专题1.2 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语专题，涵盖充分条件与必要条件（含集合联系）、全称量词与存在量词命题及否定等核心考点，按逻辑关系分层梳理，通过考点定义解析、典型例题精讲、高考真题训练等环节，帮助学生构建逻辑知识体系，突破条件判断与命题否定难点。 讲义突出逻辑推理与符号表达，如用集合包含关系直观理解充分必要条件，培养数学思维；规范量词命题否定的符号语言转换，提升数学语言表达能力。设计“定义辨析-例题建模-分层练习”教学活动，基础题巩固概念，综合题强化应用，确保高效复习，助力学生形成逻辑解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

专题1.2 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件和必要条件 充分条件与必要条件和集合的联系，设，，则： 1.p是q的充分条件：则，. 2.p是q的必要条件：则，. 3.p是q的充要条件，则且，. 4.p是q的充分不必要条件，则且，. 5.p是q的必要不充分条件，则且，. 6.p是q的既不充分也不必要条件则且，且. 例1.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 解：解得.是的充分不必要条件.故答案为：. 例2.已知”“是“函数在上单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：.在递增在恒成立. 能推出，反之不成立，故为充分不必要条件.故选：A. 例3.已知：方程有两个不等负实数根；：方程无实数根.若为真且为真，求实数的取值范围. 解：真：； 真：； 取交集得.所以实数的取值范围为（2,3）. 例4.已知向量,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为，，所以，， 当时，，即， 解得：所以“”是的充分不必要条件.故选：A. 例5.若,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：充分性：因为，且，所以，所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且，所以，即， 即，所以. 所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件. 1.设是向量,则是“或”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为，可得， 即，可知等价于， 若或，可得，即， 可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 2.已知命题，命题，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：解，移项通分得，解得或. 可推出，不能推出，故为充分不必要条件.故选：A. 3.记为数列的前项和, 设甲:为等差数列; 乙:为等差数列, 则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：甲：为等差数列，设数列的首项公差为即 则 因此为等差数列,即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，设, 即，， 当时，上两式相减得：， 当时，上式成立，于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选：C. 4.等比数列的公比为，前项和为，设甲: ，乙: 是递增数列，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：由题意得：当数列为 时, 满足 , 但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件. 若是递增数列,则必有成立,若不成立, 则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则成立,所以甲是乙的必要条件. 故选: B. 5.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在 上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在 上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A. 6.“函数在上单调递增”是”“的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：二次函数对称轴，在递增，二者等价.故选：C. 7. 设,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为可得:当时, ,充分性成立; 当时, ,必要性不成立;所以当, 是的充分不必要条件. 故选: A. 8. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：方法一：方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是.显然 “”是“”既不充分也不必要条件，故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件. 方法二：当时，满足“”，此时题中方程可化为：，表示的曲线是圆而不是椭圆. 当时，不满足“”，此时题中方程可化为：，，表示中心在原点，半长轴为，半短轴为的椭圆，故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，故选：D. 9.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 解：，. 是的必要不充分条件且，即. 列不等式，解得. 1.2.2 全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词和存在量词 （1）全称量词：“所有的、任意一个” ，符号“∀”.含有全称量词的命题是全称量词命题.命题形式：“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”. （2）存在量词：“存在一个、至少有一个”，符号“∃”.含有存在量词的命题是存在量 词命题.命题形式：“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定： （1）全称量词命题的否定：全称量词命题∀x∈M，p(x)，否定为：∃x∈M，p(x). （2）存在量词命题的否定：存在量词命题∃x∈M，p(x)，否定为：∀x∈M，p(x). 例1.下列命题中的假命题是( ) A. B. C. D. 解：对于A,因为指数函数的值域为,所以，A对; 对于B, 当时,，B对; 对于C,当时,, C错; 对于D,当时, , D对.故选: C. 例2.命题”“的否定是（ ） A. B. C. D. 解：根据存在量词命题的否定规则，“”的否定为”“.原命题中为”“，其否定为”“，因此原命题的否定为”“.故选：A. 例3.已知命题：，若命题是真命题，求实数的取值范围. 解：命题为真命题，等价于“对所有，恒成立”，即对所有恒成立.令，，则在区间上单调递增，因此的最小值为.要使恒成立，只需，故实数的取值范围是. 例4.已知命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0，命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0．若命题p为真 命题，则a的取值范围为 ；若p是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围为 ． 解：①因为命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0为真命题，所以Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2． 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． ②若p是假命题，则﹣2＜a＜2，因为命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0是真命题， 所以在x∈[0，3]上恒成立．令t＝x+1，则x＝t﹣1，t∈[1，4]， 则，当且仅当时取等号， 所以，所以．综上所述：． 故实数a的取值范围． 1.下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A.有些实数没有平方根 B.存在一个整数，它既是偶数又是质数 C.所有的矩形都是平行四边形 D.有一个实数，使得 解：全称量词命题的特征是含有“所有、任意、全部”等全称量词.选项C中“所有的矩形”符合全称量词命题的定义；A、B、D均含有“有些、存在、有一个”等存在量词，属于存在量词命题.故选：C. 2.下列命题中，是存在量词命题的是（ ） A.任意一个三角形的内角和都是 B.对所有的实数，都有 C.存在实数，使得 D.对任意的无理数，也是无理数 解：存在量词命题的特征是含有“存在、有一个、至少有一个”等存在量词.选项C中“存在实数“符合存在量词命题的定义；A、B、D均为全称量词命题.故选：A. 3.命题”是偶数”的符号语言含义是（ ） A.所有的整数都是偶数 B.存在一个整数，是偶数 C.所有的偶数都是整数 D.存在一个偶数，是整数 解：符号”“表示“存在一个、至少有一个”，表示是整数，因此该命题的含义为“存在一个整数，是偶数”.故选：B. 4.命题 , 命题 ,则( ) A.真真 B.假假 C.假真 D.真假 解：对于命题:令 ,则开口向上,对称轴为：, 且,则,所以, ,即命题为真命题; 对于命题:因为,所以方程无解,即命题为假命题. 故选: D. 5.已知命题;命题,则( ) A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 解：对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题. 故选: B. 6.命题“,函数在上单调递增”的否定为( ) A.,函数在上单调递减 B.,函数在上不单调递增 C.,函数在上单调递减 D.,函数在上不单调递增 解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，函数在上单调递增” 的否定为“，函数在上不单调递增”.故选：B. 7.已知命题：是真命题，求实数的取值范围. 解：命题为真命题，等价于“对所有实数，恒成立”，需分两种情况讨论： 当时，原不等式化为，即，并非对所有实数恒成立，因此不符合条件； 当时，是二次函数，要使其对所有实数恒大于0，需满足： ，解得. 综上，实数的取值范围是[1,+∞）. 8.已知命题p：∀2≤x≤3，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a＝0． （1）若命题￢p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和￢q均为真命题，求实数a的取值范围． 解：（1）若命题¬p为假命题，则命题p为真命题， 即a≤x2在x∈[2，3]恒成立，所以a≤（x2）min＝4， 即实数a的取值范围是（﹣∞，4]． （2）当命题q为真命题时，因为∃x∈R，x2+2ax+2a＝0， 所以Δ＝4a2﹣8a≥0，解得a≤0或a≥2， 因为¬q为真命题，则0＜a＜2， 又由（1）可知，命题p为真命题时a≤4， 所以a≤4且0＜a＜2，即实数a的取值范围是（0，2）． 9.已知命题：，命题：，若命题和中至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 解：①命题为真，等价于“对所有，恒成立”， 即对所有恒成立. 令，，则在区间上单调递增， 因此的最小值为. 要使恒成立，只需，即为真时. ②命题为真，等价于“方程有实数解”， 判别式，解得，即为真时. 命题和中至少有一个为真，等价于”为真或为真”. 当时，为真且为真，满足条件； 当时，为假（因为），且为假（因为），不满足条件. 因此，“至少一个为真命题”时，. 综上：实数的取值范围为（-∞，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件和必要条件 充分条件与必要条件和集合的联系，设，，则： 1.p是q的充分条件：则，. 2.p是q的必要条件：则，. 3.p是q的充要条件，则且，. 4.p是q的充分不必要条件，则且，. 5.p是q的必要不充分条件，则且，. 6.p是q的既不充分也不必要条件则且，且. 例1.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 例2.已知”“是“函数在上单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例3.已知：方程有两个不等负实数根；：方程无实数根.若为真且为真，求实数的取值范围. 例4.已知向量,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例5.若,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.设是向量,则是“或”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知命题，命题，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.记为数列的前项和, 设甲:为等差数列; 乙:为等差数列, 则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.等比数列的公比为，前项和为，设甲: ，乙: 是递增数列，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“函数在上单调递增”是”“的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 设,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1.2.2 全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词和存在量词 （1）全称量词：“所有的、任意一个” ，符号“∀”.含有全称量词的命题是全称量词命题.命题形式：“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”. （2）存在量词：“存在一个、至少有一个”，符号“∃”.含有存在量词的命题是存在量 词命题.命题形式：“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定： （1）全称量词命题的否定：全称量词命题∀x∈M，p(x)，否定为：∃x∈M，p(x). （2）存在量词命题的否定：存在量词命题∃x∈M，p(x)，否定为：∀x∈M，p(x). 例1.下列命题中的假命题是( ) A. B. C. D. 例2.命题”“的否定是（ ） A. B. C. D. 例3.已知命题：，若命题是真命题，求实数的取值范围. 例4.已知命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0，命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0．若命题p为真 命题，则a的取值范围为 ；若p是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围为 ． 1.下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A.有些实数没有平方根 B.存在一个整数，它既是偶数又是质数 C.所有的矩形都是平行四边形 D.有一个实数，使得 2.下列命题中，是存在量词命题的是（ ） A.任意一个三角形的内角和都是 B.对所有的实数，都有 C.存在实数，使得 D.对任意的无理数，也是无理数 3.命题”是偶数”的符号语言含义是（ ） A.所有的整数都是偶数 B.存在一个整数，是偶数 C.所有的偶数都是整数 D.存在一个偶数，是整数 4.命题 , 命题 ,则（ ） A.真真 B.假假 C.假真 D.真假 5.已知命题;命题,则（ ） A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 6.命题“,函数在上单调递增”的否定为（ ） A.,函数在上单调递减 B.,函数在上不单调递增 C.,函数在上单调递减 D.,函数在上不单调递增 7.已知命题：是真命题，求实数的取值范围. 8.已知命题p：∀2≤x≤3，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a＝0． （1）若命题￢p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和￢q均为真命题，求实数a的取值范围． 9.已知命题：，命题：，若命题和中至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $