专题03全等三角形与三角形全等判定精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形核心知识，从定义、对应元素识别、全等性质入手，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定定理及无效情形，结合图形隐含条件挖掘与规范书写，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于精准剖析学生高频失分点，分层设计16类题型（基础到压轴），通过实际情境题（如测量池塘距离）培养几何直观与推理意识，助力教师授课逻辑清晰，学生课后可针对性训练查漏补缺，提升数学表达与应用能力。

专题03全等三角形与三角形全等判定精讲学案 核心立意 本模块为几何证明核心内容，掌握全等概念、对应元素识别与全等性质；熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定定理，明确无效判定情形；掌握全等证明标准书写，挖掘图形隐含等量条件，利用全等完成线段、角度等量推导，建立严谨几何推理体系。 全等三角形基础概念 ①全等图形：能够完全重合的两个图形，形状、大小均相等。 ②全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形。 ③对应元素：重合顶点为对应顶点，重合边为对应边，重合角为对应角。 ④全等符号书写规则：记作ABC DEF，对应顶点字母必须按重合顺序书写，顺序直接决定对应关系。 ⑤全等变换：平移、翻折、旋转变换后的三角形与原三角形全等。 ⑥全等三角形性质：对应边相等，对应角相等；用于推导线段、角度等量关系。 全等三角形判定定理【考试核心】 ①SSS（边边边）：三边分别对应相等的两个三角形全等。 ②SAS（边角边）：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； ⚠️SSA（两边及其中一边的对角）不能判定三角形全等。 ③ASA（角边角）：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。 ④AAS（角角边）：两角分别相等，且一组等角的对边对应相等的两个三角形全等。 ⑤HL（斜边、直角边）：⚠️仅限直角三角形使用；斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；直角三角形同样适用SSS、SAS、ASA、AAS。 ⑥无效判定：AAA仅能判定三角形形状相同，无法判定全等。 图形隐含等量条件【解题抓手】 ①公共边、公共角、对顶角属于图形自带等量条件，解题时优先识别提取。 ②梳理题干已知条件，结合已挖掘的图形等量条件，筛选适配的全等判定定理，完成条件的匹配组合。 全等证明书写规范【格式得分点】 ①格式框架：在_ _ _与_ _ _中，罗列全部对应相等条件。 ②标注判定依据：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。 ③由全等推导线段、角度相等，注明依据：全等三角形对应边相等、对应角相等。 ④禁止逻辑跳步，条件罗列顺序与判定定理条件顺序保持一致。 重点辨析 ①全等符号顶点书写顺序直接锁定对应元素；可借助图形变换、公共边、公共角识别对应边、对应角。 ②SAS必须是两边的夹角；SSA不具备判定效力；HL不可用于普通三角形。 ③ASA的边是两角夹边，AAS的边是等角对边，二者可以互相推导。 ④⚠️判定用于证明三角形全等；性质用于由全等推导边、角相等，二者严禁混淆。 ⑤AAA只能判定三角形形状一致，不能判定全等。 【学生高频失分点】 ①全等符号顶点顺序书写错乱，造成对应边、对应角识别错误。 ②误用SSA判定三角形全等。 ③混淆ASA与AAS，分不清夹边与对边。 ④把HL定理用于普通三角形证明。 ⑤证明条件罗列顺序与判定定理条件顺序不一致。 ⑥忽略公共边、公共角、对顶角这类图形隐含条件。 ⑦混淆判定与性质，错把性质当作判定依据，或把判定当作性质使用。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念 ★ 题型三 全等三角形的性质 ★ 题型四 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型五 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型六 用 SSS 间接证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SSS 综合 ★★ 题型八 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型九 全等的性质和 SAS 综合 ★★ 题型十 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★★ 题型十一 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十三 添加条件使三角形全等 ★★★ 题型十四 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十五 倍长中线模型 ★★★★ 题型十六 全等三角形综合 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：图形的全等 解题思路：①判断两个图形全等，依据是两个图形能够完全重合；②全等图形要求形状、大小全部一致；③平移、翻折、旋转变换不改变图形的全等关系； 1．下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C．D． 3．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 题型二：全等三角形的概念 解题思路：①依据全等三角形定义识别对应顶点、对应边、对应角；②书写全等符号时，对应顶点字母顺序必须保持一致；③字母书写顺序直接确定三角形的对应关系； 4．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：全等三角形的性质 解题思路：①由三角形全等，推出对应边相等；②由三角形全等，推出对应角相等；③利用相等的边、角完成线段长度、角度大小的计算； 7．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 8．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 题型四：尺规作图 —— 作三角形 解题思路：①按照尺规作图的规范步骤完成作图；②作图原理依托SSS判定；③作图完成保留全部作图痕迹；④判断已知条件是否可以作出唯一三角形； 10．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 11．下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 12．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 题型五：用 SSS 证明三角形全等 解题思路：①在图形中寻找三组对应相等的边；②挖掘公共边这类隐含的等量条件；③按照规范格式，写出三组边相等条件；④依据SSS完成三角形全等证明； 13．如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 14．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 15．年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 题型六：用 SSS 间接证明三角形全等 解题思路：①梳理题干给出的线段条件；②利用线段和差、等式性质推导得到三组对应等边；③整理三组相等边的条件；④运用SSS判定证明三角形全等； 16．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 17．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为__________ 18．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 题型七：全等的性质和 SSS 综合 解题思路：①寻找条件，使用SSS证明两个三角形全等；②利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等；③借助相等的边、角完成角度计算或者线段求解； 19．如图，已知，，，则图中有______对全等三角形，它们是______． 20．如图，在和中，点在边上，交于点，若，，，，则的度数为_______． 21．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型八：用 SAS 证明三角形全等 解题思路：①定位两组对应相等的边；②找到两组边之间的夹角，确认角为两边夹角；③挖掘公共角、对顶角作为相等角条件；④依据SAS完成全等证明； 22．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 23．在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 24．如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 题型九：全等的性质和 SAS 综合 解题思路：①收集边、角条件，用SAS证明三角形全等；②根据全等得到对应边、对应角相等；③利用等量关系求解线段长度或者角度； 25．如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，，，，，，则__________． 27．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型十：用 ASA（AAS）证明三角形全等 解题思路：①区分ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及其中一角对边）；②从题干、图形中提取两组对应相等的角；③找出对应的相等边，区分夹边与对边；④选用ASA或者AAS完成三角形全等证明； 28．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 30．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 题型十一：全等的性质和 ASA（AAS）综合 解题思路：①利用ASA或AAS证明三角形全等；②通过全等得到对应边、对应角相等；③进行角度换算、线段等量转换，完成推理计算； 31．如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 32．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 33．如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 题型十二：利用全等图形求正方形网格中角度之和 解题思路：①在正方形网格中识别构造出的全等图形；②利用全等图形对应角相等做角度等量代换；③把分散的角进行拼接合并；④计算角度的总和； 34．如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 35．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 36．如图，在的方格纸中_____． 题型十三：添加条件使三角形全等 解题思路：①梳理题目已经给出的边、角已知条件；②分析现有条件，明确还缺少的等量条件；③结合SSS、SAS、ASA、AAS判定定理补充条件；④核对补充条件可以推导出三角形全等； 37．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 38．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 39．如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 题型十四：灵活选用判定方法证全等 解题思路：①整理题目全部已知边、角条件；②观察图形，提取公共边、公共角、对顶角等隐含条件；③结合条件，择优选用SSS、SAS、ASA、AAS；④若是直角三角形，优先考虑HL判定；⑤书写完整的全等证明过程； 40．下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 41．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有________对； 42．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 题型十五：倍长中线模型 解题思路：①识别题目中出现的三角形中线条件；②作倍长中线辅助线，延长中线至两倍长度；③构造出一组全等三角形；④利用全等完成线段、角度的转移；⑤把分散的线段、角集中，完成证明或计算； 43．如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 44．如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 45．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 题型十六：全等三角形综合 解题思路：①提取题干条件，挖掘图形隐含等量条件；②综合选用全等的各类判定定理完成证明；③利用全等性质转化边与角；④结合线段和差、角度运算进行推导；⑤按照规范格式书写完整证明步骤； 46．如图，在中，是上一点，于点于点，且是上一点，且．下列结论：①；②；③．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 47．图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 48．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 解答题 1．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 2．如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 3．已知，如图，，，， 求证：． 4．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由． 5．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6．如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 7．如图，，；有如下条件：①；②． (1)从①②中选一个作为已知条件，求证：； (2)若，，求点到点的距离． 8．在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形与三角形全等判定精讲学案 核心立意 本模块为几何证明核心内容，掌握全等概念、对应元素识别与全等性质；熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定定理，明确无效判定情形；掌握全等证明标准书写，挖掘图形隐含等量条件，利用全等完成线段、角度等量推导，建立严谨几何推理体系。 全等三角形基础概念 ①全等图形：能够完全重合的两个图形，形状、大小均相等。 ②全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形。 ③对应元素：重合顶点为对应顶点，重合边为对应边，重合角为对应角。 ④全等符号书写规则：记作ABC DEF，对应顶点字母必须按重合顺序书写，顺序直接决定对应关系。 ⑤全等变换：平移、翻折、旋转变换后的三角形与原三角形全等。 ⑥全等三角形性质：对应边相等，对应角相等；用于推导线段、角度等量关系。 全等三角形判定定理【考试核心】 ①SSS（边边边）：三边分别对应相等的两个三角形全等。 ②SAS（边角边）：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； ⚠️SSA（两边及其中一边的对角）不能判定三角形全等。 ③ASA（角边角）：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。 ④AAS（角角边）：两角分别相等，且一组等角的对边对应相等的两个三角形全等。 ⑤HL（斜边、直角边）：⚠️仅限直角三角形使用；斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；直角三角形同样适用SSS、SAS、ASA、AAS。 ⑥无效判定：AAA仅能判定三角形形状相同，无法判定全等。 图形隐含等量条件【解题抓手】 ①公共边、公共角、对顶角属于图形自带等量条件，解题时优先识别提取。 ②梳理题干已知条件，结合已挖掘的图形等量条件，筛选适配的全等判定定理，完成条件的匹配组合。 全等证明书写规范【格式得分点】 ①格式框架：在_ _ _与_ _ _中，罗列全部对应相等条件。 ②标注判定依据：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。 ③由全等推导线段、角度相等，注明依据：全等三角形对应边相等、对应角相等。 ④禁止逻辑跳步，条件罗列顺序与判定定理条件顺序保持一致。 重点辨析 ①全等符号顶点书写顺序直接锁定对应元素；可借助图形变换、公共边、公共角识别对应边、对应角。 ②SAS必须是两边的夹角；SSA不具备判定效力；HL不可用于普通三角形。 ③ASA的边是两角夹边，AAS的边是等角对边，二者可以互相推导。 ④⚠️判定用于证明三角形全等；性质用于由全等推导边、角相等，二者严禁混淆。 ⑤AAA只能判定三角形形状一致，不能判定全等。 【学生高频失分点】 ①全等符号顶点顺序书写错乱，造成对应边、对应角识别错误。 ②误用SSA判定三角形全等。 ③混淆ASA与AAS，分不清夹边与对边。 ④把HL定理用于普通三角形证明。 ⑤证明条件罗列顺序与判定定理条件顺序不一致。 ⑥忽略公共边、公共角、对顶角这类图形隐含条件。 ⑦混淆判定与性质，错把性质当作判定依据，或把判定当作性质使用。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念 ★ 题型三 全等三角形的性质 ★ 题型四 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型五 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型六 用 SSS 间接证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SSS 综合 ★★ 题型八 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型九 全等的性质和 SAS 综合 ★★ 题型十 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★★ 题型十一 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十三 添加条件使三角形全等 ★★★ 题型十四 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十五 倍长中线模型 ★★★★ 题型十六 全等三角形综合 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：图形的全等 解题思路：①判断两个图形全等，依据是两个图形能够完全重合；②全等图形要求形状、大小全部一致；③平移、翻折、旋转变换不改变图形的全等关系； 1．下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 2．下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 3．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意； C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意； D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 题型二：全等三角形的概念 解题思路：①依据全等三角形定义识别对应顶点、对应边、对应角；②书写全等符号时，对应顶点字母顺序必须保持一致；③字母书写顺序直接确定三角形的对应关系； 4．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 5．下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型三：全等三角形的性质 解题思路：①由三角形全等，推出对应边相等；②由三角形全等，推出对应角相等；③利用相等的边、角完成线段长度、角度大小的计算； 7．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，求解即可； 【详解】解：根据题意，得对的角是，对的角是，对的角是， 根据两个三角形全等，得对的角是， 故的度数是； 9．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：尺规作图 —— 作三角形 解题思路：①按照尺规作图的规范步骤完成作图；②作图原理依托SSS判定；③作图完成保留全部作图痕迹；④判断已知条件是否可以作出唯一三角形； 10．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 11．下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（三边分别相等的两个三角形全等） 故选：A． 12．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 题型五：用 SSS 证明三角形全等 解题思路：①在图形中寻找三组对应相等的边；②挖掘公共边这类隐含的等量条件；③按照规范格式，写出三组边相等条件；④依据SSS完成三角形全等证明； 13．如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：A． 14．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 15．年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据即可证明，可得； 【详解】解：在和中， ， ， ； 故选：A 题型六：用 SSS 间接证明三角形全等 解题思路：①梳理题干给出的线段条件；②利用线段和差、等式性质推导得到三组对应等边；③整理三组相等边的条件；④运用SSS判定证明三角形全等； 16．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 17．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为__________ 【答案】41° 【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF(SSS)， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°， 故答案为：41°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 18．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 题型七：全等的性质和 SSS 综合 解题思路：①寻找条件，使用SSS证明两个三角形全等；②利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等；③借助相等的边、角完成角度计算或者线段求解； 19．如图，已知，，，则图中有______对全等三角形，它们是______． 【答案】 ， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据已知利用，分别证明，，即可求解． 【详解】解：在与中， ，，， ， ， ， ， 在与中， ∵，，， ， 图中全等的三角形有对，它们分别是，． 故答案为：，，． 20．如图，在和中，点在边上，交于点，若，，，，则的度数为_______． 【答案】/54度 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 21．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 题型八：用 SAS 证明三角形全等 解题思路：①定位两组对应相等的边；②找到两组边之间的夹角，确认角为两边夹角；③挖掘公共角、对顶角作为相等角条件；④依据SAS完成全等证明； 22．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴． 23．在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图： ∵在和中， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24．如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 题型九：全等的性质和 SAS 综合 解题思路：①收集边、角条件，用SAS证明三角形全等；②根据全等得到对应边、对应角相等；③利用等量关系求解线段长度或者角度； 25．如图，是一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），其中两根钢条，的中点连在一起，量得A，B之间的距离为，，则内槽宽（的长度）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据O为和的中点，且即可判定，即可求得的长度． 【详解】解：连接，， ∵，的中点连在一起， ∴，， ∵， ∴， 即， 故． 26．如图所示，，，，，，则__________． 【答案】/度 【分析】证明，得到，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 27．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 【详解】解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 题型十：用 ASA（AAS）证明三角形全等 解题思路：①区分ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及其中一角对边）；②从题干、图形中提取两组对应相等的角；③找出对应的相等边，区分夹边与对边；④选用ASA或者AAS完成三角形全等证明； 28．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析被墨迹污染后的三角形剩余部分的特征，并结合全等三角形的判定定理来判断． 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 29．如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 30．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 题型十一：全等的性质和 ASA（AAS）综合 解题思路：①利用ASA或AAS证明三角形全等；②通过全等得到对应边、对应角相等；③进行角度换算、线段等量转换，完成推理计算； 31．如图，已知，，，则图中长度与线段长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在中， ∴ ∴， 故选：B． 32．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 【答案】 【详解】解：由题意知：， ， 米． 33．如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型十二：利用全等图形求正方形网格中角度之和 解题思路：①在正方形网格中识别构造出的全等图形；②利用全等图形对应角相等做角度等量代换；③把分散的角进行拼接合并；④计算角度的总和； 34．如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 35．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 36．如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十三：添加条件使三角形全等 解题思路：①梳理题目已经给出的边、角已知条件；②分析现有条件，明确还缺少的等量条件；③结合SSS、SAS、ASA、AAS判定定理补充条件；④核对补充条件可以推导出三角形全等； 37．如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 38．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 39．如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析条件可知，，根据三角形全等判定条件确定． 【详解】解：根据题意知，， A，，满足，可证全等，不符合题意； B，，则，满足，不符合题意； C，，满足，可证全等，不符合题意； D，，不满足任一判定条件，不能证全等，符合题意． 题型十四：灵活选用判定方法证全等 解题思路：①整理题目全部已知边、角条件；②观察图形，提取公共边、公共角、对顶角等隐含条件；③结合条件，择优选用SSS、SAS、ASA、AAS；④若是直角三角形，优先考虑HL判定；⑤书写完整的全等证明过程； 40．下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与全等，甲与不全等． 【详解】解：在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和全等； 在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和全等； 不能判定甲与全等； 故选：B． 41．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有________对； 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，共有4对全等三角形； 故答案为：4． 42．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系和全等三角形的判定定理，能满足全等判定且可构成三角形的条件，即可画出唯一三角形． 【详解】解：A、已知，，，属于条件，不能唯一确定三角形，因此A不符合要求； B、已知和，条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符合要求； C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要求； D、已知三边长，，，，，，满足三角形三边关系， 根据全等判定，三边确定即可画出唯一，因此D符合要求． 题型十五：倍长中线模型 解题思路：①识别题目中出现的三角形中线条件；②作倍长中线辅助线，延长中线至两倍长度；③构造出一组全等三角形；④利用全等完成线段、角度的转移；⑤把分散的线段、角集中，完成证明或计算； 43．如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．如图，延长到，使，连接，证明，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 44．如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 45．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 题型十六：全等三角形综合 解题思路：①提取题干条件，挖掘图形隐含等量条件；②综合选用全等的各类判定定理完成证明；③利用全等性质转化边与角；④结合线段和差、角度运算进行推导；⑤按照规范格式书写完整证明步骤； 46．如图，在中，是上一点，于点于点，且是上一点，且．下列结论：①；②；③．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可判断①②，条件不足，无法判断③． 【详解】解：∵，， ∴， 在Rt和Rt中， ∴Rt≌Rt（HL）， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵条件不足， ∴无法判断：，故③错误． 故选：B． 47．图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：三角形①知道三个角的大小，知道两条边的大小，可利用，，作图； 三角形②知道两个角的大小，且知道这两个角的夹边的大小，可利用作图； 三角形③只知道一个角的大小，不能作出与③完全相同的三角形； ∴说法错误的是， 故选：． 48．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 解答题 1．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（）根据全等三角形对应边相等求解即可； （）根据全等三角形对应角相等得，则可求，进而根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 又， ， ． 2．如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先证出，则可得，再证出，由此即可得证． 【详解】略． 3．已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 4．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)，理由： ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)∵，，， ∴． (2) 【分析】（1）根据的判定方法进行证明，即可作答． （2）先结合全等三角形的性质得，，运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 则． 6．如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 【答案】② 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】由可得，选择①时，可得，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论；选择②，可由证明两个三角形全等，得到，可证明结论；选择③时，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论． 【详解】略 7．如图，，；有如下条件：①；②． (1)从①②中选一个作为已知条件，求证：； (2)若，，求点到点的距离． 【答案】(1) 选择①， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 选择②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)8 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质． （1）选择①，根据可证明；选择②，根据可证明； （2）根据平行线的性质得，再由，得是等边三角形，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即点到点的距离为8． 8．在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1)证明：在上截，连接， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； (2)当时， 当时， 的度数为或 【分析】（1）在上截，连接，证明，可得，再根据线段的加减即可解答； （2）分三种情况，即当时，当时，当时，分别画出图形，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，图1为示意图，延长到，使，连接， ， ，． 为的角平分线， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，且， ，解得； ②当时，图2为示意图，延长到，使，连接， 同理可得， ， ， ， 在中，且， ，解得； ③当时， 根据三线合一，为的高， ， ， 即与无交点，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $