1.2 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕常用逻辑用语，覆盖充分必要条件判定与应用、全称量词与存在量词等高考核心考点，按“定义-判定-应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生突破交汇问题难点，体现复习系统性与针对性。 资料以逻辑推理和数学运算素养为导向，创新采用一题多变、多维探究教学法，如用集合法判定充分必要条件，通过“改量词，否结论”规律突破命题否定。设置基础到拓广分层练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

1．2　常用逻辑用语 课标要求 考情分析 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． ◎考点考法：本部分内容常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低频考点．多以选择题、填空题或解答题中某一部分的形式呈现，属于低档题． ◎核心素养：数学运算、逻辑推理． 1．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假． 1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0 C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0 解析　由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确． 答案　B 2．设命题p：∃x0＞0，sin x0＞1＋cos x0，则¬p为(　　) A．∀x≤0，sin x＞1＋cos x B．∀x＞0，sin x＜1＋cos x C．∀x＞0，sin x≤1＋cos x D．∀x≤0，sin x≤1＋cos x 答案　C 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R，2x＜0 D．∃x∈R，tan x＝2 解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；因为2x＞0，所以C选项错误；因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确． 答案　BD 4．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立； 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立； 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 故选B. 答案　B 5．若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意得∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得实数a的取值范围为(－∞，－8]∪[0，＋∞). 答案　(－∞，－8]∪[0，＋∞) 考点一　充分、必要条件的判定 重难考点　师生共研 (1)(2024·枣庄二模)已知a>0，b>0，则“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设m，n为非零向量，则“m·n<0”是“存在负数λ，使得m＝λn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)若a>0，b>0，a＋b>2，则a2＋b2≥(a＋b)2>2，充分性成立； 若a2＋b2>2，可能a＝，b＝0.1，此时a＋b<2，所以必要性不成立． 综上所述，“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的充分不必要条件．故选A． (2)由m·n<0，可得m，n的夹角为钝角或180°，不能推出m＝λn； 由存在负数λ，使得m＝λn，可得m，n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－<0， 所以“m·n<0”是“存在负数λ，使得m＝λn”的必要不充分条件，故选B. [答案]　(1)A　(2)B 充分、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 1．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选B. 答案　B 2．已知p：ln (a－1)>0，q：∃x>0，≤a，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由ln (a－1)>0，得⇒a>2. 设p：A＝{a|ln (a－1)>0}＝. 由∃x>0，≤a的否定为∀x>0，>a， 令f(x)＝＝x＋≥2，当且仅当x＝时，又x>0，即x＝1时等号成立， 若∀x>0，>a，则a<2， 若∃x>0，≤a，则a≥2， 设q：B＝，因为， 所以p⇒q且q p， 所以p是q的充分不必要条件，故选A． 答案　A 考点二　充分、必要条件的应用 一题多变　母题探究 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求实数m的取值范围． [解析]　由题意知A＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A． 则解得0≤m≤3. 即实数m的取值范围是[0，3]. (变条件)本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围． 解析　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件， ∴AB， 则或解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞). 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解． 1．(多选)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．0＜x＜2 C．x＜2 D．0＜x≤2 解析　由≥1得0＜x≤2，依题意知，由选项组成的集合应是(0，2]的真子集，故选AB. 答案　AB 2．已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则(　　) A．a≥ B．0<a≤ C．a>2 D．0<a≤2 解析　命题p：1<2x<4，即p：0<x<2， 因为p是q的充分不必要条件，显然当x＝0时满足q：x2－ax－1<0， 所以当0<x<2时x2－ax－1<0恒成立， 则a>x－当0<x<2时恒成立， 又函数f(x)＝x－在(0，2)上单调递增，且f(2)＝，所以a≥.故选A． 答案　A 考点三　全称量词与存在量词　多维探究　发散思维 角度1　含量词的命题的否定 (1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定为(　　) A．∃x∈Z，|x|∉N B．∀x∈Z，|x|∉N C．∃x∉Z，|x|∉N D．∀x∉Z，|x|∉N [解析]　(1)根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”． (2)∵全称量词命题的否定是存在量词命题， ∴命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定为“∃x∈Z，|x|∉N”．故选A． [答案]　(1)B　(2)A 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词． (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 角度2　含量词的命题的真假判断 (多选)下列命题为假命题的是(　　) A．∃x∈R，ln (x2＋1)＜0 B．∀x＞2，2x＞x2 C．∃α，β∈R，sin (α－β)＝sin α－sin β D．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x [解析]　因为x2＋1≥1，所以ln (x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin (α－β)＝sin α－sin β，故C是真命题；当x＝∈(0，π)时，sin x＝，cos x＝，sin x＜cos x，故D是假命题，故选ABD. [答案]　ABD 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可． (2)存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题． 角度3　含量词的命题的应用 若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________． [解析]　命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤. [答案]　[－，] 根据命题的真假求参数的值(范围)的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 解析　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2”． 答案　D 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，－x2－1＜0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得＝ 解析　∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1＜0，故A项是真命题； 当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题； 任何一个圆的圆心到其切线的距离都等于半径，故C项是真命题； 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， 所以≤＜，故D项是假命题． 答案　ABC 3．“m＞2”是“∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1＞0为真命题”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1＞0，则Δ＝4(m－1)2－4(m2－1)＜0，解得m＞1，因为(2，＋∞)(1，＋∞)，所以“m＞2”是“∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1＞0为真命题”的充分不必要条件．故选A． 答案　A A级　基础过关 1．命题“∃x∈R，1＜f(x)≤2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，1＜f(x)≤2 B．∃x∈R，1＜f(x)≤2 C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2 D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．故选D. 答案　D 2．(2025·榆林模拟)已知a为实数，则“a＋≥2”是“0<a≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当a＝2时，a＋＝≥2成立，故充分性不成立；当0<a≤1时，a＋≥2＝2，当且仅当a＝1时，等号成立，故必要性成立．故选B. 答案　B 3．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝xf(x).设p：f(x)是增函数，q：g(x)是增函数，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若f(x)＝x＋a，则g(x)＝x， 可知g(x)在定义域上并不是增函数，故p不是q的充分条件； 若g(x)＝x3，易得g(x)是增函数，此时f(x)＝x2在定义域上并不是增函数， 故p不是q的必要条件． 综上可知，p是q的既不充分也不必要条件． 故选D. 答案　D 4．(2025·北京大兴模拟)已知直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋1)2＋y2＝r2，则“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　易知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的圆心为C(－1，0)，半径为r， 当∀k∈R，直线l与圆C有公共点时，≤r恒成立，即(r2－1)k2＋2k＋r2－1≥0恒成立，则r2－1>0且Δ＝4－4(r2－1)2≤0，解得r2－1≥1，即r≥ 或r≤－(舍去)， 所以“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>”的必要不充分条件，故选B. 答案　B 5．“a＜1”是“函数f(x)＝log2[(1－a)x－1]在区间(1，＋∞)上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　令u＝(1－a)x－1，y＝log2u， 若f(x)＝log2[(1－a)x－1]在(1，＋∞)上单调递增， 因为y＝log2u是(1，＋∞)上的增函数， 则需使u＝(1－a)x－1是(1，＋∞)上的增函数且u＞0， 则1－a＞0且1－a－1≥0，解得a≤0. 因为(－∞，0](－∞，1)，故“a＜1”是“函数f(x)＝log2[(1－a)x－1]在区间(1，＋∞)上单调递增”的必要不充分条件，故选C. 答案　C 6．设p：4x－3＜1；q：x－(2a＋1)＜0.若p是q的充分不必要条件，则(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a≥0 D．a≥1 解析　p：x＜1，q：x＜2a＋1.依题意得2a＋1＞1，解得a＞0.故选A． 答案　A 7．(多选)已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是(　　) A．p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0” B．q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1＞0” C．若p为假命题，则a的取值范围是(－∞，－5) D．若q为真命题，则m的取值范围是(－2，2) 解析　A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确； C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ1＝4－4(a＋6)＜0，得a＞－5，C不正确； D选项，q为真命题，则Δ2＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确．故选AD. 答案　AD 8．使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是________． 解析　由于4x＝22x，故2x＞22x等价于x＞2x，解得x＜0，故使得“2x＞4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x＜0}的非空子集即可． 答案　x＜－1(答案不唯一) B级　能力提升 9．(多选)下列说法中正确的有(　　) A．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≥0 B．“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件 C．命题“∀x∈Z，x2>0”是真命题 D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件 解析　对于A，命题p的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≥0，故A正确． 对于B，|x|>|y|不能推出x>y，例如|－2|>|1|，但－2<1，x>y也不能推出|x|>|y|，例如2>－3，而|2|<|－3|，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故B错误． 对于C，当x＝0时，x2＝0，故C错误． 对于D，关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，则解得m<0，所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件，故D正确．故选AD. 答案　AD 10．已知函数sgn (x)＝则“sgn ＋sgn ＝0”是“x>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为sgn (x)＝ 当sgn ＋sgn ＝0时，取x＝－，则ex－1<0，－x＋1>0， 此时sgn ＋sgn ＝－1＋1＝0，则x>1不成立，即充分性不成立； 当x>1时，ex－1>0，－x＋1<0， 所以sgn ＋sgn ＝1－1＝0，即必要性成立， 所以“sgn ＋sgn ＝0”是“x>1”的必要不充分条件．故选B. 答案　B 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a＞b”是“A＋cos A＞B＋cos B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　在△ABC中，若a＞b，则根据大边对大角可得A＞B. 设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)， 则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)，sin x∈(0，1]， ∴f′(x)≥0， ∴f(x)在(0，π)上单调递增， ∴a＞b⇔A＞B⇔f(A)＞f(B)⇔A＋cos A＞B＋cos B. 答案　C 12．(多选)下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是(　　) A．xc2＞yc2 B．＜＜0 C．|x|＞|y| D．ln x＞ln y 解析　对于A选项，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之若x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由＜＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出＜＜0(因为x，y的正负不确定)，所以“＜＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由|x|＞|y|可得x2＞y2，则(x＋y)(x－y)＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出|x|＞|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确． 答案　ABD 13．已知命题p：∃x∈{x|1＜x＜2}，x－a≥0.若¬p是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析　若命题p为真命题，则∃x∈{x|1＜x＜2}，a≤x，即a＜2.又¬p是真命题，即命题p为假命题，即a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 14．已知α：x＜2m－1或x＞－m，β：x＜2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________． 解析　设A＝{x|x＜2m－1，或x＞－m}， B＝{x|x＜2，或x≥4}， 若α是β的必要条件，则B⊆A， 当2m－1＞－m，即m＞时，此时A＝R，B⊆A成立； 当2m－1≤－m，即m≤时，若B⊆A，此时无解． 综上，m＞. 答案　 C级　拓广探索 15．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是________． 解析　若命题p为真命题，则∀x∈[1，2]，a≤x2恒成立， 又当x∈[1，2]时，x2的最小值为1，所以a≤1； 若命题q为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1， 所以实数a的取值范围是a≤－2或a＝1. 答案　(－∞，－2]∪{1} 16．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)＞g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析　由题意知，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min＞g(x)max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是(－∞，0). 答案　(－∞，0) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．2　常用逻辑用语 课标要求 考情分析 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． ◎考点考法：本部分内容常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低频考点．多以选择题、填空题或解答题中某一部分的形式呈现，属于低档题． ◎核心素养：数学运算、逻辑推理． 1．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假． 1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0 C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0 2．设命题p：∃x0＞0，sin x0＞1＋cos x0，则¬p为(　　) A．∀x≤0，sin x＞1＋cos x B．∀x＞0，sin x＜1＋cos x C．∀x＞0，sin x≤1＋cos x D．∀x≤0，sin x≤1＋cos x 答案　C 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R，2x＜0 D．∃x∈R，tan x＝2 4．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 考点一　充分、必要条件的判定 重难考点　师生共研 已知a>0，b>0，则“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设m，n为非零向量，则“m·n<0”是“存在负数λ，使得m＝λn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 充分、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 1．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知p：ln (a－1)>0，q：∃x>0，≤a，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二　充分、必要条件的应用 一题多变　母题探究 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求实数m的取值范围． (变条件)本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围． 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解． 1．(多选)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．0＜x＜2 C．x＜2 D．0＜x≤2 2．已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则(　　) A．a≥ B．0<a≤ C．a>2 D．0<a≤2 考点三　全称量词与存在量词　多维探究　发散思维 角度1　含量词的命题的否定 (1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定为(　　) A．∃x∈Z，|x|∉N B．∀x∈Z，|x|∉N C．∃x∉Z，|x|∉N D．∀x∉Z，|x|∉N 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词． (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 角度2　含量词的命题的真假判断 (多选)下列命题为假命题的是(　　) A．∃x∈R，ln (x2＋1)＜0 B．∀x＞2，2x＞x2 C．∃α，β∈R，sin (α－β)＝sin α－sin β D．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可． (2)存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题． 角度3　含量词的命题的应用 若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 根据命题的真假求参数的值(范围)的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，－x2－1＜0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得＝ 3．“m＞2”是“∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1＞0为真命题”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A级　基础过关 1．命题“∃x∈R，1＜f(x)≤2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，1＜f(x)≤2 B．∃x∈R，1＜f(x)≤2 C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2 D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2 2．已知a为实数，则“a＋≥2”是“0<a≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝xf(x).设p：f(x)是增函数，q：g(x)是增函数，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋1)2＋y2＝r2，则“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“a＜1”是“函数f(x)＝log2[(1－a)x－1]在区间(1，＋∞)上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设p：4x－3＜1；q：x－(2a＋1)＜0.若p是q的充分不必要条件，则(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a≥0 D．a≥1 7．(多选)已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是(　　) A．p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0” B．q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1＞0” C．若p为假命题，则a的取值范围是(－∞，－5) D．若q为真命题，则m的取值范围是(－2，2) 8．使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是________． B级　能力提升 9．(多选)下列说法中正确的有(　　) A．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≥0 B．“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件 C．命题“∀x∈Z，x2>0”是真命题 D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件 10．已知函数sgn (x)＝则“sgn ＋sgn ＝0”是“x>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a＞b”是“A＋cos A＞B＋cos B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．(多选)下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是(　　) A．xc2＞yc2 B．＜＜0 C．|x|＞|y| D．ln x＞ln y 13．已知命题p：∃x∈{x|1＜x＜2}，x－a≥0.若¬p是真命题，则实数a的取值范围是________． 14．已知α：x＜2m－1或x＞－m，β：x＜2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________． C级　拓广探索 15．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是________． 16．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)＞g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $