专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级上册

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 三角形倒角的高分线模型与双（三）垂直模型是初中几何角度计算与证明的核心高频考点，多用于选择填空压轴及几何解答题基础设问，侧重考查角度转化与模型迁移能力。 高分线模型核心围绕角平分线、高线夹角规律命题，依托三角形内角和、外角性质，可快速推导顶角与角分线、高线夹角的固定数量关系，考题常结合折叠、平行背景，考查定值角度求解。双（三）垂直模型以多组直角为核心特征，利用同角或等角的余角相等完成倒角，规避复杂角度推导，是直角三角形、相似三角形题型的基础解题模板。 两类模型解题核心均为“模型识别+固定结论套用”，中考侧重隐性考查，不会直接明示模型，需考生根据线段垂直、角平分等条件自主构造模型，快速简化倒角步骤，提升解题准确率与速度。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 6 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 易错点与方法总结 12 模型运用 13 A组（基础题） 13 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 19 高分线模型、双（三）垂直模型并非教材原生定理，属于初中几何教研衍生的解题模型，源于三角形基础性质的综合应用总结。高分线模型由三角形内角和、角平分线定义、高线垂直性质推导而来。早期教研中，在大量含角平分线与高线共存的角度计算题里，发现顶角与角平分线、高线夹角存在固定关系式，为方便学生快速识别题型，归纳形成高分线模型。 双（三）垂直模型起源于 “同角的余角相等” 这一基础定理。在多垂线共存图形中，多个直角会产生互余角，经常出现角度等量代换。在几何习题、中考真题里频繁出现该类图形，一线教师将这类具有两组或三组垂直的倒角图形提炼，命名为双（三）垂直模型。 两类模型本质是对基础几何性质的图形归类，目的是简化倒角推理。模型只是解题工具，源头均来自课本定义与定理，中考命题不会直接给出模型，需要学生从复杂图形中剥离出基础结构。 1）三角形内角和 180°，外角定理；直角三角形两锐角互余； 2）角平分线定义：平分内角，得到两个相等角；高线定义：垂直对边，形成 90°； 3）余角性质：同角（等角）的余角相等； 4）等面积法（子母双垂直求斜边上的高）。 模型1.高分线模型 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【典例3】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知分别是的高和角平分线，． (1)，求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高． （1）根据角平分线及高线的定义，求出和的度数，据此可解决问题； （2）利用面积法即可解决问题． 【详解】（1）解：，是的角平分线， ， 是的高， ， ， ； （2）解：， ， 又，且， ， 即， 解得， 的长为． 【典例4】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，高线，三角形内角和定理，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【典例5】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 模型2.双垂直模型 【模型提炼与证明】 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 【答案】， 【分析】先由三角形高的定义得到，然后对和运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵与是的高， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【典例2】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等面积法求高． 利用三角形的等面积法求高即可． 【详解】解：根据等面积得，， ∴， 故答案为：． 【典例3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，与是的高，则______． 【答案】/ 【分析】此题考查三角形的面积，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【典例4】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则__________．    【答案】 【分析】连接，根据面积法求得的长，即可通过三角形面积公式求得的长，再根据，可得，再利用，即可解答． 【详解】解：如图，连接，   ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，熟练运用面积法得到是解题的关键． 【典例5】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 【模型提炼与证明】 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知：如图1，在中，是边上的高，． (1)直接写出______； (2)如图2，如果是角平分线，、相交于点，那么与的大小相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵在中，是角平分线， ∴， ∵在中，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． 【分析】本题考查了三角形的高与角平分线、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和定理可得，根据等量代换可得，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再求出，，则可得，然后根据对顶角相等可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在中，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 【典例2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 【典例3】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，⑦，其中结论正确的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∴不一定是， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即：不一定等于，故⑦错误； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：B 【典例4】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴，         ∵， ∴，   ∴； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键； （1）先求解，再利用平行线的性质可得答案； （2）先证明，，可得，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 【典例5】（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】根据三角形的中线的性质判断④和⑤；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断①和③，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出，故④错误； F不一定是的中点， 不能得出，故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑥错误； ，， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有②③⑤． 模型常见易错点 1）高分线模型，不分顶点直接套用公式 解决方案：高和角平分线必须是从同一个顶点出发，才可以使用公式；不同顶点不能套用；钝角三角形高在外部，务必画图。 2）双垂直模型，分不清 “同角余角相等”，找错等角 错误：随便看到两个直角就判定角相等。 解决方案：找角要看两个角是否都和同一个角互余；做题标记 90°，圈出公共角。 3）一线三垂直，忽略 “三个直角在同一条直线上” 的前提 解决方案：必须是同一条直线上出现三个直角；无共线条件，不能直接判定角相等；全等需要一组对应边相等，仅有角相等不能证全等。 4）子母双垂直，混淆三组等角，八年级直接乱用射影定理 解决方案：初二只用来倒角 + 等面积求高；射影定理线段乘积结论学完相似再使用，初二证明不能直接写。 5）钝角三角形高线落在外部，容易漏解 解决方案：题干没有说明三角形是锐角三角形，需要分类讨论，高可能落在边延长线上。 解题方法总结 高分线模型解题步骤： 1）识别标志：同一顶点，一条高线 + 一条角平分线；2）公式：∠DAE=|∠ B-∠C|。3）选择填空可以直接代入；大题证明不能直接默写公式，必须写出内角和、角平分线、直角互余推导过程。 双垂直模型解题步骤： 1）识别：图中存在两处垂直，出现多个 90°；2）思路：寻找公共角，用同角的余角相等证明角度相等；3）子母双垂直：倒角 + 等面积法求斜边上的高。 一线三垂直（三垂直）解题步骤 1）识别：一条直线上三个直角顶点；2）倒角：利用平角拆分，推出一组等角；3）有一组边相等→证全等；无边相等→证相似；4）转化线段，进行线段加减计算。 记忆口诀 高分同顶半差角，内外钝角画图瞧； 双垂互余找等角，子母等面积别忘； 一线三垂共直线，等角全等马上现。 1．（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 3．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据是边上的高，，即可得到，依据 ，平分，即可得到，再依据是的平分线，得到，可得，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：． 4．（24-25七年级下·广东清远·期中）如图，是的角平分线，是高，，，则的度数为_____． 【答案】/10度 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，是高， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 5．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，中，AD平分，是边上的高，若，，则的度数等于_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识点，掌握三角形内角和是180度是解题的关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ________．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 【答案】/42度 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O， ∴为边上的高，即， ∴， 故答案为：． 8．（甘肃省武威市古浪县2025—2025学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 为的高， ， 在四边形中，， 又， ． 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，四边形的内角和以及平角的定义，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式，利用等面积法可得，由此求解即可； （2）由为的高和四边形的内角和可得出，再利用平角的定义与等量代换即可求解． 【详解】（1）解：，，， 为的高， ， 即 解得， 则的长为； （2）略 9．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断④． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 综上，符合题意的有3个， 故选：B 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的高、相交于点O，下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂直的性质和角度和差关系，根据题意得，则和，即有；由和，即有；结合，则；利用，，无法证明与相等． 【详解】解：∵的高、相交于点O， ∴， ∴，， ∴， ∴A选项正确，不符合题意； ∵的高、相交于点O， ∴， ∴，， ∴， ∴B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴C选项正确，不符合题意； ∵、是的高， ∴，， ∴，， 但无法证明与相等， 所以D说法错误， 故选：D． 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条高，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了与三角形的高有关的计算．利用是的两条高得到，代入数值计算即可． 【详解】解：∵是的两条高， ∴的面积， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在△ABC，AD 是角平分线，AE 是中线，AF 是高．如果BC＝10cm，那么 BE＝_____；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠DAF＝_____°． 【答案】 5 cm 10 【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线； 三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念，运用几何式子表示． 【详解】解：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm， ∴BE＝5cm， ∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝180°−40°−60°＝80°， ∴∠CAD＝40°， ∵AF是高， ∴∠CAF＝90°−60°＝30°， ∴∠DAF＝40°−30°＝10°， 故答案为：5cm；10°． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．此题是一道基础题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系． 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，分别是的高， ∴，， ∴，， ∴． (2) (3) 证明：∵D是的中点， ∴，， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了高线的性质，角平分线的性质以及中线的性质，需熟练掌握三角形的内角和，得到是解决本题的关键． （1）根据，分别是的高由此可得垂直，即可得直角，再根据等量代换求解即可． （2）先由角平分线的性质求出，再根据三角形内角和即可求解． （3）根据中线的性质，由面积的关系可得，再根据面积可得由此可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，分别是的角平分线， ∴，， ∴ ， ∴ ． （3）略 14．（25-26八年级上·广西贵港·期末）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 15．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 16．（25-26七年级下·陕西·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①三角形的中线将三角形分成等底等高、面积相等的两部分，故； ②根据直角三角形的面积公式，用面积法可算出斜边上的高； ③通过“同角的余角相等”和“对顶角相等”，可推出； ④利用“同角的余角相等”和角平分线，可推出等于，即． 【详解】解：①是中线， ， 等底等高的两个三角形面积相等， ，正确； ②，，，，是边上的高， ， ， 解得，正确； ③，， ，， 平分， ， ， ， ，正确； ④，， ，， ， ， ，正确． 综上，正确的说法有个． 17．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，是边上的高，且，是三角形的角平分线，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①正确；无法判断，即可判断③错误；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断②正确，证明即可判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故①正确， 平分， ， ，， ， 故②正确， ， ， ， ， ，， ， 故④正确， 无法判断，故③错误； 综上可得，正确的结论有①②④． 18．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 19．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，，且，平分，平分，与交于点O，是边上的高． (1)若，，求的度数． (2)用含α，β的式子表示． (3)若，试探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形及角平分线的定义． （1）根据已知条件由三角形内角和定理求得和，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求出结果； （2）根据已知条件由三角形内角和定理求得和，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求出结果，结果用含α，β的式子表示； （3）利用三角形内角和定理求出和的度数，由已知得到二者含α，β的式子，经过整理后得到α与β之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：由（2）知，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴． 20．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A； ②如图，即为所求． （2）①25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②略 （2）①中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②略 （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 三角形倒角的高分线模型与双（三）垂直模型是初中几何角度计算与证明的核心高频考点，多用于选择填空压轴及几何解答题基础设问，侧重考查角度转化与模型迁移能力。 高分线模型核心围绕角平分线、高线夹角规律命题，依托三角形内角和、外角性质，可快速推导顶角与角分线、高线夹角的固定数量关系，考题常结合折叠、平行背景，考查定值角度求解。双（三）垂直模型以多组直角为核心特征，利用同角或等角的余角相等完成倒角，规避复杂角度推导，是直角三角形、相似三角形题型的基础解题模板。 两类模型解题核心均为“模型识别+固定结论套用”，中考侧重隐性考查，不会直接明示模型，需考生根据线段垂直、角平分等条件自主构造模型，快速简化倒角步骤，提升解题准确率与速度。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 6 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 易错点与方法总结 12 模型运用 13 A组（基础题） 13 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 19 高分线模型、双（三）垂直模型并非教材原生定理，属于初中几何教研衍生的解题模型，源于三角形基础性质的综合应用总结。高分线模型由三角形内角和、角平分线定义、高线垂直性质推导而来。早期教研中，在大量含角平分线与高线共存的角度计算题里，发现顶角与角平分线、高线夹角存在固定关系式，为方便学生快速识别题型，归纳形成高分线模型。 双（三）垂直模型起源于 “同角的余角相等” 这一基础定理。在多垂线共存图形中，多个直角会产生互余角，经常出现角度等量代换。在几何习题、中考真题里频繁出现该类图形，一线教师将这类具有两组或三组垂直的倒角图形提炼，命名为双（三）垂直模型。 两类模型本质是对基础几何性质的图形归类，目的是简化倒角推理。模型只是解题工具，源头均来自课本定义与定理，中考命题不会直接给出模型，需要学生从复杂图形中剥离出基础结构。 1）三角形内角和 180°，外角定理；直角三角形两锐角互余； 2）角平分线定义：平分内角，得到两个相等角；高线定义：垂直对边，形成 90°； 3）余角性质：同角（等角）的余角相等； 4）等面积法（子母双垂直求斜边上的高）。 模型1.高分线模型 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【典例3】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知分别是的高和角平分线，． (1)，求； (2)若，求的长． 【典例4】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 模型2.双垂直模型 【模型提炼与证明】 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 【典例2】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则___________． 【典例3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，与是的高，则______． 【典例4】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则__________．    【典例5】（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 【模型提炼与证明】 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知：如图1，在中，是边上的高，． (1)直接写出______； (2)如图2，如果是角平分线，、相交于点，那么与的大小相等吗？请说明理由． 【典例2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【典例3】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，⑦，其中结论正确的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典例4】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【典例5】（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定正确的结论有____________（填序号）． 模型常见易错点 1）高分线模型，不分顶点直接套用公式 解决方案：高和角平分线必须是从同一个顶点出发，才可以使用公式；不同顶点不能套用；钝角三角形高在外部，务必画图。 2）双垂直模型，分不清 “同角余角相等”，找错等角 错误：随便看到两个直角就判定角相等。 解决方案：找角要看两个角是否都和同一个角互余；做题标记 90°，圈出公共角。 3）一线三垂直，忽略 “三个直角在同一条直线上” 的前提 解决方案：必须是同一条直线上出现三个直角；无共线条件，不能直接判定角相等；全等需要一组对应边相等，仅有角相等不能证全等。 4）子母双垂直，混淆三组等角，八年级直接乱用射影定理 解决方案：初二只用来倒角 + 等面积求高；射影定理线段乘积结论学完相似再使用，初二证明不能直接写。 5）钝角三角形高线落在外部，容易漏解 解决方案：题干没有说明三角形是锐角三角形，需要分类讨论，高可能落在边延长线上。 解题方法总结 高分线模型解题步骤： 1）识别标志：同一顶点，一条高线 + 一条角平分线；2）公式：∠DAE=|∠ B-∠C|。3）选择填空可以直接代入；大题证明不能直接默写公式，必须写出内角和、角平分线、直角互余推导过程。 双垂直模型解题步骤： 1）识别：图中存在两处垂直，出现多个 90°；2）思路：寻找公共角，用同角的余角相等证明角度相等；3）子母双垂直：倒角 + 等面积法求斜边上的高。 一线三垂直（三垂直）解题步骤 1）识别：一条直线上三个直角顶点；2）倒角：利用平角拆分，推出一组等角；3）有一组边相等→证全等；无边相等→证相似；4）转化线段，进行线段加减计算。 记忆口诀 高分同顶半差角，内外钝角画图瞧； 双垂互余找等角，子母等面积别忘； 一线三垂共直线，等角全等马上现。 1．（25-26八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东清远·期中）如图，是的角平分线，是高，，，则的度数为_____． 5．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，中，AD平分，是边上的高，若，，则的度数等于_______． 6．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ________．（只填序号） 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 8．（甘肃省武威市古浪县2025—2025学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，已知中，，，，的高交于点O． (1)求； (2)请你猜想与的关系，并简述理由． 9．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的高、相交于点O，下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条高，，，则的长为______． 12．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在△ABC，AD 是角平分线，AE 是中线，AF 是高．如果BC＝10cm，那么 BE＝_____；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠DAF＝_____°． 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 14．（25-26八年级上·广西贵港·期末）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 15．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 16．（25-26七年级下·陕西·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，是边上的高，且，是三角形的角平分线，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 18．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 19．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，，且，平分，平分，与交于点O，是边上的高． (1)若，，求的度数． (2)用含α，β的式子表示． (3)若，试探究α与β之间的数量关系． 20．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $