线段相等。 ②混淆线段垂直平分线、角平分线对应的距离概念。 ③使用角平分线逆定理，忽略点必须在角内部的限定条件。 ④混淆性质定理与逆定理，颠倒位置条件与等量条件。 ⑤尺规作图：未保留作图弧痕；作垂直平分线半径≤线段一半导致无交点；作角平分线弧交点落在角外部。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★★ 题型二 作已知线段的垂直平分线 ★★ 题型三 作垂线 ★★★ 题型四 角平分线的性质定理 ★★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★★★ 题型六 作角平分线 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★重难点综合； 题型一：线段垂直平分线的性质 解题思路：①若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点距离相等；②要证点在垂直平分线上，只需证明该点到线段两端距离相等；③结合全等三角形完成推理，书写完整条件 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 2．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 3．如图，在中，，边上的垂直平分线交、分别于点D、E，则的周长等于______． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 题型二：作已知线段的垂直平分线 解题思路：①分别以线段两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径，在线段两侧画弧，得到两个交点；②连接两个交点作直线；③作图必须保留全部弧痕，不能擦除。 5．如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长是__________cm． 6．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结并延长交边于点D，连结．若，，则的周长为________． 8．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线分别与相交于点D，E，连接． 若的周长为16，，则的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型三：作垂线 解题思路：①分两种情况：过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线；②用圆规画弧截取等长线段，构造等腰三角形；③利用线段垂直平分线原理画出垂线；④保留全部作图痕迹。 9．如图是小敏在笔记本上尺规作图的痕迹，这是（     ） A．过直线外一点作已知直线的垂线 B．作一条已知直线的平行线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一个点关于已知直线的对称点 10．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 11．如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点A，B为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点M，N；（2）作直线交于点P，则的周长是______． 12．如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 题型四：角平分线的性质定理 解题思路：①点在角平分线上，向角的两条边作垂线段；②得到两条垂线段相等；⚠️必须要有垂直条件，没有垂直不能直接用该性质；③结合全等完成证明或计算。 13．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 14．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 15．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 16．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 题型五：角平分线性质的实际应用 解题思路：①把实际问题转化为几何模型；②抓住关键词“到角两边距离相等”；③选用角平分线性质定理或逆定理确定点的位置；④注意“距离”指垂线段的长度。 17．在三角形中，到三边距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 18．如图，已知△ABC的面积是26，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的周长是_____． 19．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    20．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 题型六：作角平分线 解题思路：①以角的顶点为圆心，取适当长度画弧，交角两条边于两点；②分别以两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径，在角内部画弧得到交点；③连接角顶点与该交点作射线；④保留全部弧痕。 21．如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 22．下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 24．如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 解答题 1．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 2．如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 4．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 5．在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04线段垂直平分线与角平分线性质精讲学案 核心立意 本节为全等三角形的实际应用，掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理；熟练两类尺规作图；运用定理完成线段、角度推理证明，厘清定理条件与结论，区分两类距离概念，建立几何推理逻辑。 线段垂直平分线相关定理 ①定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 ②性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；几何语言：若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB。 ③逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 角平分线相关定理 ①定义：将一个角分成两个相等角的射线，叫做角平分线。 ②性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；⚠️距离指垂线段长度，必须具备垂直条件； 几何语言：点P在AOB平分线上，PM OA，PNOB，则PM=PN。 ③逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 几何语言：点P在AOB内部，PMOA，PNOB，PM=PN，则点P在 AOB的平分线上。 作线段的垂直平分线 ①分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径，在线段两侧画弧，得到两个交点； ②连接两交点作直线，即为该线段的垂直平分线； 注意：作图必须保留全部弧痕。 作角平分线 ①以角的顶点为圆心，取适当长度为半径画弧，交角的两条边于两点； ②分别以两交点为圆心，大于两点间距一半长为半径，在角内部画弧得到交点； ③连接角顶点与该交点作射线，即为角平分线； 注意：作图必须保留全部弧痕。 两类定理解题应用【解题抓手】 ①遇线段垂直平分线，直接得线段两端点距离相等；证点在垂直平分线上，只需证该点到线段两端距离相等。 ②遇角平分线，向角两边作垂线段，可得垂线段相等；证点在角平分线上，需证点到角两边垂线段相等。 ③依托全等三角形完成定理证明与综合几何推理。 证明书写规范【格式得分点】 ①使用性质定理，必须写明点在垂直平分线或角平分线上的前提条件； ②运用角平分线性质，必须标注垂直条件； ③线段垂直平分线逆定理无需垂直条件；角平分线逆定理限定点位于角的内部。 重点辨析 ①线段垂直平分线的距离为两点间线段长度；角平分线的距离为点到直线的垂线段长度，二者不可混淆。 ②线段垂直平分线逆定理：只要到线段两端距离相等，点就在其垂直平分线上；角平分线逆定理前提为点在角的内部。 ③拓展：三角形三边垂直平分线交于一点；三角形三条内角平分线交于一点（课本探究内容）。 ④性质定理：由点的位置推线段相等；逆定理：由线段相等推点的位置，二者不可颠倒。 【学生高频失分点】 ①运用角平分线性质，遗漏垂直条件直接推出线段相等。 ②混淆线段垂直平分线、角平分线对应的距离概念。 ③使用角平分线逆定理，忽略点必须在角内部的限定条件。 ④混淆性质定理与逆定理，颠倒位置条件与等量条件。 ⑤尺规作图：未保留作图弧痕；作垂直平分线半径≤线段一半导致无交点；作角平分线弧交点落在角外部。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★★ 题型二 作已知线段的垂直平分线 ★★ 题型三 作垂线 ★★★ 题型四 角平分线的性质定理 ★★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★★★ 题型六 作角平分线 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★★基础；★★★中档；★★★★重难点综合； 题型一：线段垂直平分线的性质 解题思路：①若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点距离相等；②要证点在垂直平分线上，只需证明该点到线段两端距离相等；③结合全等三角形完成推理，书写完整条件 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． 2．如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 【答案】20 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后将的周长转化为即可． 【详解】解：∵为边的中垂线 ∴ ∵， ∴的周长． 3．如图，在中，，边上的垂直平分线交、分别于点D、E，则的周长等于______． 【答案】15 【分析】根据垂直平分线的性质，将转化为，即的长，代入数值计算即可． 【详解】解：∵是边上的垂直平分线， ， ， ， ， ， 的周长为． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 题型二：作已知线段的垂直平分线 解题思路：①分别以线段两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径，在线段两侧画弧，得到两个交点；②连接两个交点作直线；③作图必须保留全部弧痕，不能擦除。 5．如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长是__________cm． 【答案】 【分析】的周长是，，所以求的周长其实就是求，由此即可求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，且， ∴，，即， ∵的周长是，即， ∴， ∵的周长是，， ∴的周长是， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质将所求线段转化为已知线段的关系． 6．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 7．如图，在中，分别以点A、C为圆心，以大于长为半径作圆弧，两弧分别相交于点E、F，连结并延长交边于点D，连结．若，，则的周长为________． 【答案】12 【分析】根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：． 8．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线分别与相交于点D，E，连接． 若的周长为16，，则的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把的周长转化为求来解决． 由作图知，直线垂直平分线段，进而可得，，则，由此可解． 【详解】解：由作图知，直线垂直平分线段， ，， ， 的周长为16， ， ， 即的周长为11， 故选：D． 题型三：作垂线 解题思路：①分两种情况：过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线；②用圆规画弧截取等长线段，构造等腰三角形；③利用线段垂直平分线原理画出垂线；④保留全部作图痕迹。 9．如图是小敏在笔记本上尺规作图的痕迹，这是（     ） A．过直线外一点作已知直线的垂线 B．作一条已知直线的平行线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一个点关于已知直线的对称点 【答案】A 【分析】观察图形中的圆弧痕迹，结合尺规作图的基本方法进行判断即可． 【详解】解：由图可知，作图痕迹符合以下特征：首先以直线外一点为圆心，适当长为半径画弧，与已知直线交于两点； 再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧在直线另一侧交于一点； 最后连接直线外一点与该交点得到直线． ∴这是过直线外一点作已知直线的垂线的作图痕迹． 10．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 【答案】 【分析】由作图过程可知，直线，然后通过三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ． ， ， ． 11．如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点A，B为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点M，N；（2）作直线交于点P，则的周长是______． 【答案】11 【分析】由作图可得垂直平分，则，再由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∴的周长． 12．如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 【答案】A 【分析】连接，由作图可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，当点、、在同一直线上时，的周长最小，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上时，的周长最小，为． 题型四：角平分线的性质定理 解题思路：①点在角平分线上，向角的两条边作垂线段；②得到两条垂线段相等；⚠️必须要有垂直条件，没有垂直不能直接用该性质；③结合全等完成证明或计算。 13．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 【答案】10 【详解】解：∵点是平分线上一点，且，， ∴， 又∵， ∴． 14．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 15．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 16．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 题型五：角平分线性质的实际应用 解题思路：①把实际问题转化为几何模型；②抓住关键词“到角两边距离相等”；③选用角平分线性质定理或逆定理确定点的位置；④注意“距离”指垂线段的长度。 17．在三角形中，到三边距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答． 【详解】解：在三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选：B． 18．如图，已知△ABC的面积是26，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的周长是_____． 【答案】26 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答． 【详解】 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE=OD，OD=OF， 即OE=OF=OD=2， ∴△ABC的面积=S△AOB+S△AOC+S△OBC=26， ∴×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=26， ∴×2×（AB+AC+BC）=26， ∴AB+AC+BC=26， 故答案为26． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 19．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 20．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 题型六：作角平分线 解题思路：①以角的顶点为圆心，取适当长度画弧，交角两条边于两点；②分别以两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径，在角内部画弧得到交点；③连接角顶点与该交点作射线；④保留全部弧痕。 21．如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 22．下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 23．如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据基本作图得到平分，过G点作于H点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：由作法得平分， 过G点作于H点，如图，    ∵为的平分线，，， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为1． 24．如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质可以求出，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 解答题 1．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 【答案】 【分析】作线段的垂直平分线，作的平分线，两线交点即为点P． 【详解】略 2．如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)证明：∵， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据证明即可； （2）根据要求作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 3．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）利用证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 4．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【答案】 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【分析】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【详解】略 5．在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，在中，与的度数，再根据“三角形内角和为”求得的度数． （2）过点作两条分别垂直于、的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相等”推导即可． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ． （2）解：过点作于，于， 平分，，， ， 平分，，， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $