第3讲 全等三角形及其性质 优等生讲义（知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第3讲 全等三角形及其性质 优等生讲义 （知识梳理＋典例＋针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角 · 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等 · 能根据全等三角形的性质求对应边的长度和对应角的度数 · 掌握找对应元素的方法，能从复杂图形中分离出全等三角形 · 能运用全等三角形性质解决线段和差、角度计算等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作「△ABC≌△DEF」 重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上 全等只与形状和大小有关，与位置、方向无关 概念辨析例题：已知△ABC≌△DEF，AB＝5，∠A＝70°，则DE＝？∠D＝？ 解析：全等三角形对应边相等、对应角相等。由△ABC≌△DEF知A与D对应、B与E对应，所以DE＝AB＝5，∠D＝∠A＝70°。 ☆ 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 全等三角形的周长相等，面积相等 全等三角形对应边上的中线、高、对应角的平分线分别相等 全等三角形中，对应线段（如对应边上的高、对应中线）都相等 概念辨析例题：如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长为20，AB＝6，BC＝8，则DF＝？ 解析：AC＝20﹣6﹣8＝6。由△ABC≌△DEF知AC对应DF，所以DF＝AC＝6。 ☆ 3.找对应边与对应角 全等三角形中，对应角所对的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角 有公共边的，公共边是对应边；有公共角的，公共角是对应角 有对顶角的，对顶角是对应角；最长边对应最长边，最大角对应最大角 记全等符号时按字母顺序找对应：A↔D、B↔E、C↔F 概念辨析例题：已知△ABE≌△ACD，∠A＝60°，∠B＝40°，CD＝4，求∠AEB和BE的长 解析：由△ABE≌△ACD知A↔A、B↔C、E↔D。∠AEB＝180°﹣60°﹣40°＝80°；BE对应CD，所以BE＝CD＝4。 ☆ 4.全等性质的综合应用 利用全等三角形对应边相等，可证明两条线段相等或求线段长度 利用对应角相等，可求角度或证明角相等 动点问题中，要分情况讨论三角形的对应关系（对应顶点可能不同） 复杂图形中，先找全等三角形，再把已知量标在对应位置上 概念辨析例题：CA⊥AB，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB，动点E从A出发以2单位/秒沿AB运动，D在BM上，ED＝CB，若t秒后△DEB与△BCA全等，求t 解析：BC＝＝。△DEB≌△BCA时，对应关系有多种：EB＝CA＝4（E在AB上，AE＝10﹣4＝6，t＝3）；EB＝BA＝10（E在A左侧或B右侧，t＝0或10）；根据对应关系分类讨论得t＝3、7、10。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等三角形 能够完全重合的两个三角形 与位置方向无关 对应顶点 重合的顶点 记全等时按顺序写 性质1 对应边相等 求线段长度 性质2 对应角相等 求角度 性质3 周长、面积分别相等 对应线段也相等 找对应 公共边、公共角、对顶角 大对大、小对小 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的识别与性质（选择题，第1-10题） · 记全等时按字母顺序找对应顶点，不要凭眼睛猜 · 对应边相等、对应角相等是求长度和角度的依据 · 有公共边/公共角时，它们一定是对应元素 · 周长、面积相等是全等的必要不充分条件 1．如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．40° B．62° C．78° D．102° 2．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，∠D＝30°，∠EBD＝65°，则∠ABC 的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 3．如图，△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上，若∠A＝45°，∠F＝65°，则∠CBE的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 4．如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 5．如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 6．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是_______ ． 7．如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．如图，如果△ABC≌△AED，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BDE＝∠EAB C．∠ADC＝∠C D．∠BAD＝∠DAC 9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 10．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2】全等性质求线段与角度（填空题，第11-22题） · 先在图上标出对应顶点，再写对应边/对应角 · 周长问题：未知边＝周长﹣已知两边 · 角度问题：利用三角形内角和180°计算 · 动点题：注意E点位置可能在线段上或延长线上 11．如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为________ ． 12．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 _________ ． 13．如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EDC＝36°，则∠B的度数是________ ． 14．如图，△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°，则∠BEA＝ _______ °． 15．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝___________ 秒时，△DEB与△ABC全等． 16．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝5，FG＝17，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的面积是 ____________________ ． 17．如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 __________ ． 18．如图，△DBE≌△ABC，点A在DE上，DE∥BC，若∠E＝41°，则∠ABD的度数为________ ． 19．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边GF上，那么GH的长是 ________ ． 20．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AC＝5，AF＝2，则AD的长为 _____ ． 【考点3】全等三角形解答与压轴（第23-32题） · 证明线段/角相等：先说明所在三角形全等，再用性质 · 多结论题：逐一验证每个结论，注意分类讨论 · 动点全等：按对应关系分类，不要漏解 · 复杂图形：把全等三角形单独画出来分析 21．如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 22．如图，△ABC≌△DEB，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边AB上，边DE与边AC相交于点F． （1）若DE＝10，BC＝4，求线段AE的长； （2）若∠D＝20°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 23．如图，△ABC≌△ADE，且点D在BC上，求证：∠BAD＝∠EDC． 24．如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAD＝120°，∠ACD＝35°，求∠B的大小． 25．如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 四．创新型题型及压轴题（共5小题） 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN． （1）用含t的式子表示BM、MC； （2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN； （3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 27．如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ _______ cm；②CP＝ ____________ cm；③CQ＝ _______ cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 29．已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 30．为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 _____ （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 📝 随堂检测 【练习 1】如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 _____ ． 【练习 2】如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ ________ ． 【练习 3】一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 _______ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 记全等三角形时，对应顶点字母要写在对应位置上，这是找对应元素的关键 · 全等三角形对应边相等、对应角相等，是求长度和角度的直接依据 · 有公共边、公共角、对顶角时，它们一定是对应元素 · 动点问题要按对应关系分类讨论，不要漏掉E在延长线上的情况 · 复杂图形中先把全等三角形分离出来，再标已知量分析 【作业 1】如图，△ABE≌△ACD，点D，E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业 2】如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 ___________ 秒． 【作业 3】如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若DE＝13，BC＝7，求线段AE的长； （2）若∠AFE＝50°，∠DEB＝80°，求∠DBC的度数． 【作业 4】如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【作业 5】如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由． 【作业 6】如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°． （1）试说明∠BAD＝∠EAC； （2）求∠ADE的度数． 【作业 7】如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 第42页（共42页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 全等三角形及其性质 优等生讲义 （知识梳理＋典例＋针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角 · 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等 · 能根据全等三角形的性质求对应边的长度和对应角的度数 · 掌握找对应元素的方法，能从复杂图形中分离出全等三角形 · 能运用全等三角形性质解决线段和差、角度计算等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作「△ABC≌△DEF」 重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上 全等只与形状和大小有关，与位置、方向无关 概念辨析例题：已知△ABC≌△DEF，AB＝5，∠A＝70°，则DE＝？∠D＝？ 解析：全等三角形对应边相等、对应角相等。由△ABC≌△DEF知A与D对应、B与E对应，所以DE＝AB＝5，∠D＝∠A＝70°。 ☆ 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 全等三角形的周长相等，面积相等 全等三角形对应边上的中线、高、对应角的平分线分别相等 全等三角形中，对应线段（如对应边上的高、对应中线）都相等 概念辨析例题：如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长为20，AB＝6，BC＝8，则DF＝？ 解析：AC＝20﹣6﹣8＝6。由△ABC≌△DEF知AC对应DF，所以DF＝AC＝6。 ☆ 3.找对应边与对应角 全等三角形中，对应角所对的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角 有公共边的，公共边是对应边；有公共角的，公共角是对应角 有对顶角的，对顶角是对应角；最长边对应最长边，最大角对应最大角 记全等符号时按字母顺序找对应：A↔D、B↔E、C↔F 概念辨析例题：已知△ABE≌△ACD，∠A＝60°，∠B＝40°，CD＝4，求∠AEB和BE的长 解析：由△ABE≌△ACD知A↔A、B↔C、E↔D。∠AEB＝180°﹣60°﹣40°＝80°；BE对应CD，所以BE＝CD＝4。 ☆ 4.全等性质的综合应用 利用全等三角形对应边相等，可证明两条线段相等或求线段长度 利用对应角相等，可求角度或证明角相等 动点问题中，要分情况讨论三角形的对应关系（对应顶点可能不同） 复杂图形中，先找全等三角形，再把已知量标在对应位置上 概念辨析例题：CA⊥AB，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB，动点E从A出发以2单位/秒沿AB运动，D在BM上，ED＝CB，若t秒后△DEB与△BCA全等，求t 解析：BC＝＝。△DEB≌△BCA时，对应关系有多种：EB＝CA＝4（E在AB上，AE＝10﹣4＝6，t＝3）；EB＝BA＝10（E在A左侧或B右侧，t＝0或10）；根据对应关系分类讨论得t＝3、7、10。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等三角形 能够完全重合的两个三角形 与位置方向无关 对应顶点 重合的顶点 记全等时按顺序写 性质1 对应边相等 求线段长度 性质2 对应角相等 求角度 性质3 周长、面积分别相等 对应线段也相等 找对应 公共边、公共角、对顶角 大对大、小对小 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的识别与性质（选择题，第1-10题） · 记全等时按字母顺序找对应顶点，不要凭眼睛猜 · 对应边相等、对应角相等是求长度和角度的依据 · 有公共边/公共角时，它们一定是对应元素 · 周长、面积相等是全等的必要不充分条件 1．如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．40° B．62° C．78° D．102° 【分析】根据全等三角形的对应角相等得∠F＝∠A＝40°，然后在△FDE中，由三角形内角和定理可得∠EDF＝78°，据此可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∴∠F＝∠A＝40°， 在△FDE中，∠E＝62°，∠F＝40°， ∴∠EDF＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（62°+40°）＝78°． 故答案为：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握查了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，∠D＝30°，∠EBD＝65°，则∠ABC 的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【分析】在△DEB中，由三角形内角和定理得∠DEB＝85°，然后根据全等三角形的对应角相等得∠ABC＝∠DEB＝85°，由此即可得出答案． 【解答】解：在△DEB中，∠D＝30°，∠EBD＝65°， ∴∠DEB＝180°﹣（∠D+∠EBD）＝85°， ∵△ABC≌△DEB， ∴∠ABC＝∠DEB＝85°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 3．如图，△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上，若∠A＝45°，∠F＝65°，则∠CBE的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠F＝65°，再根据三角形内角和定理即可求出∠CBE的度数． 【解答】解：△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝65°， ∵∠A＝45°， ∴∠CBE＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确进行计算是解题关键． 4．如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 5．如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 【分析】由△ABC≌△ABE，得∠BAE＝∠1＝131°，则∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝98°，由△ABE≌△ADC，得∠E＝∠ACD，所以∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD，又因为∠CFE＝∠CAE+∠ACD，所以∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD，则∠α＝∠CAE＝98°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC≌△ABE， ∴∠BAE＝∠1＝131°， ∴∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝360°﹣131°﹣131°＝98°， ∵△ABE≌△ADC， ∴∠E＝∠ACD， ∴∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD， ∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α＝∠CAE＝98°， 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠CAE＝98°且∠α＝∠CAE是解题的关键． 6．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是　18　 ． 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【解答】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，x+y＝6，2x＝8，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由2x＝6得x＝3，与x＝4矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由x＝2x得x＝0，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由x＝x+y得y＝0，则x+2y＝x＝4，此时2x＝2×4＝8，这与2x＝6矛盾，舍去， 故△ABC的周长为4+6+8＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 7．如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠1，∠ACD＝∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α＝∠2，从而得解． 【解答】解：如图， ∵△ABC≌△ABE≌△ADC，∠1＝125°，∴∠BAE＝∠1＝125°，∠ACD＝∠E（全等三角形对应角相等），∴∠2＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝360°﹣125°﹣125°＝110°，∴∠DFE＝180°﹣∠α﹣∠E，∠AFC＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∵∠DFE＝∠AFC，∴180°﹣∠α﹣∠E＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∴∠α＝∠2＝110°， ∴∠α的度数为110°，故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角、邻补角，找出对应角是解题的关键． 8．如图，如果△ABC≌△AED，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BDE＝∠EAB C．∠ADC＝∠C D．∠BAD＝∠DAC 【分析】对于选项A，根据△ABC≌△AED得∠E＝∠B，由此可对选项A进行判断； 对于选项B，根据△ABC≌△AED得∠C＝∠ADE，AD＝AC，∠BAC＝∠EAD，进而得∠ADC＝∠C＝∠ADE，则∠BDE＝180°﹣2∠C，再根据三角形内角和定理得∠DAC＝180°﹣2∠C，则∠BDE＝∠DAC，再根据∠BAC＝∠EAD得∠DAC＝∠EAB，进而得∠BDE＝∠EAB，由此可对选项B进行判断； 对于选项C，由AD＝AC得∠ADC＝∠C，由此可对结论C进行判断； 对于选项D，根据点D在BC上得AD不是∠BAC的平分线，则∠BAD≠∠DAC，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵△ABC≌△AED， ∴∠E＝∠B， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵△ABC≌△AED， ∴∠C＝∠ADE，AD＝AC，∠BAC＝∠EAD， ∴∠ADC＝∠C， ∴∠C＝∠ADE＝∠ADC， ∴∠BDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADC）＝180°﹣2∠C， 在△ACD中，∠DAC＝180°﹣（∠ADC+∠C）＝180°﹣2∠C， ∴∠BDE＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAD+∠DAC＝∠BAD+∠EAB， ∴∠DAC＝∠EAB， ∴∠BDE＝∠EAB， 故选项B正确，不符合题意； 对于选项C， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠C， 故结论C正确，不符合题意； 对于选项D， ∵点D在BC上， ∴AD不是∠BAC的平分线， ∴∠BAD≠∠DAC， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【分析】由全等三角形的性质可得第二个图中∠1的对边为a，再由第一个图中边a的对角为72°，即可得出∠1． 【解答】解：∵图中的两个三角形全等， ∴由全等三角形的性质得，第二个图中∠1的对边为a（全等三角形对应角相等）， ∵第一个图中边a的对角为72°， ∴∠1＝72°（全等三角形对应角相等）， ∴选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质定理的应用． 10．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据全等三角形的性质可得AD＝AB＝2，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，从而可得∠BAD＝∠CAE＝90°，再根据图中阴影部分的面积等于△ABD的面积求解即可得． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2， ∴AD＝AB＝2，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝90°， 又∵S△ABC＝S△ADE， ∴S阴影＝， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等；全角形的对应角相等是解题的关键． 【考点2】全等性质求线段与角度（填空题，第11-22题） · 先在图上标出对应顶点，再写对应边/对应角 · 周长问题：未知边＝周长﹣已知两边 · 角度问题：利用三角形内角和180°计算 · 动点题：注意E点位置可能在线段上或延长线上 11．如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为　65°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，得到∠BAD＝∠EAC＝50°，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ADB＝65°，于是得到∠ADE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD， ∴∠BAD＝∠EAC＝50°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣50°）＝65°， ∠ADE＝∠B＝65°． 故对答案为：65°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 12．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 　110°　 ． 【分析】由全等三角形的对应角相等推出∠E＝∠ACB＝40°，由三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠E＝∠ACB＝40°， ∵∠D＝30°， ∴∠DCE＝180°﹣∠D﹣∠E＝110°． 故答案为：110°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 13．如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EDC＝36°，则∠B的度数是　72°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠B＝∠ADE，AB＝AD，由三角形的外角性质推出∠BAD＝∠EDC＝36°，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ADB＝72°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∵∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠EDC＝36°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣36°）＝72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，等边对等角． 14．如图，△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°，则∠BEA＝ 　50　 °． 【分析】由△ABE≌△CDF可得∠A＝∠C＝30°，∠B＝∠D＝100°，在△ABE中，由三角形内角和定理可得∠BEA＝50°． 【解答】解：∵△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°， ∴∠A＝∠C＝30°，∠B＝∠D＝100°， 在△ABE中，∠A+∠B+∠BEA＝180°， ∴∠BEA＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（30°+100°）＝50°． 故答案为：50． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 15．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝　3或7或10　 秒时，△DEB与△ABC全等． 【分析】分点E在线段AB上和点E在线段BN上两种情况，分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE求解即可． 【解答】解：分点E在线段AB上和点E在线段BN上两种情况，分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE讨论如下： ①点E在线段AB上，点E与点A重合时此时t＝0，当△EDB≌△BCA时，BD＝AC＝4，则t＞0，不符合题意，舍去； 点E在线段AB上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB﹣BE＝6cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； ②当点E在线段BN上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB+BE＝14cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； 当点E在线段BN上，△BCA≌△EDB，则AB＝BE＝10cm， ∴AE＝AB+BE＝20cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴． 综上，当t为3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等． 故答案为：3或7或10． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 16．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝5，FG＝17，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的面积是 　或85　 ． 【分析】依题意得∠EFG＝∠HGF＝90°，设OF＝a，则OG＝17﹣a，分两种情况讨论如下：①当EF＝FG，OF＝HG时，△OEF≌△HOG，由EF＝FG得5＝17﹣a，解得a＝12，则OF＝HG＝12，此时四边形EFGH是直角梯形，然后根据梯形的面积公式即可求出四边形EFGH的面积；②当EF＝HF＝5，OF＝OG时，△OEF≌△OHG，根据EF∥GH，EF＝HF＝5，∠EFG＝∠HGF＝90°得此时四边形EFGH是矩形，然后根据长方形的面积公式即可得出四边形EF的面积，综上所述即可得出答案． 【解答】解：设四边形EFGH的“等形点”为O， ∵∠EFG＝90°，EF∥GH， ∴∠EFG＝∠HGF＝90°， 设OF＝a， ∵EF＝5，FG＝17，点O在FG上， ∴OG＝FG﹣OF＝17﹣a， ∴有以下两种情况： ①当EF＝FG，OF＝HG时，△OEF≌△HOG，如图1所示： 由EF＝FG，得：5＝17﹣a， 解得：a＝12， ∴OF＝a＝12，OG＝17﹣12＝5， ∴OF＝HG＝12， ∴EF∥GH，则此时四边形EFGH是直角梯形， ∴S四边形EFGH＝（EF+HG）•FG＝×（5+12）×17＝； ②当EF＝HF＝5，OF＝OG时，△OEF≌△OHG，如图2所示： ∵EF∥GH，EF＝HF＝5，∠EFG＝∠HGF＝90°， ∴四边形EFGH是长方形， ∴S四边形EFGH＝EF•FG＝5×17＝85， 综上所述：四边形EFGH的面积是或85． 故答案为：或85． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，理解四边形的“等形点”的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 17．如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　67.5°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出AD＝BD，∠C＝∠BFD，判定△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD＝45°，由角平分线的定义求出∠FBD＝∠ABD＝22.5°，由直角三角形的性质求出∠BFD＝67.5°，即可得到∠C的度数． 【解答】解：∵△BDF≌△ADC， ∴AD＝BD，∠C＝∠BFD， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠FBD＝∠ABD＝22.5°， ∴∠BFD＝90°﹣∠FBD＝67.5°， ∴∠C＝67.5°． 故答案为：67.5°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 18．如图，△DBE≌△ABC，点A在DE上，DE∥BC，若∠E＝41°，则∠ABD的度数为　41°　 ． 【分析】利用全等三角形的性质得出∠E＝∠C＝41°，∠DBE＝∠ABC，再利用平行线的性质得出∠E＝∠EBC＝41°，根据角度的等量代换即可得出∠ABD＝41°． 【解答】解：∵△DBE≌△ABC，∠E＝41°， ∴∠E＝∠C＝41°，∠DBE＝∠ABC（全等三角形对应角相等）， 又∵DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC＝41°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DBA+∠ABE＝∠ABE+∠EBC， ∴∠ABD＝∠EBC， ∴∠ABD＝41°（等量代换）， 故答案为：41°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质及平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 19．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边GF上，那么GH的长是 　1或2　 ． 【分析】根据平行线的性质，得到∠FGH＝90°，分两种情况讨论：当△OEF≌△OHG时当△OEF≌△OGH时，再利用全等三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵∠EFG＝90°，EF∥GH， ∴∠FGH＝90°， ∵四边形EFGH的“等形点”在边FG上， 如图1，当△OEF≌△OHG时，则EF＝HG＝1， 如图2，当△OEF≌△HOG时， ∴EF＝OG＝1，OF＝GH， ∵FG＝3， ∴OF＝FG﹣OG＝3﹣1＝2， ∴GH＝2， 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 20．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AC＝5，AF＝2，则AD的长为 　7　 ． 【分析】根据全等三角形的性质得AC＝DF，进而得AF＝CD，然后根据AD＝AC+CD＝AC+AF即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF， ∵点A、F、C、D在同一条直线上， ∴AF+FC＝FC+CD， ∴AF＝CD， ∵AC＝5，AF＝2， ∴AD＝AC+CD＝AC+AF＝7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． 【考点3】全等三角形解答与压轴（第23-32题） · 证明线段/角相等：先说明所在三角形全等，再用性质 · 多结论题：逐一验证每个结论，注意分类讨论 · 动点全等：按对应关系分类，不要漏解 · 复杂图形：把全等三角形单独画出来分析 21．如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出DC、DE、BC、BE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠CBD＝36°， ∴∠ABD+∠CBE＝126°． ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC﹣∠CBD＝∠DBE﹣∠CBD， 即∠ABD＝∠CBE， ∴． （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝10，BE＝BC＝8， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE， ＝DC+DE+BC+BE ＝5+10+8+8 ＝31． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 22．如图，△ABC≌△DEB，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边AB上，边DE与边AC相交于点F． （1）若DE＝10，BC＝4，求线段AE的长； （2）若∠D＝20°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝9，BE＝BC＝4，再求出AE即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠DBA＝∠C＝70°，∠A＝∠D＝25°，求出∠ABC，再求出∠DBC即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，BC＝4，DE＝10， ∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6； （2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝20°，∠C＝60°， ∴∠DBA＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣60°﹣20°＝100°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝100°﹣60°＝40°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 23．如图，△ABC≌△ADE，且点D在BC上，求证：∠BAD＝∠EDC． 【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，进而得∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，由此即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC， ∴∠BAD＝∠EDC． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 24．如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAD＝120°，∠ACD＝35°，求∠B的大小． 【分析】先根据全等三角形性质得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，再根据∠BAD＝120°得∴∠BAC＝∠DAC＝60°，然后根据三角形内角和定理求出∠D＝85°，进而可得∠B的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADC， ∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC， ∵∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°， 在△ACD中，∠ACD＝35°，∠DAC+∠ACD+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（35°+60°）＝85°， ∴∠B＝∠D＝85°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 25．如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠D＝∠CAB，判定AB∥DE； （2）由全等三角形的性质推出AC＝ED＝3，AB＝AD，求出AD＝7，即可得到AB的长． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 【点评】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． 四．创新型题型及压轴题（共5小题） 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN． （1）用含t的式子表示BM、MC； （2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN； （3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）由点N的运动速度也为每秒1cm，则NC＝t，BM＝NC，再由△DBM≌△MCN，则MC＝BD＝6，所以10﹣t＝6，然后求解即可； （3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC，△DBM≌△NCM，则BM＝MC，NC＝BD＝6，即M为BC中点，所以t＝10﹣t，然后求解即可； 【解答】解：（1）由题意得：BM＝t，MC＝10﹣t； （2）∵点N的运动速度也为每秒1cm， ∴NC＝t，BM＝NC， ∵△DBM≌△MCN；BD＝6cm， ∴MC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等）， ∴10﹣t＝6， 解得t＝4， ∴t＝4时，△DBM≌△MCN； （3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC， ∵△DBM≌△NCM， ∴BM＝MC，NC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等）， ∴M为BC中点， ∴t＝10﹣t， 解得：t＝5， ∴点N的速度为每秒． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 27．如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，再由三角形中线的定义推出BD＝B′D′，则可证明△ABD≌△A′B′D′（SAS），进而证明AD＝A′D′． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，BC＝B′C′， ∵AD、A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应边上的中线， ∴B′D′＝B′C′，BD＝， ∴BD＝B′D′， ∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）， ∴AD＝A′D′（全等三角形的对应边相等）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ 　4t cm；②CP＝ 　（16﹣4t）　 cm；③CQ＝ at cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长； （2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：∵BC＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动． ∴①BP＝4t（cm）；②CP＝BC﹣BP＝16﹣4t（cm）； ∵点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动， ∴③CQ＝at（cm）； 故答案为：4t；（16﹣4t）；at； （2）∵BP＝4tcm，BD＝12cm，CP＝（16﹣4t）cm，CQ＝atcm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： ①若△DBP≌△QCP， 则， ∴， ∴； ②若△DBP≌△PCQ， 则， ∴， ∴； 综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是能根据题意得出方程． 29．已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形的性质求出∠ACE＝90°，就可以得出AC⊥CE； （2）如图②，根据△ABC≌△CDE可以得出∠BFC＝90°，从而得出结论； （3）根据S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，可得S△BFC＝S△ABC＝3，由△ABC≌△BDE，得S△BDE＝S△ABC＝12，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）AC⊥CE，理由如下： ∵AB⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵△ABC≌△CDE， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， ∴AC⊥CE； （2）AC⊥BE，理由如下： ∵△ABC≌△BDE， ∴∠A＝∠EBD，∠ACB＝∠E， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠EBD+∠ACB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴AC⊥BE； （3）∵S△ABC＝12，AF：CF＝3：1， ∴S△BFC＝S△ABC＝3， ∵△ABC≌△BDE， ∴S△BDE＝S△ABC＝12， ∴四边形CDEF的面积＝12﹣3＝9． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 30．为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 A （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 【分析】（1）根据选项A不能证明“三角形的内角和是180°”，选项B，C，D均能证明“三角形的内角和是180°”即可得出答案； （2）对于选项B，根据△ABD≌△BAC得∠BAD＝∠ABC，进而得AD∥BC，则∠DAC+∠C＝90°，即∠BAC+∠BAD+∠C＝90°，由此可得出结论；对于选项C，根据DE∥CB得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再根据DF∥AC得∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C，然后根据∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°即可得出结论；对于选项D，根据CD∥BA得∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°，进而得∠ACD+∠ACB+∠B＝180°，由此可得出结论． 【解答】解：（1）选项A不能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项A符合题意； 选项B，C，D均能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项B，C，D均不符合题意， 故选：A； （2）对于选项B，证明如下： ∵△ABD≌△BAC， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝90°， ∴∠BAC+∠BAD+∠C＝180°， 即∠BAC+∠ABC+∠C＝180°； 对于选项C，证明如下： ∵DE∥CB， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∵DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C， ∵∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°， 对于选项D，证明如下： ∵CD∥BA， ∴∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°， ∴∠ACD+∠ACB+∠B＝180°， 即∠A+∠B+∠ACB＝180°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 　4　 ． 【分析】由全等三角形的对应边相等得到EB＝AC＝7，BC＝DE＝3，即可求出CE的长． 【解答】解：∵△ABC≌△BDE， ∴EB＝AC＝7，BC＝DE＝3， ∴CE＝BE﹣BC＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【练习 2】如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ 　62°　 ． 【分析】根据AE⊥CB，DF⊥BC得△AEB和△DFC都是直角三角形，在Rt△DFC中，可求出∠D＝62°，再根据AE＝DF，△AEB≌△DFC得∠A＝∠D＝62°，由此即可得出答案． 【解答】解：∵AE⊥CB，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴△AEB和△DFC都是直角三角形， 在Rt△DFC中，∠C＝28°， ∴∠D＝90°﹣∠C＝62°， ∵AE＝DF，△AEB≌△DFC， ∴∠A＝∠D＝62°． 故答案为：62°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握了全等三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 【练习 3】一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 　17　 ． 【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，根据三角形的三边关系求出等腰三角形的三边，即可求得答案． 【解答】解：∵三角形的三边长为x，5，7的三角形，与另一个三边长为3，y，5的三角形全等， ∴x＝3，y＝7， 当以x为腰时， ∴三角形的三边为3，3，7， ∵3+3＜7， ∴不能够组成三角形， 当以y为腰时， ∴三角形的三边为7，7，3， ∵3+7＞7， ∴能组成三角形， ∴三角形的周长＝3+7+7＝17， 故答案为：17． 【点评】此题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟记性质准确找出对应边得到x、y的值是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 记全等三角形时，对应顶点字母要写在对应位置上，这是找对应元素的关键 · 全等三角形对应边相等、对应角相等，是求长度和角度的直接依据 · 有公共边、公共角、对顶角时，它们一定是对应元素 · 动点问题要按对应关系分类讨论，不要漏掉E在延长线上的情况 · 复杂图形中先把全等三角形分离出来，再标已知量分析 【作业 1】如图，△ABE≌△ACD，点D，E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，AD＝3， ∴AE＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等． 【作业 2】如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 　3或7或10　 秒． 【分析】根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点E的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【解答】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点E在线段AB上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE， ∴BE＝AC， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∵AB＝10， ∴AE＝10﹣4＝6， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点E在AB延长线上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE， ∴BE＝AC， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∵AB＝10， ∴AE＝10+4＝14， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点E在AB延长线上，AB＝BE时，△BAC≌△EBD， ∴BE＝AB， ∵AB＝10， ∴AE＝10×2＝20， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间 t＝202＝10 （秒） ∴t的值为3或7或10， 故答案为：3或7或10． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【作业 3】如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若DE＝13，BC＝7，求线段AE的长； （2）若∠AFE＝50°，∠DEB＝80°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AB＝DE＝13，EB＝BC＝7，再由AE＝AB﹣EB即可得解； （2）先由外角性质求出∠A，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC、∠DBE即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝13，BC＝7， ∴AB＝DE＝13，EB＝BC＝7（全等三角形对应边相等）， ∴AE＝AB﹣EB＝13﹣7＝6； （2）∵∠DEB是△AEF的外角， ∴∠DEB＝∠AFE+∠A， 又∠AFE＝50°，∠DEB＝80°， ∴∠A＝∠DEB﹣∠AFE＝30°， ∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝30°，∠DEB＝∠ABC＝80°（全等三角形对应角相等）， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°＝∠DBE， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝80°﹣70°＝10°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【作业 4】如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得出∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE，故可得出∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°，故可得出∠BGC＝90°，据此得出结论； （2）由AC∥DE可知∠E＝∠ACG＝30°，再根据∠ACD＝60°即可得出结论． 【解答】解：（1）BF⊥CE，理由： ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE； （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【作业 5】如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝EF，∠BAC＝∠F，根据直角三角形的性质求出∠AOF＝90°，得到AB⊥EF，得出结论． 【解答】解：AB与EF垂直且相等， 理由如下：∵△ABC≌△FEA， ∴AB＝EF，∠BAC＝∠F， ∵∠CAF＝90°， ∴∠BAC+∠BAF＝90°， ∴∠F+∠BAF＝90°， ∴∠AOF＝90°， ∴AB⊥EF， ∴AB与EF垂直且相等． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键． 【作业 6】如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°． （1）试说明∠BAD＝∠EAC； （2）求∠ADE的度数． 【分析】（1）由全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，进而即可求证； （2）由全等三角形的性质得∠ADE＝∠B，AB＝AD，由（1）知∠BAD＝∠EAC＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠EAC； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B，AB＝AD， 由（1）知∠BAD＝∠EAC＝50°， ∴， ∴∠ADE＝∠B＝65°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【作业 7】如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案； （2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝5cm． ∴DE＝BD﹣BE＝2cm； （2）AC与DB垂直，理由如下： ∵△ABD≌△EBC， ∴∠EBC＝∠ABD． 又∵∠ABD+∠EBC＝180°， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴DB⊥AC． 【点评】本题侧重考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边、对应角分别相等． 第42页（共42页） 学科网（北京）股份有限公司 $