1.3 等式性质与不等式性质讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦集合与常用逻辑用语、不等式核心模块，以等式与不等式性质为重点，按考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练的逻辑架构组织内容。通过考点系统梳理、比较大小方法指导、取值范围推导策略讲解及分层真题训练，帮助学生构建知识网络，突破大小比较、范围推导等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于融合数学思维与数学语言培养，如题型突破中通过作差法比较代数式大小训练逻辑推理能力，结合函数、数列情境强化严谨推导。设置基础自测、题型精练、限时综合训练三级梯度练习，配合考向预测精准定位高频考点，助力学生在有限时间内提升逻辑推导与边界判断能力，为教师把控复习节奏、提升备考效率提供清晰路径。

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.3　等式性质与不等式性质 【高考考向预测】 近三年高考中等式与不等式性质考查频次适中，多融入小题运算、大小比较、范围推导之中，侧重考查作差作商比较法、不等式四则变形及同向异向运算规则，极少单独大题命题；预测2027 年高考仍将延续基础性渗透考查模式，重点侧重利用性质比较代数式大小、求解代数式取值范围，愈发注重与函数、数列结合灵活设问，强化严谨推理与取值边界判断，立足基础规则，侧重逻辑推导能力考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种.(　√　) (2)若>1，则b>a. (　×　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性. (　×　) (4)若>，则b<a. (　×　) 【答案】（1）√ （2）×（3）×（4）× 2.下列四个命题中，为真命题的是(　　) A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b，c>d，则a-c>b-d C.若a>|b|，则a2>b2 D.若a>b，则> 【答案】C 【解析】当c=0时，ac2=bc2，A不成立； 2>1，3>-1，而2-3<1-(-1)，B不成立； 当a=2，b=1时，<1，D不成立； 由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确. 3.设M=2a2+5a+4，N=(a+1)(a+3)，则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 【答案】A 【解析】因为M-N=(2a2+5a+4)-(a+1)(a+3)=a2+a+1=+>0，所以M>N. 4.已知实数a∈(1，3)，b∈，则的取值范围是　　　　　　.  【答案】(4，24) 【解析】∵b∈， ∴4<<8， 又1<a<3， ∴根据不等式的基本性质可得4<<24. 1.熟练应用两个倒数性质 (1)a<0<b⇒<； (2)ab>0，a>b⇒<. 2.牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则： (1)<； (2)>(b-m>0)； (3)>； (4)<(b-m>0). 【核心梳理●明考点】 1.两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R). 2.等式的性质 性质1　对称性：如果a=b，那么b=a； 性质2　传递性：如果a=b，b=c，那么a=c； 性质3　可加(减)性：如果a=b，那么a±c=b±c； 性质4　可乘性：如果a=b，那么ac=bc； 性质5　可除性：如果a=b，c≠0，那么=. 3.不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a+c>b+c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a+c>b+d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 【题型突破●明方向】 题型一　数(式)的大小比较 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3 B.a3+b3≥a2b+ab2 C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) 【答案】AD 【解析】∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0， ∴x2-2x>-3，故A正确； a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). ∵(a-b)2≥0，a+b的符号不确定， ∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， ∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C错误； -=， ∵b>a>0，∴>0， ∴<，故D正确. (2)已知M=，N=，则M，N的大小关系为　　　　　　.  【答案】M>N 【解析】方法一　　M-N=- = ==>0， ∴M>N. 方法二　令f(x)= ==+， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 024)>f(2 025)，即M>N. 【思维升华】比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 【跟踪训练】1　(1)已知c>1，且x=-，y=-，则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x，y的大小关系随c的值而定 【答案】C 【解析】方法一　由题设，易知x>0，y>0，又==<1，∴x<y. 方法二　设f(x)=-，定义域为[1，+∞)， 则f(x)=，故f(x)为减函数， 又c+1>c>1，则f(c+1)<f(c)，即x<y. (2)(多选)(2025·平顶山模拟)若a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.a+>b+ C.a+>b+ D.> 【答案】AC 【解析】对于A，-=，因为a>b>0，所以b-a<0，a+1>0， 所以<0，即-<0，于是<，故A正确； 对于B，a+-=-==， 因为a>b>0，所以a-b>0，ab>0，但ab与1的大小不确定，故a+与b+的大小不确定，故B错误； 对于C，a+-=-==，因为a>b>0，所以a-b>0，ab>0，ab+a+b>0，所以>0，即a+->0，于是a+>b+，故C正确； 对于D，-==，因为a>b>0，所以b-a<0，b+a>0，a+2b>0，所以<0，即-<0，于是<，故D错误. 题型二　不等式的基本性质 例2　(1)(多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是(　　) A.a+d<b+c B.ac>bd C.ac2>bc2 D.< 【答案】BD 【解析】对于A，取a=-3，b=-2，c=-6，d=-5，满足a<b<0，c<d<0，但a+d=b+c，故A错误； 对于B，由a<b<0，c<d<0，得-a>-b>0，-c>-d>0， 再利用不等式的同向同正可乘性得ac>bd，故B正确； 对于C，因为a<b，c2>0，根据不等式的性质有ac2<bc2，故C错误； 对于D，因为c<d，a<0，根据不等式的性质有>，故D正确. (2)(多选)已知a，b∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若a>b，且>，则ab<0 B.若a>b，且a≠-b，则> C.若a<b<0，则<-a-b D.若a<b<0，则> 【答案】ACD 【解析】由a>b可得a-b>0，由>可得<0，故ab<0，故A正确； 当a=0，b=-1时，满足a>b，且a≠-b，但=-1，=0，不等式>不成立，故B错误； 因为a<b<0，所以-a>-b>0，故-a-b>2>，故C正确； 由a<b<0可得b-a>0，且b-1<0，故-==>0，即>，故D正确. 【思维升华】判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数，利用函数的单调性. 【跟踪训练】2　(1)(多选)(2025·温州模拟)已知a，b，c∈R，下列选项中是“a>b”的充分条件的是(　　) A.a+c>b+c B.>>0 C.> D.a2>b2 【答案】ABC 【解析】对于A，因为a+c>b+c，所以a>b，故A符合题意； 对于B，因为>>0，所以-=>0，且ab>0，所以a-b>0，即a>b，故B符合题意； 对于C，因为>，所以-=>0，且c2>0，即a>b，故C符合题意； 对于D，取a=-1，b=0，满足a2>b2，但a<b，故D不符合题意. (2)(多选)(2026·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A.a2>ab B.> C.a+b+ln(ab)>2 D.a->b- 【答案】ABD 【解析】对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确； 对于B，∵a>b>0，∴<，∴1+<1+，即0<<，∴>，故B正确； 对于C，令a=1，b=，则a+b+ln(ab)=1++ln =<2，故C错误； 对于D，易得y=x-(x>0)为增函数，且a>b>0，故a->b-，故D正确. 题型三　不等式性质的综合应用 例3　(1)(多选)已知-1<a<5，-3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.-<<5 【答案】ABC 【解析】因为-1<a<5，-3<b<1， 所以-1<-b<3. 对于A，当0≤a<5，0≤b<1时，0≤ab<5； 当0≤a<5，-3<b<0时，0<-b<3， 则0≤-ab<15，即-15<ab≤0； 当-1<a<0，0≤b<1时，0<-a<1， 则0≤-ab<1，即-1<ab≤0； 当-1<a<0，-3<b<0时， 0<-a<1，0<-b<3，则0<ab<3， 综上，-15<ab<5，故A正确； 对于B，-1-3=-4<a+b<5+1=6，故B正确； 对于C，-1-1=-2<a-b<5+3=8，故C正确； 对于D，当a=4，b=时，=8，故D错误. (2)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则　　　　策略购物比较经济.  【答案】乙 【解析】设第一次和第二次购物时的价格分别为p1，p2， 按甲策略，设每次购买物品的数量为n，则两次购物的平均价格x==； 按乙策略，设第一次花m元，能购买物品的数量为，第二次仍花m元，能购买物品的数量为， 则两次购物的平均价格y==， 所以x-y=-=- ==≥0，即x≥y， 故甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以乙策略购物比较经济. 【思维升华】利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【跟踪训练】3　(1)(2026·汕头模拟)已知a，b∈R，且满足则4a+2b的取值范围是　　　　　　.  【答案】[2，10] 【解析】设4a+2b=A(a+b)+B(a-b)，则解得 所以4a+2b=3(a+b)+(a-b)， 又1≤a+b≤3，所以3≤3(a+b)≤9， 又-1≤a-b≤1， 所以3-1≤4a+2b≤9+1， 即2≤4a+2b≤10. 故4a+2b的取值范围为[2，10]. (2)(2025·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 【答案】D 【解析】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， 则-==， 所以与的大小关系取决于a与2b的大小关系，但a与2b的大小关系不确定，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知P=a2+3a+3，Q=a+1，则P与Q的大小关系为(　　) A.P<Q B.P=Q C.P>Q D.P≤Q 【答案】C 【解析】因为P-Q=a2+3a+3-(a+1)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0， 所以P>Q. 2.(2026·聊城模拟)“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若a<-1，且b<-1，根据不等式的加法和乘法法则可得a+b<-2，且ab>1，即必要性成立； 当a=-3，b=-时，满足a+b<-2，且ab>1，但是b=->-1，故充分性不成立， 所以“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的必要不充分条件. 3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则< 【答案】B 【解析】对于A，c2=0时不成立；对于B，∵a>b>0，∴a2-b2=(a+b)(a-b)>0，∴a2>b2，∴B成立；对于C，a<b<0⇒a2>ab>b2，∴C不成立；对于D，∴a<b<0，∴>，∴D不成立. 4.已知-3<a<-2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C. D. 【答案】A 【解析】因为-3<a<-2，所以4<a2<9， 而3<b<4，即<<， 故的取值范围为(1，3). 5.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　　) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 【答案】D 【解析】用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄，则A>0，B>0，C>0，D>0. 则A+C=B+D， ① C+D>A+B， ② B>A+D. ③ ①+②得C>B，①+③得C>2D，②+③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D， 由①得C-B=D-A， ∵C>B，∴C-B>0，∴D-A>0，∴D>A， 综上，C>B>D>A. 6.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是(　　) A.bc>ac B.a2>c2 C.2ac-2bc<a2-b2 D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2 【答案】B 【解析】因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0，c<0， A选项，bc-ac=(b-a)c>0，故bc>ac，A正确； B选项，不妨设a=1，b=0，c=-1，此时满足a+b+c=0且a>b>c，但a2=c2，B错误； C选项，因为a+b+c=0且a>b>c， 所以a-b>0，a+b-2c=a-c+b-c>0， a2-b2+2bc-2ac=(a+b)(a-b)+2c(b-a) =(a-b)(a+b-2c)>0， 所以2ac-2bc<a2-b2，C正确； D选项，2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2 =2(a-b)2+2(b-c)2-[(a-b)+(b-c)]2 =2(a-b)2+2(b-c)2-(a-b)2-2(a-b)(b-c)-(b-c)2=(a-b)2+(b-c)2-2(a-b)(b-c) =[(a-b)-(b-c)]2=(a+c-2b)2， 因为a+b+c=0，所以2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2=(-b-2b)2=9b2≥0， 故(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2，D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 【答案】AB 【解析】对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确； 对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以>>0，故选项B正确； 对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1，满足c>b>a，此时==-2，==-，<，故选项C错误； 对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时，=2，==-，此时>，故选项D错误. 8.(2025·洛阳模拟)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 【答案】AC 【解析】1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确； 由题意得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B错误； 因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确； 因为1≤a2b2≤16，≤≤，所以两式相乘得≤ab3≤4，D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·九江模拟)已知a=，b=-，c=-，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  【答案】a>c>b 【解析】由a-b=+-，且(+)2=5+2>7，故a>b； 由a-c=2-，且(2)2=8>6，故a>c； 由b-c=(+)-(+)，且(+)2=9+2>9+2=(+)2，故c>b. 所以a>c>b. 10.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值：　　　　　　.  【答案】a=-1，b=2(答案不唯一) 【解析】容易发现，若将①式转化为②式， 需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号， 显然应使a+b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|， 可取a=-1，b=2； 当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|， 可取a=2，b=-1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 四、解答题(共28分) 11.(13分)证明下列不等式： (1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；(6分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.(7分) 【证明】(1)由a>b>1，则a-1>0，b-1>0， 故(a-1)(b-1)>0， 由d<c<-2，则c+2<0，d+2<0， 故(c+2)(d+2)>0， ∴(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0，得证. (2)方法一　∵a>b>0，c<d<0，e<0， ∴-c>-d>0， ∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0， 则-= ==>0， ∴>. 方法二　∵c<d<0，∴-c>-d>0， 又a>b>0，∴a-c>b-d>0， ∴0<<， ∵e<0，∴>，不等式得证. 12.(15分)(1)已知-1<x<4，2<y<3，求x-y的取值范围；(6分) (2)已知-1≤x+y≤2，0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围.(9分) 【解析】(1)由不等式2<y<3，可得-3<-y<-2， 因为-1<x<4，所以-4<x-y<2，即x-y的取值范围为(-4，2). (2)设5x+2y=m(x+y)+n(2x-y)=(m+2n)x+(m-n)y， 所以解得 即5x+2y=3(x+y)+(2x-y)， 因为-1≤x+y≤2，所以-3≤3(x+y)≤6， 又0≤2x-y≤3， 所以-3≤5x+2y=3(x+y)+(2x-y)≤9， 即5x+2y的取值范围为[-3，9]. [每小题5分，共10分] 13.(2025·莆田模拟)a克不饱和糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为> (a>b>0，m>0)，这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是(　　) A.< B.< C.log85<log1610 D.+< 【答案】C 【解析】对于A，由>>2>0，得=>，A错误； 对于B，因为>>0，2>0，故<，则>，B错误； 对于C，由lg 8>lg 5>0，lg 2>0，得log85=<==log1610，C正确； 对于D，由lg 11>lg 7>0，得+>+=，D错误. 14.(2025·常德模拟)记min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值.若x，y>0，M=min，则M的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】因为x，y>0，M=min，所以M>0，0<M≤x⇒≤，0<M≤⇒y≤，则+y≤， 又M≤+y，所以M≤+y≤， 可得M2≤2，即M≤， 当且仅当M=，即x==时等号成立， 故M的最大值为. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.3　等式性质与不等式性质 【高考考向预测】 近三年高考中等式与不等式性质考查频次适中，多融入小题运算、大小比较、范围推导之中，侧重考查作差作商比较法、不等式四则变形及同向异向运算规则，极少单独大题命题；预测2027 年高考仍将延续基础性渗透考查模式，重点侧重利用性质比较代数式大小、求解代数式取值范围，愈发注重与函数、数列结合灵活设问，强化严谨推理与取值边界判断，立足基础规则，侧重逻辑推导能力考查。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种.(　√　) (2)若>1，则b>a. (　×　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性. (　×　) (4)若>，则b<a. (　×　) 2.下列四个命题中，为真命题的是(　　) A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b，c>d，则a-c>b-d C.若a>|b|，则a2>b2 D.若a>b，则> 3.设M=2a2+5a+4，N=(a+1)(a+3)，则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 4.已知实数a∈(1，3)，b∈，则的取值范围是　　　　　　.  1.熟练应用两个倒数性质 (1)a<0<b⇒<； (2)ab>0，a>b⇒<. 2.牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则： (1)<； (2)>(b-m>0)； (3)>； (4)<(b-m>0). 【核心梳理●明考点】 1.两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R). 2.等式的性质 性质1　对称性：如果a=b，那么b=a； 性质2　传递性：如果a=b，b=c，那么a=c； 性质3　可加(减)性：如果a=b，那么a±c=b±c； 性质4　可乘性：如果a=b，那么ac=bc； 性质5　可除性：如果a=b，c≠0，那么=. 3.不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a+c>b+c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a+c>b+d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 【题型突破●明方向】 题型一　数(式)的大小比较 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3 B.a3+b3≥a2b+ab2 C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) (2)已知M=，N=，则M，N的大小关系为　　　　　　.  【跟踪训练】1　(1)已知c>1，且x=-，y=-，则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x，y的大小关系随c的值而定 (2)(多选)(2025·平顶山模拟)若a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.a+>b+ C.a+>b+ D.> 题型二　不等式的基本性质 例2　(1)(多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是(　　) A.a+d<b+c B.ac>bd C.ac2>bc2 D.< (2)(多选)已知a，b∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若a>b，且>，则ab<0 B.若a>b，且a≠-b，则> C.若a<b<0，则<-a-b D.若a<b<0，则> 【跟踪训练】2　(1)(多选)(2025·温州模拟)已知a，b，c∈R，下列选项中是“a>b”的充分条件的是(　　) A.a+c>b+c B.>>0 C.> D.a2>b2 (2)(多选)(2026·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A.a2>ab B.> C.a+b+ln(ab)>2 D.a->b- 题型三　不等式性质的综合应用 例3　(1)(多选)已知-1<a<5，-3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.-<<5 (2)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则　　　　策略购物比较经济.  【跟踪训练】3　(1)(2026·汕头模拟)已知a，b∈R，且满足则4a+2b的取值范围是　　　　　　.  (2)(2025·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知P=a2+3a+3，Q=a+1，则P与Q的大小关系为(　　) A.P<Q B.P=Q C.P>Q D.P≤Q 2.(2026·聊城模拟)“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则< 4.已知-3<a<-2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C. D.5.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　　) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 6.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是(　　) A.bc>ac B.a2>c2 C.2ac-2bc<a2-b2 D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 8.(2025·洛阳模拟)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·九江模拟)已知a=，b=-，c=-，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  10.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值：　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)证明下列不等式： (1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；(6分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.(7分) 12.(15分)(1)已知-1<x<4，2<y<3，求x-y的取值范围；(6分) (2)已知-1≤x+y≤2，0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围.(9分) [每小题5分，共10分] 13.(2025·莆田模拟)a克不饱和糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为> (a>b>0，m>0)，这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是(　　) A.< B.< C.log85<log1610 D.+< 14.(2025·常德模拟)记min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值.若x，y>0，M=min，则M的最大值为　　　　.  第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $