第一章～第二章阶段培优测试卷2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第一章~第二章阶段培优测试卷 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版第一章~第二章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角确定斜边为，结合勾股定理变形验证选项． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边，，为直角边， ∴，即． 2．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列各数中，与互为倒数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数，解答即可． 【详解】解：∵ 互为倒数的两数乘积为1， ∴ 的倒数为． 3．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 【答案】D 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若，则等于（     ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求出a，b的值,再代入计算立方根． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 5．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 6．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 7．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 【答案】C 【详解】解：此图形又称为“勾股树”，利用勾股定理绘制而成． 8．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：小明的步骤符合二次根式除法法则，正确； ∵， ∴小丽的步骤错误； ∵， ∴小红的步骤错误； 小亮的步骤符合二次根式运算法则，正确； 9．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两短边的平方和以及长边的平方，判断得数是否相等，即可得到答案． 【详解】解：∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，E是的中点，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】延长，交延长线于，可证，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，从而求出的长． 【详解】解：如下图，延长，交延长线于， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m：______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵ ∴ ∵是无理数 ∴符合条件的可以为． 12．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 【答案】 7.5 【分析】利用勾股定理求出斜边 的长，计算三角形周长得到总路程，再除以速度得到时间． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴， （分钟）， 故需要分钟． 13．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）比较大小：__________1．（填“”“”或“=”）． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 14．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，长方体的长，宽，高分别为6，6，12，点是棱的中点，在长方体下底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为__________． 【答案】 【分析】将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短及勾股定理计算不同路径的长度，比较后得出最小值． 【详解】解：将长方体表面展开，从点到点主要有两种路径情况， 第一种情况：将长方体的前面和右侧面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的高，另一条直角边为长方体的长加上的长， ∵是的中点，， ∴， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； 第二种情况：将长方体的前面和上底面展开在同一平面内，此时构成一个直角三角形， 一条直角边为长方体的长，另一条直角边为长方体的高加上的长， 另一条直角边长为， 根据勾股定理，路径长为； ∵， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为． 15．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 【答案】 【分析】先由勾股定理得斜边，利用面积的两种表示求出高，再由勾股定理得；同理求出的斜边高与，得，最终在中由勾股定理算出． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 在中，， ∵是中点， ∴， 由图可得，，， 解得， 在中，， ∵，且， ∴， 解得， 在中，， ∴， 在中，． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）（26-27八年级上·山西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)5 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先求出算术平方根，立方根和绝对值，再计算即可； （3）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （4）先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 17．（6分）（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： (1)上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． (2)上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． (3)请写出正确的计算过程． 【答案】(1) (2)三，计算错误 (3) 解： ． 【分析】（1）根据完全平方公式解得； （2）根据平方差公式进行判断即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误； （3）略 18．（7分）（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求空地的周长． (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可； （2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1） ， 答：长方形的周长是； （2） ， ， 答：购买地砖需要花费元． 19．（9分）（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足与的面积相等； (2)画出的高； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用格点构造的平行线，根据平行线间的距离处处相等，可得与的面积相等； （2）取格点H，连接，与交于点E，根据，都为矩形对角线，结合图象即可得是的高； （3）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形等面积法计算出，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，取格点H，连接，与交于点E，即为所求； （3）解：由勾股定理得，，， ， ， 是直角三角形，， ， 又 ， ， ． 20．（10分）（25-26八年级下·山西吕梁·期末）项目学习 项目背景：为响应山西省“全民健身”号召，解决居民“健身去哪儿”的难题，某街道对使用多年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．篮球场平面图为四边形，已知运动型塑胶地板每平方米150元．综合实践小组的同学围绕“场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 活动过程 方案说明 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地面积，计算地板费用 数据测量 如图， 计算 … 交流展示 … 【答案】购买运动型塑胶地板的费用为元 【分析】先根据已知条件求出篮球场四边形的面积，再根据勾股定理及其逆定理判断四边形的形状，再利用相应的面积公式． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ，， 四边形的面积为， 购买运动型塑胶地板的费用为元． 21．（10分）（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2) 解：∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）略 （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（13分）（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，， 是斜边，，是直角边， ； （2）证明：， ， 又， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，是线段的勾股分割点； （3）， ， 又， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：． 23．（13分）（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为____①_______．一般结论：正方形的对角线与边长的比是____②________． 【项目素材】如图，按照国际标准，系列纸为长方形（长宽比相同），将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸． 若纸的宽为．将纸按如图所示的方式折叠． 根据上述操作过程， 【任务探究】 (2)直接写出纸的长_______________． (3)根据上述结论，求纸的长和宽；（结果保留根号） (4)拓展迁移 该兴趣小组类比型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸宽为，沿着长边的五等分点所连线段裁开成个相同的小长方形，这个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸． 他们用个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长．请你借助个图的正方形，剪拼得到型纸的长为_______________，并在图中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】(1)①；② (2) (3) 纸的长和宽分别为和； (4) 【分析】 本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义是解题的关键． （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可；设出正方形的边长，用勾股定理计算对角线长，计算即可； （2）根据折叠得到型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比，即为,进行求解即可； （3）纸是由纸经过次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意可算得，则型纸的长为,而个小正方形的面积恰好为，进而得到型纸的长为个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【详解】（1）解：由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵小正方形的边长为， ∴小正方形的对角长为， 即大正方形的边长为， 设任意正方形的边长为, 则利用勾股定理可计算其对角线长为, ∴正方形的对角线与边长的比是, 故可得一般结论：正方形的对角线与边长的比是； （2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为, 故A型纸的长与宽的比为,， ∵纸的宽为， ∴纸的长为； （3）∵纸是由纸经过次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； （4）设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为型纸的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章~第二章阶段培优测试卷 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版第一章~第二章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列各数中，与互为倒数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 4．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若，则等于（     ） A． B．0 C． D．4 5．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 6．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 7．（25-26八年级下·山西朔州·期末）你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如图所示的树呢？它是数学家毕达哥拉斯画出的一个可以无限重复的树形图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．下列古代数学成就中，与“毕达哥拉斯树”有关的是（     ） A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角 8．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 9．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，E是的中点，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m：______． 12．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 13．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）比较大小：__________1．（填“”“”或“=”）． 14．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，长方体的长，宽，高分别为6，6，12，点是棱的中点，在长方体下底面的顶点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为__________． 15．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）（26-27八年级上·山西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（6分）（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： (1)上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． (2)上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． (3)请写出正确的计算过程． 18．（7分）（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求空地的周长． (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 19．（9分）（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足与的面积相等； (2)画出的高； (3)直接写出的值． 20．（10分）（25-26八年级下·山西吕梁·期末）项目学习 项目背景：为响应山西省“全民健身”号召，解决居民“健身去哪儿”的难题，某街道对使用多年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．篮球场平面图为四边形，已知运动型塑胶地板每平方米150元．综合实践小组的同学围绕“场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 活动过程 方案说明 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地面积，计算地板费用 数据测量 如图， 计算 … 交流展示 … 21．（10分）（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 22．（13分）（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 23．（13分）（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为____①_______．一般结论：正方形的对角线与边长的比是____②________． 【项目素材】如图，按照国际标准，系列纸为长方形（长宽比相同），将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸． 若纸的宽为．将纸按如图所示的方式折叠． 根据上述操作过程， 【任务探究】 (2)直接写出纸的长_______________． (3)根据上述结论，求纸的长和宽；（结果保留根号） (4)拓展迁移 该兴趣小组类比型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸宽为，沿着长边的五等分点所连线段裁开成个相同的小长方形，这个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸． 他们用个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长．请你借助个图的正方形，剪拼得到型纸的长为_______________，并在图中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图的裁切线和设计的操作步骤） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $