25.2.1配方法＆25.2.2公式法 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程求解，系统梳理直接开平方法、配方法（含步骤与原理）、配方法的应用（求最值等）、根的判别式、求根公式与公式法等核心知识点，构建从基础解法到综合应用的递进学习支架。 资料以知识点为纲、题型为目，通过解题技巧点拨与典例变式训练，培养学生运算能力与推理意识，如配方法步骤强化规范运算，根的判别式应用提升逻辑推理。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识体系。

25.2.1配方法＆25.2.2公式法 目录 知识点1 直接开平方法 2 知识点2 配方法 2 知识点3 配方法的应用 2 知识点4 根的判别式 2 知识点5 求根公式与公式法 3 题型1 解一元二次方程 —— 直接开平方法 3 题型2 解一元二次方程 —— 配方法 5 题型3 配方法的应用 7 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 12 题型6 公式法解一元二次方程 14 1. 掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程。 2. 理解配方法的原理，能运用配方法求代数式的最值。 3. 理解根的判别式，能根据判别式判断根的情况。 4. 掌握求根公式，能用公式法解一元二次方程。 知识点1 直接开平方法 形如x²＝p（p≥0）的一元二次方程，可以直接开平方求解。 若p＞0，则方程有两个不相等的实数根：x＝±√p。 若p＝0，则方程有两个相等的实数根：x₁＝x₂＝0。 若p＜0，则方程没有实数根。 推广：形如(mx＋n)²＝p（p≥0）的方程，先开平方得mx＋n＝±√p，再解两个一元一次方程。 知识点2 配方法 通过配方，将一元二次方程转化为(x＋m)²＝n的形式，再用直接开平方法求解，这种方法叫做配方法。 配方的关键：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 一般步骤：①移项（常数项移到右边）；②二次项系数化为1（两边同除以二次项系数）；③配方（两边加一次项系数一半的平方）；④写成完全平方形式；⑤直接开平方求解。 完全平方公式：a²±2ab＋b²＝(a±b)²。 知识点3 配方法的应用 配方法不仅用于解方程，还广泛应用于求代数式的最值、证明代数式的值恒正或恒负等。 求最值：将代数式配方为a(x＋m)²＋k的形式，根据(x＋m)²≥0判断最值。当a＞0时，有最小值k；当a＜0时，有最大值k。 证明恒正/恒负：配方后若a＞0且k＞0，则代数式恒正；若a＜0且k＜0，则恒负。 非负数性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 知识点4 根的判别式 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b²－4ac。 Δ＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根。 Δ＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根。 Δ＜0 ⇔ 方程没有实数根。 Δ≥0 ⇔ 方程有实数根（两个相等或不相等的实数根）。 知识点5 求根公式与公式法 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＝b²－4ac≥0时，它的根为： x＝(－b±√(b²－4ac))/(2a) 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 公式法步骤：①将方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0；②确定a、b、c的值；③计算Δ＝b²－4ac；④若Δ≥0，代入求根公式求解；若Δ＜0，方程无实数根。 题型1 解一元二次方程 —— 直接开平方法 【解题技巧】 ① 适用形式：x²＝p 或 (mx＋n)²＝p（左边是完全平方式，右边是常数）。 ② 基本步骤：先判断p的正负 → p≥0时两边开平方（注意加±号）→ 解一元一次方程 → 写出两个根。 ③ x²＝p型：x＝±√p。如x²＝9，则x＝±3。 ④ (mx＋n)²＝p型：mx＋n＝±√p，分别解mx＋n＝√p和mx＋n＝－√p。如(2x－1)²＝5，则2x－1＝±√5，x＝(1±√5)/2。 ⑤ p＜0时：方程没有实数根（因为任何实数的平方都非负）。 ⑥ 易错点：开平方时忘记±号；p＜0时仍强行开平方；解一次方程时计算错误。 【常见考法】直接开平方法解方程；判断方程能否用直接开平方法；含字母系数的直接开平方。 【典例1】．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 【变式1】．一元二次方程的解是______． 【答案】4或/或4 【详解】解：， 开方得：． 【变式2】．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 【变式3】．解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 题型2 解一元二次方程 —— 配方法 【解题技巧】 ① 核心思想：将方程配方为(x＋m)²＝n的形式，再用直接开平方法。 ② 一般步骤：移项（常数项移右边）→ 二次项系数化为1（两边除以a）→ 配方（两边加一次项系数一半的平方）→ 写成完全平方 → 开平方求解。 ③ 配方关键：一次项系数除以2，再平方。如x²＋6x，加(6/2)²＝9，得(x＋3)²。 ④ 二次项系数不为1时：先两边同除以二次项系数，化为x²＋px＋q＝0的形式再配方。 ⑤ 示例：2x²－4x－6＝0 → x²－2x－3＝0 → x²－2x＝3 → x²－2x＋1＝4 → (x－1)²＝4 → x－1＝±2 → x₁＝3，x₂＝－1。 ⑥ 易错点：配方时只在左边加，右边忘记加；一次项系数一半的平方算错；二次项系数未化为1就配方。 【常见考法】用配方法解方程；指出配方过程中的错误；含字母系数的配方。 【典例2】．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 【变式1】．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 【变式2】．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 【变式3】．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 题型3 配方法的应用 【解题技巧】 ① 求代数式最值：将代数式配方为a(x＋m)²＋k的形式。若a＞0，则当x＝－m时，代数式有最小值k；若a＜0，则当x＝－m时，有最大值k。 ② 示例：求x²－4x＋5的最小值。配方：x²－4x＋5＝(x－2)²＋1，因为(x－2)²≥0，所以最小值为1（当x＝2时取得）。 ③ 证明恒正：配方后若a＞0且k＞0，则a(x＋m)²＋k＞0恒成立，代数式恒正。 ④ 证明恒负：配方后若a＜0且k＜0，则a(x＋m)²＋k＜0恒成立，代数式恒负。 ⑤ 非负数和为0：若(x＋m)²＋(y＋n)²＝0，则x＋m＝0且y＋n＝0，可求出x、y的值。 ⑥ 易错点：配方时符号错误；最值判断时a的正负搞反；忘记说明取得最值时x的值。 【常见考法】求二次三项式的最值；证明代数式恒正或恒负；利用非负数性质求字母的值。 【典例3】．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 【变式1】．在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，配方法的应用，首先提出，然后利用配方法和平方差公式写成因式分解的形式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 【变式3】．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【解题技巧】 ① 核心公式：Δ＝b²－4ac（a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）。 ② 判断步骤：将方程化为一般形式 → 确定a、b、c → 计算Δ → 根据Δ的符号判断根的情况。 ③ Δ＞0 → 两个不相等的实数根；Δ＝0 → 两个相等的实数根；Δ＜0 → 没有实数根。 ④ 含字母系数时：Δ的表达式可能含字母，需配方或分类讨论判断Δ的正负。 ⑤ 技巧：判断Δ的正负时，常将Δ配方为完全平方加正数的形式，从而确定Δ＞0恒成立。 ⑥ 易错点：a、b、c的符号搞错（尤其是c为负数时）；Δ＝0时说成"一个根"（应为两个相等的实数根）；忘记a≠0的前提。 【常见考法】判断给定方程根的情况；含字母系数方程根的情况讨论；证明方程总有两个不相等的实数根。 【典例4】．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 【变式1】．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果． 【详解】解：在方程中，，，， 故． 【变式2】．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 【变式3】．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 【解题技巧】 ① 核心思路：根据根的情况，列出关于Δ的等式或不等式，求解参数。 ② 有两个不相等实数根 → Δ＞0；有两个相等实数根 → Δ＝0；没有实数根 → Δ＜0；有实数根 → Δ≥0。 ③ 解题步骤：确定a、b、c（含参数）→ 计算Δ（含参数）→ 根据根的情况列不等式/等式 → 解不等式/方程 → 注意a≠0的限制。 ④ 注意：一元二次方程必须满足a≠0，求参数后要检验二次项系数是否为0。 ⑤ 综合题型：若题目说"方程有实数根"，需分一元二次方程（Δ≥0且a≠0）和一元一次方程（a＝0）两种情况讨论。 ⑥ 易错点：只列Δ的不等式，忘记a≠0；"有实数根"和"有两个实数根"混淆（前者包括一元一次方程）；解不等式时符号出错。 【常见考法】已知根的情况求参数取值范围；已知方程有实数根求参数；证明参数取何值时根的情况成立。 【典例5】．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 【变式1】．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 【变式2】．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 【变式3】．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 题型6 公式法解一元二次方程 【解题技巧】 ① 求根公式：x＝(－b±√(b²－4ac))/(2a)（Δ＝b²－4ac≥0时）。 ② 解题步骤：化为一般形式ax²＋bx＋c＝0 → 确定a、b、c → 计算Δ → Δ≥0时代入公式 → 化简求出两个根。 ③ 确定a、b、c时注意符号：如方程2x²－3x－1＝0中，a＝2，b＝－3，c＝－1。 ④ Δ的计算：Δ＝b²－4ac，注意b是带符号的，b²一定为正。 ⑤ Δ＜0时：直接写"方程没有实数根"，不必代入公式。 ⑥ 结果化简：求出的根要化为最简形式（分母有理化、约分等）。 ⑦ 易错点：a、b、c符号搞错；公式中－b的负号漏掉；Δ计算错误；结果未化简。 【常见考法】用公式法解方程；判断公式法解题过程是否正确；含字母系数的公式法求解。 【典例6】．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式1】．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 【变式2】．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 【变式3】．若是一元二次方程的根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 1．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 3．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 4．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 5．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 6．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 7．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 8．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 9．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 11．用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键． 通过配方法，将常数项移项后，添加一次项系数一半的平方完成配方，转化为完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 12．方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： 移项得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 故答案为：，． 13．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 14．我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如：．如果，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据新定义运算法则列式得，再进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 则， ∴ ， 则， ∴， ∴ ， 解得． 故答案为： 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 16．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【详解】（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 20．我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 21．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1配方法＆25.2.2公式法 目录 知识点1 直接开平方法 2 知识点2 配方法 2 知识点3 配方法的应用 2 知识点4 根的判别式 2 知识点5 求根公式与公式法 3 题型1 解一元二次方程 —— 直接开平方法 3 题型2 解一元二次方程 —— 配方法 4 题型3 配方法的应用 4 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 5 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 6 题型6 公式法解一元二次方程 7 1. 掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程。 2. 理解配方法的原理，能运用配方法求代数式的最值。 3. 理解根的判别式，能根据判别式判断根的情况。 4. 掌握求根公式，能用公式法解一元二次方程。 知识点1 直接开平方法 形如x²＝p（p≥0）的一元二次方程，可以直接开平方求解。 若p＞0，则方程有两个不相等的实数根：x＝±√p。 若p＝0，则方程有两个相等的实数根：x₁＝x₂＝0。 若p＜0，则方程没有实数根。 推广：形如(mx＋n)²＝p（p≥0）的方程，先开平方得mx＋n＝±√p，再解两个一元一次方程。 知识点2 配方法 通过配方，将一元二次方程转化为(x＋m)²＝n的形式，再用直接开平方法求解，这种方法叫做配方法。 配方的关键：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 一般步骤：①移项（常数项移到右边）；②二次项系数化为1（两边同除以二次项系数）；③配方（两边加一次项系数一半的平方）；④写成完全平方形式；⑤直接开平方求解。 完全平方公式：a²±2ab＋b²＝(a±b)²。 知识点3 配方法的应用 配方法不仅用于解方程，还广泛应用于求代数式的最值、证明代数式的值恒正或恒负等。 求最值：将代数式配方为a(x＋m)²＋k的形式，根据(x＋m)²≥0判断最值。当a＞0时，有最小值k；当a＜0时，有最大值k。 证明恒正/恒负：配方后若a＞0且k＞0，则代数式恒正；若a＜0且k＜0，则恒负。 非负数性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 知识点4 根的判别式 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b²－4ac。 Δ＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根。 Δ＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根。 Δ＜0 ⇔ 方程没有实数根。 Δ≥0 ⇔ 方程有实数根（两个相等或不相等的实数根）。 知识点5 求根公式与公式法 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＝b²－4ac≥0时，它的根为： x＝(－b±√(b²－4ac))/(2a) 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 公式法步骤：①将方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0；②确定a、b、c的值；③计算Δ＝b²－4ac；④若Δ≥0，代入求根公式求解；若Δ＜0，方程无实数根。 题型1 解一元二次方程 —— 直接开平方法 【解题技巧】 ① 适用形式：x²＝p 或 (mx＋n)²＝p（左边是完全平方式，右边是常数）。 ② 基本步骤：先判断p的正负 → p≥0时两边开平方（注意加±号）→ 解一元一次方程 → 写出两个根。 ③ x²＝p型：x＝±√p。如x²＝9，则x＝±3。 ④ (mx＋n)²＝p型：mx＋n＝±√p，分别解mx＋n＝√p和mx＋n＝－√p。如(2x－1)²＝5，则2x－1＝±√5，x＝(1±√5)/2。 ⑤ p＜0时：方程没有实数根（因为任何实数的平方都非负）。 ⑥ 易错点：开平方时忘记±号；p＜0时仍强行开平方；解一次方程时计算错误。 【常见考法】直接开平方法解方程；判断方程能否用直接开平方法；含字母系数的直接开平方。 【典例1】．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【变式1】．一元二次方程的解是______． 【变式2】．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式3】．解方程： 题型2 解一元二次方程 —— 配方法 【解题技巧】 ① 核心思想：将方程配方为(x＋m)²＝n的形式，再用直接开平方法。 ② 一般步骤：移项（常数项移右边）→ 二次项系数化为1（两边除以a）→ 配方（两边加一次项系数一半的平方）→ 写成完全平方 → 开平方求解。 ③ 配方关键：一次项系数除以2，再平方。如x²＋6x，加(6/2)²＝9，得(x＋3)²。 ④ 二次项系数不为1时：先两边同除以二次项系数，化为x²＋px＋q＝0的形式再配方。 ⑤ 示例：2x²－4x－6＝0 → x²－2x－3＝0 → x²－2x＝3 → x²－2x＋1＝4 → (x－1)²＝4 → x－1＝±2 → x₁＝3，x₂＝－1。 ⑥ 易错点：配方时只在左边加，右边忘记加；一次项系数一半的平方算错；二次项系数未化为1就配方。 【常见考法】用配方法解方程；指出配方过程中的错误；含字母系数的配方。 【典例2】．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【变式2】．用配方法解方程： (1)． (2)． 【变式3】．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 题型3 配方法的应用 【解题技巧】 ① 求代数式最值：将代数式配方为a(x＋m)²＋k的形式。若a＞0，则当x＝－m时，代数式有最小值k；若a＜0，则当x＝－m时，有最大值k。 ② 示例：求x²－4x＋5的最小值。配方：x²－4x＋5＝(x－2)²＋1，因为(x－2)²≥0，所以最小值为1（当x＝2时取得）。 ③ 证明恒正：配方后若a＞0且k＞0，则a(x＋m)²＋k＞0恒成立，代数式恒正。 ④ 证明恒负：配方后若a＜0且k＜0，则a(x＋m)²＋k＜0恒成立，代数式恒负。 ⑤ 非负数和为0：若(x＋m)²＋(y＋n)²＝0，则x＋m＝0且y＋n＝0，可求出x、y的值。 ⑥ 易错点：配方时符号错误；最值判断时a的正负搞反；忘记说明取得最值时x的值。 【常见考法】求二次三项式的最值；证明代数式恒正或恒负；利用非负数性质求字母的值。 【典例3】．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式1】．在实数范围内因式分解：________． 【变式2】．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【变式3】．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【解题技巧】 ① 核心公式：Δ＝b²－4ac（a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）。 ② 判断步骤：将方程化为一般形式 → 确定a、b、c → 计算Δ → 根据Δ的符号判断根的情况。 ③ Δ＞0 → 两个不相等的实数根；Δ＝0 → 两个相等的实数根；Δ＜0 → 没有实数根。 ④ 含字母系数时：Δ的表达式可能含字母，需配方或分类讨论判断Δ的正负。 ⑤ 技巧：判断Δ的正负时，常将Δ配方为完全平方加正数的形式，从而确定Δ＞0恒成立。 ⑥ 易错点：a、b、c的符号搞错（尤其是c为负数时）；Δ＝0时说成"一个根"（应为两个相等的实数根）；忘记a≠0的前提。 【常见考法】判断给定方程根的情况；含字母系数方程根的情况讨论；证明方程总有两个不相等的实数根。 【典例4】．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式1】．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 【变式2】．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【变式3】．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 【解题技巧】 ① 核心思路：根据根的情况，列出关于Δ的等式或不等式，求解参数。 ② 有两个不相等实数根 → Δ＞0；有两个相等实数根 → Δ＝0；没有实数根 → Δ＜0；有实数根 → Δ≥0。 ③ 解题步骤：确定a、b、c（含参数）→ 计算Δ（含参数）→ 根据根的情况列不等式/等式 → 解不等式/方程 → 注意a≠0的限制。 ④ 注意：一元二次方程必须满足a≠0，求参数后要检验二次项系数是否为0。 ⑤ 综合题型：若题目说"方程有实数根"，需分一元二次方程（Δ≥0且a≠0）和一元一次方程（a＝0）两种情况讨论。 ⑥ 易错点：只列Δ的不等式，忘记a≠0；"有实数根"和"有两个实数根"混淆（前者包括一元一次方程）；解不等式时符号出错。 【常见考法】已知根的情况求参数取值范围；已知方程有实数根求参数；证明参数取何值时根的情况成立。 【典例5】．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式1】．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【变式3】．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 题型6 公式法解一元二次方程 【解题技巧】 ① 求根公式：x＝(－b±√(b²－4ac))/(2a)（Δ＝b²－4ac≥0时）。 ② 解题步骤：化为一般形式ax²＋bx＋c＝0 → 确定a、b、c → 计算Δ → Δ≥0时代入公式 → 化简求出两个根。 ③ 确定a、b、c时注意符号：如方程2x²－3x－1＝0中，a＝2，b＝－3，c＝－1。 ④ Δ的计算：Δ＝b²－4ac，注意b是带符号的，b²一定为正。 ⑤ Δ＜0时：直接写"方程没有实数根"，不必代入公式。 ⑥ 结果化简：求出的根要化为最简形式（分母有理化、约分等）。 ⑦ 易错点：a、b、c符号搞错；公式中－b的负号漏掉；Δ计算错误；结果未化简。 【常见考法】用公式法解方程；判断公式法解题过程是否正确；含字母系数的公式法求解。 【典例6】．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【变式2】．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【变式3】．若是一元二次方程的根，则的值为___________． 1．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 4．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 5．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 8．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 12．方程的解是______． 13．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 14．我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如：．如果，则的值为_____． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 16．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 18．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 20．我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 21．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $