专题1.1 集合（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦集合的概念、关系及运算三大核心考点，按“概念-关系-运算”递进逻辑梳理知识，通过知识点系统梳理、8类题型分类精讲、高考真题变式训练等环节，帮助学生构建集合知识网络，突破元素互异性、子集个数等高频难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以分层训练为特色，每个题型配例题及3个变式题，结合Venn图、数轴等工具培养学生数学眼光与几何直观。如通过元素互异性辨析训练抽象能力，集合运算题用数轴强化逻辑推理，助力学生高效掌握基础题解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题1.1 集合（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)集合的概念 (2)集合间的基本关系 (3)集合的基本运算 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 集合 新课标I卷：第1题，5分 新课标Ⅱ卷：第2题，5分 新课标I卷：第1题，5分 全国一卷：第2题，5分 全国二卷：第3题，5分 北京卷：第1题，4分 天津卷：第1题，5分 命题规律分析 1、集合 集合是高考数学中的必考考点和热点问题，新高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大。高考中常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识；一般出现在高考的单选题的前3题中，高考中一般只考1题，以基础题为主。 知识点1 集合的概念考点1 集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 1．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3 集合的基本运算 1．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 2．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合中元素的个数问题】 【例2】（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式2-1】（2026·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（2026·福建宁德·二模）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【题型3 求集合的子集（真子集）的个数】 【例3】（2026·四川成都·模拟预测）若，则A的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式3-2】（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2026·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·河北唐山·模拟预测）已知集合，或，则（　　） A． B．0 C． D． 【变式4-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 集合的交、并、补集运算】 【例6】（2026·河北雄安·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·甘肃白银·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】（2026·天津河西·三模）已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（2025·全国·模拟预测）集合，集合，若，则（    ） A．3 B． C． D．9 【变式7-1】（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）若集合，，且，则（   ） A． B． C． D．或0 【变式7-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2026·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【变式8-3】（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2025·广东江门·模拟预测）设，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 7．（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，则中元素的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 10．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 三、填空题 12．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为__________． 13．（2025·上海嘉定·一模）已知集合，，则 __________． 14．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个. 四、解答题 15．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 16．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 17．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 18．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 19．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)集合的概念 (2)集合间的基本关系 (3)集合的基本运算 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 集合 新课标I卷：第1题，5分 新课标Ⅱ卷：第2题，5分 新课标I卷：第1题，5分 全国一卷：第2题，5分 全国二卷：第3题，5分 北京卷：第1题，4分 天津卷：第1题，5分 命题规律分析 1、集合 集合是高考数学中的必考考点和热点问题，新高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大。高考中常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识；一般出现在高考的单选题的前3题中，高考中一般只考1题，以基础题为主。 知识点1 集合的概念考点1 集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 1．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3 集合的基本运算 1．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 2．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值. 【解答过程】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 故选：C. 【变式1-1】（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【解答过程】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 故选：C. 【变式1-2】（2026·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【解答过程】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 【题型2 集合中元素的个数问题】 【例2】（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解题思路】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【解答过程】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 【变式2-1】（2026·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解答过程】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 【变式2-2】（2026·福建宁德·二模）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】根据交集的定义求出集合即可. 【解答过程】因为集合，集合， 所以，所以中元素的个数为3. 故选：C. 【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【解题思路】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【解答过程】，共6个元素. 故选：C. 【题型3 求集合的子集（真子集）的个数】 【例3】（2026·四川成都·模拟预测）若，则A的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解题思路】根据真子集的定义求解即可. 【解答过程】因为集合，所以的真子集有共7个. 故选：C. 【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【解答过程】解：由题意可得，共3个. 故选：A. 【变式3-2】（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况. 【解答过程】集合，， 所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确． 故选：C. 【变式3-3】（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【解题思路】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【解答过程】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 故选：A. 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2026·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【解答过程】因为集合,， 则. 故选：A. 【变式4-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【解答过程】因为集合， ，故， 故选：B. 【变式4-2】（2025·河北唐山·模拟预测）已知集合，或，则（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解题思路】先化简集合，然后根据选项验证即可. 【解答过程】因为，所以或，显然，其余选项均不正确. 故选：A. 【变式4-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 【解答过程】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A. 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【解答过程】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 故选：D. 【变式5-1】（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，分、，结合进行求解． 【解答过程】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 故选：C. 【变式5-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【解答过程】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此. 故选：B. 【变式5-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由子集的定义，解不等式可得结果. 【解答过程】由，可得，解得. 故选：D. 【题型6 集合的交、并、补集运算】 【例6】（2026·河北雄安·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助交集定义即可得. 【解答过程】，又， 则. 故选：C. 【变式6-1】（2026·甘肃白银·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由并集的概念求解即可. 【解答过程】由题意得. 故选：D. 【变式6-2】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用交集的运算法则直接运算出，即得答案. 【解答过程】由题意得：， 则中元素的个数为2， 故选：C. 【变式6-3】（2026·天津河西·三模）已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用集合交集和补集的定义与运算，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得， 又由集合，所以. 故选：A. 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（2025·全国·模拟预测）集合，集合，若，则（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【解题思路】由题知，则，然后解方程检验即可． 【解答过程】， 则，解得， 当时，，，符合题意； ． 故选：C． 【变式7-1】（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【解答过程】因为，所以， 结合集合元素的互异性，可得或， 解得或． 故选：B． 【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）若集合，，且，则（   ） A． B． C． D．或0 【答案】B 【解题思路】对集合B进行分类讨论，再根据两集合的交集判断可得. 【解答过程】由集合，分三类情况： ①当时，，则，显然不满足. ②当，则，如图，也不满足.    ③当，则，由，得，即.如图：    故选：B. 【变式7-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过和两类情况讨论即可. 【解答过程】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2026·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题中的定义求解即可. 【解答过程】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 【变式8-1】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解题思路】根据定义先求，进而求解. 【解答过程】由题意得：， 所以. 故选：D. 【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【解题思路】由集合新定义确定，即可求解. 【解答过程】由题意， 所以的子集个数为， 故选：B. 【变式8-3】（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由集合新定义确定，得到，，即可求解. 【解答过程】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 故选：B. 一、单选题 1．（2025·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合交集的概念及运算法则计算即可. 【解答过程】由题意知. 又， 所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【解题思路】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【解答过程】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B. 3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【解答过程】依题意可得，所以. 故选：A. 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【解答过程】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D. 5．（2025·广东江门·模拟预测）设，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得. 【解答过程】由题设， ，则. 故选：D. 6．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【解题思路】由知集合中必有元素1，分两种情况讨论即可． 【解答过程】∵，∴集合中必有元素1． ①当时，． 集合，，满足条件． ②当时：，集合，那么，不满足，∴舍去． 综上，， 故选：A． 7．（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用集合之间的关系，得出或，求解后，需要留意元素的互异性即可． 【解答过程】由于，故， 由知或， 即或， 注意到，故由元素互异性知，故， 故选：C． 8．（2025·江苏·模拟预测）已知集合，则中元素的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据交集的运算，可得答案. 【解答过程】由，则. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【解题思路】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【解答过程】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【解答过程】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 三、填空题 12．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为__________． 【答案】3 【解题思路】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【解答过程】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 13．（2025·上海嘉定·一模）已知集合，，则 __________． 【答案】 【解题思路】根据题意结合集合的并集运算求解即可, 【解答过程】因为集合，， 所以. 故答案为：. 14．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个. 【答案】7 【解题思路】结合子集和真子集的概念求解即可. 【解答过程】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 四、解答题 15．（2025高一上·安徽六安·专题练习）已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【解答过程】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 16．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出集合，再根据得出即可求解； （2）先根据及，得出集合，再列式计算求参. 【解答过程】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 17．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【解题思路】（1）解分式不等式求得集合，进而求得，可求和． （2）由题意可得，分与讨论，列出不等式，计算可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由，得，所以，所以 所以，解得， 所以，所以， 当时，， 所以，或； （2）由，则，由（1）可知 若，则，解得，满足； 若，由，得，解得，即， 综上所述：实数的取值范围为． 18．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【解答过程】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 19．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【解题思路】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【解答过程】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $