1.3 等式性质与不等式性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕等式与不等式性质高考核心考点，依据课标要求梳理性质、比较大小及应用，构建“概念-性质-应用”知识体系，通过考点分析、方法指导与真题训练，帮助学生突破不等关系判断等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“一题多变”母题探究与分层练习设计，如比较大小环节用“作差法”培养逻辑推理能力，不等式性质结合函数情境强化数学抽象思维。设置基础到拓广三级练习，配合即时反馈，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

1．3　等式性质与不等式性质 课标要求 考情分析 1．梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2．会比较两个数(式)的大小． 3．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． ◎考点考法：以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行考查． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理． 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜； 若ab＜0，则a＞b⇒＞. 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(a－m＞0)； (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0). 1．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是(　　) A．> B．a2>b2 C．|a|>|b| D．> 解析　方法一　对于A，由a<b<0得ab >0，则<，即>，故A成立；对于B，由a<b<0得－a>－b>0，则根据不等式的性质有(－a)2>(－b)2>0，即a2>b2，故B成立；对于C，由a<b<0得|a|＝－a，|b|＝－b，又－a>－b>0，进而|a|>|b|，故C成立；对于D，由a2>b2可得<，故D不成立．故选D. 方法二　取a＝－2，b＝－1，则＝，＝1，故>不能成立．故选D. 答案　D 2．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 解析　当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确；当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确；当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确；由不等式的性质知，选项D正确，故选D. 答案　D 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 解析　C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误． 答案　ABD 4．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________． 解析　M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，故M＞N. 答案　M＞N 5．已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是________． 解析　∵－3＜b＜5，∴－6＜2b＜10， 又－1＜a＜2，∴－7＜a＋2b＜12. 答案　(－7，12) 考点一　比较两个数(式)的大小 重难考点　师生共研 (1)(多选)下列不等式正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2>－ (2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa [解析]　(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)·(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； ∵当a>b>0时，a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－＝(a－b)>0，∴a2－b2>－，故D正确． (2)∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1， 由c<cb<ca<1，得0<a<b<1， ∵＝aa－b>1，∴ab<aa， ∵＝，0<<1，a>0，∴<1， 即aa<ba， 综上可知，ab<aa<ba. [答案]　(1)AD　(2)C 判断两数(式)大小的方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④下结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论． 已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 解析　∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A． 答案　A 考点二　不等式的性质 重难考点　师生共研 (多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是(　　) A．ad＞bc B．＋＜0 C．a－c＞b－d D．a(d－c)＞b(d－c) [解析]　因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误； 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0， 所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正确； 因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故C正确； 因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故D正确． [答案]　BCD 判断不等式是否成立常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件． (2)利用特殊值排除法． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断． 1．若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a＋c<b＋c B．< C．ac>bc D．b－a>c 解析　对于A，由不等式的性质知，a<b⇒a＋c<b＋c，正确；对于B，若a＝－2，b＝－1，则>，错误；对于C，由不等式的性质知，c>0，a<b⇒ac<bc，错误；对于D，a<b⇒b－a>0，又c>0， 所以无法判断b－a与c的大小，错误． 答案　A 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 解析　由<<0，可知b<a<0. A中，因为a＋b<0，ab>0， 所以<0，>0，则<，故A正确； B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误； C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确； D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0， 而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增， 所以ln b2>ln a2，故D错误． 答案　AC 考点三　不等式性质的综合应用　一题多变　母题探究 已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(2，7) D．(－2，7) [解析]　因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7.故选D. [答案]　D (变条件)若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的取值范围． 解析　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. 故x－2y的取值范围为[－4，2]. 利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．(多选)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4，7] B．b－a的取值范围为[2，3] C．ab的取值范围为[3，10] D．的取值范围为 解析　因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4，7]，b－a的取值范围为[1，4]，故A正确，B错误； 因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3，10]，的取值范围为，故C正确，D错误． 答案　AC 2．已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　原式分子和分母同时除以x，得＝， 由条件得2<－2y<6，<<，所以<－<，即<－<3， 所以<1－<4，所以<<，即<<. 答案　B A级　基础过关 1．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 解析　由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n. 答案　A 2．若a<b<0，c>d>0，则一定有(　　) A．> B．< C．> D．< 解析　由题知a<b<0，c>d>0，则可取a＝－2，b＝－1，c＝2，d＝1， 则＝＝－1，＝＝－1，故A错误，B错误； 由于a<b<0，c>d>0，得－a>－b>0，c>d>0，则两式相乘得－ac>－bd， 则不等式左右两边同时除以cd得>， 再同时除以－1得<，故C错误，D正确． 答案　D 3．已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　) A．(1，3) B． C． D． 解析　因为－3＜a＜－2，所以4<a2<9，而3＜b＜4，即＜＜，所以1<<3， 即的取值范围为(1，3). 答案　A 4．若a>b>0>c，则(　　) A．(a－b)c>0 B．> C．a－b>a－c D．< 解析　对于A，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错误；对于B，由a>b>0得<，又c<0，所以>，故B正确；对于C，当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；对于D，当b＋c＝0时，没有意义，故D错误． 答案　B 5．若a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(　　) A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n 解析　由a＞1知，a2＋1－2a＝(a－1)2＞0， 2a－(a＋1)＝a－1＞0，∴a2＋1＞2a＞a＋1， 而y＝logax(a>1)在定义域上单调递增， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)， 即m＞p＞n. 答案　B 6．已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的是(　　) A．＞ B．ab＞bc C．＜ D．ab＋bc＞ac＋b2 解析　由题可知，a≠0，b≠0，c≠0，A中，若a＞b＞c＞0，则＜，故A错误；B中，若a＞0＞b＞c，则ab＜0，bc＞0，故ab＜bc，故B错误；C中，若a＞0＞b＞c，则＞，故C错误；D中，ab＋bc＞ac＋b2⇒ab－ac＞b2－bc⇒a(b－c)＞b(b－c)，因为a＞b＞c，abc≠0，所以b－c＞0，则ab＋bc＞ac＋b2，故D正确．故选D. 答案　D 7．(多选)已知a，b∈R，则下列选项能使＜成立的是(　　) A．b＞a＞0 B．a＞b＞0 C．b＜0＜a D．b＜a＜0 解析　对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确．故选BD. 答案　BD 8．已知a>b>c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________． 解析　因为a>b>c，2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，所以<0，1>>，2＋＋＝0， 所以＝－－2，所以有1>－2－>， 解不等式得－3<<－1， 故的取值范围是(－3，－1). 答案　(－3，－1) B级　能力提升 9．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)与q＝abba的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 解析　＝＝ab＝，若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0，∴＞1；若0＜a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，∴＞1，若a＝b，则＝1，∴p≥q.故选A． 答案　A 10．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 解析　由m5＝4，得m＝4＝2<， 由n8＝9，得n＝9＝3， 因此，＝＝＝＝>1，即>m>n， 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2， 于是得p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 答案　A 11．手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1)内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 解析　根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，b＞a，则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中m(m＞0)为升级后增加的面积，由分数性质知＞，所以升级后“屏占比”变大．故选C. 答案　C 12．(多选)设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是(　　) A．＞ B．ac＜bc C．a(b－c)＞b(a－c) D．＞ 解析　对于A，因为a＞b＞1，c＜0，所以－＝＞0，所以＞，故A正确；对于B，因为－c＞0，所以a·(－c)＞b·(－c)，所以－ac＞－bc，所以ac＜bc，故B正确；对于C，因为a＞b＞1，所以a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)＞0，所以a(b－c)＞b(a－c)，故C正确；对于D，因为＜0，a＞b＞1，所以＜，故D错误． 答案　ABC 13．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为________． 解析　∵－1<a＋b<3，2<a－b<4， ∴1<2a<7，即<a<. 又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)， ∴－＋1<(a＋b)＋(a－b)<＋2， 即－<t<. 答案　　 14．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________． 解析　若a＞b，a＜0且b＜0，则＜，证明：－＝，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0， ∴ab＞0，则－＝＜0，故＜. 答案　若a＞b，a＜0且b＜0，则＜(答案不唯一) C级　拓广探索 15．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　) A．(a＋c)2> B．< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 解析　对于A，根据abc＝1可得＝ac，若(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对于B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确；对于C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对于D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确． 答案　ABD 16．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济． 解析　设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克， 按甲策略，每次购买n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝＝(元/千克)； 按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品， 两次购物的平均价格y＝＝(元/千克)， 比较两次购物的平均价格 x－y＝－＝－＝＝≥0， 则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙种购物策略比较经济． 答案　乙 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．3　等式性质与不等式性质 课标要求 考情分析 1．梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2．会比较两个数(式)的大小． 3．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． ◎考点考法：以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行考查． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理． 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜； 若ab＜0，则a＞b⇒＞. 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(a－m＞0)； (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0). 1．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是(　　) A．> B．a2>b2 C．|a|>|b| D．> 2．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 4．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________． 5．已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是________． 考点一　比较两个数(式)的大小 重难考点　师生共研 (1)(多选)下列不等式正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2>－ (2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 判断两数(式)大小的方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④下结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论． 已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 考点二　不等式的性质 重难考点　师生共研 (多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是(　　) A．ad＞bc B．＋＜0 C．a－c＞b－d D．a(d－c)＞b(d－c) 判断不等式是否成立常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件． (2)利用特殊值排除法． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断． 1．若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a＋c<b＋c B．< C．ac>bc D．b－a>c 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 考点三　不等式性质的综合应用　一题多变　母题探究 已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(2，7) D．(－2，7) (变条件)若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的取值范围． 利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．(多选)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4，7] B．b－a的取值范围为[2，3] C．ab的取值范围为[3，10] D．的取值范围为 2．已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． A级　基础过关 1．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 2．若a<b<0，c>d>0，则一定有(　　) A．> B．< C．> D．< 3．已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　) A．(1，3) B． C． D． 4．若a>b>0>c，则(　　) A．(a－b)c>0 B．> C．a－b>a－c D．< 5．若a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(　　) A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n 6．已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的是(　　) A．＞ B．ab＞bc C．＜ D．ab＋bc＞ac＋b2 7．(多选)已知a，b∈R，则下列选项能使＜成立的是(　　) A．b＞a＞0 B．a＞b＞0 C．b＜0＜a D．b＜a＜0 8．已知a>b>c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________． B级　能力提升 9．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)与q＝abba的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 10．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 11．手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1)内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 12．(多选)设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是(　　) A．＞ B．ac＜bc C．a(b－c)＞b(a－c) D．＞ 13．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为________． 14．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________． C级　拓广探索 15．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　) A．(a＋c)2> B．< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 16．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济． 学科网（北京）股份有限公司 $