25.2.3　因式分解法 同步练 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，覆盖因式分解法解一元二次方程及解法选择，从基础概念理解到综合应用创新，梯度清晰，适配新授课差异化教学，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|因式分解法概念及直接应用|选择、填空、解答结合，含易错警示（如第6题解法辨析），夯实运算能力| |B层|解法选择、新定义、几何应用|新定义运算（第11题）、分类讨论（第12题），培养推理意识与创新意识| |C层|换元法解高次方程|综合应用（第15题），体现转化思想，发展创新意识与模型观念|

五　因式分解法　 【A层基础夯实】 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 1.(新视角)在解一元二次方程x2+x-6=0时,运用因式分解法将其变为(x+3)(x-2)=0,即x+3=0或x-2=0,这个过程中蕴含的数学思想是(D) A.类比 B.数形结合 C.从特殊到一般 D.转化 2.(2025·张家口模拟)已知一元二次方程的两根分别为x1=7,x2=-4;则这个方程为(A) A.(x-7)(x+4)=0 B.(x+7)(x-4)=0 C.(x+7)(x+4)=0 D.(x-7)(x-4)=0 3.嘉嘉在解方程x(x-3)=x-3时,只得到一个解是x=1,则他漏掉的解是(A) A.x=3 B.x=-3 C.x=0 D.x=-1 4.若实数x,y满足(x+y+3)(x+y-1)=0,则x+y的值为　-3或1　.  5.用因式分解法解下列一元二次方程: (1)x2=-3x; (2)x2-8x-9=0; (3)4(x+3)2=25(x-2)2; (4)(2-3x)+(3x-2)2+=0. 【解析】(1)∵x2+3x=0, ∴x(x+3)=0, 则x=0或x+3=0, 解得:x=0或x=-3; (2)x2-8x-9=0, (x-9)(x+1)=0, x-9=0或x+1=0, x1=9,x2=-1; (3)∵4(x+3)2-25(x-2)2=0, 即[2(x+3)]2-[5(x-2)]2=0, ∴[2(x+3)+5(x-2)][2(x+3)-5(x-2)]=0, 即(7x-4)(-3x+16)=0, 则7x-4=0或-3x+16=0, 解得:x=或x=; (4)∵(2-3x)+(3x-2)2+=0, ∴(3x-2)2-(3x-2)+（）2=0, ∴（3x-2-）2=0, ∴3x-2-=0, ∴x1=x2=. 知识点2　一元二次方程解法的恰当选择 6.(易错警示题·忽视隐含条件)某节数学课上,甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的个数为(B) 甲 乙 丙 两边同时除以(x-1),得x=3 整理得x2-4x=-3, 配方得x2-4x+4=1, ∴(x-2)2=1, ∴x-2=±1, ∴x1=1,x2=3 移项得x(x-1)-3(x-1)=0, ∴(x-3)(x-1)=0, ∴x-3=0或x-1=0, ∴x1=1,x2=3 A.3 B.2 C.1 D.0 7.写出一个既能用直接开平方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程:　x2-64=0(答案不唯一)　.  8.用适当的方法解方程: (1)(3x+1)2=25. (2)x2-7x-1=0. (3)(x+3)2=(1-2x)2. (4)3x2+6x-5=0. 【解析】(1)直接开平方,得3x+1=±5, ∴3x=-1±5, ∴x1=,x2=-2. (2)x2-7x-1=0, a=1,b=-7,c=-1, Δ=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-1)=53, x=, x1=,x2=. (3)(x+3)2-(1-2x)2=0, [(x+3)-(1-2x)][(x+3)+(1-2x)]=0, (3x+2)(-x+4)=0, 则3x+2=0,-x+4=0, ∴x1=-,x2=4. (4)∵3x2+6x-5=0, ∴3x2+6x=5, ∴x2+2x=, ∴x2+2x+1=, ∴(x+1)2=, ∴x+1=±, ∴x1=-1+,x2=-1-. 【B层能力进阶】 9.下列关于一元二次方程x2-x-2=0的说法中,正确的是(B) A.既可以用直接开平方法解,也可以用配方法解,还可以用公式法解 B.既可以用配方法解,也可以用公式法解,还可以用因式分解法解 C.只可以用公式法解,不可以用配方法解 D.只可以用配方法解,不可以用公式法解 10.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和-3,则下面分解因式正确的是(B) A.x2+bx+c=(x+2)(x-3) B.x2+bx+c=(x-2)(x+3) C.x2+bx+c=(x+2)(x+3) D.x2+bx+c=(x-2)(x-3) 11.(新定义)(2025·泉州期中)对于实数a,b,定义新运算,规则如下:a☆b=b2-ab,则等式6☆x=7中x的值为(B) A.1或-7 B.-1或7 C.-1 D.-7 12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若等腰三角形的边长是方程x2-6x+8=0的解,则这个三角形的周长是　10或6或12　.  13.(新趋势·开放探究)(2025·无锡期中)现有三个代数式:x2+2x+2,y2-y,.它们的值互不相同,且分别与-,0,-x中的某一个值对应相等,则x+y的值为　-2或0　.  14.设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不等的实数根,并解这个方程. ①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 【解析】∵使这个方程有两个不等的实数根, ∴Δ=b2-4ac>0,即b2>4c,∴②③均可. 选②解方程,则这个方程为x2+3x+1=0, ∴x==, ∴x1=,x2=; 选③解方程,则这个方程为x2+3x-1=0, ∴x1=,x2=. 【C层创新挑战(选做)】 15.(运算能力、创新意识)为解方程(x2-3)2-7(x2-3)+6=0,我们可以将x2-3视为一个整体,然后设x2-3=t,则原方程化为t2-7t+6=0,解此方程得t1=1,t2=6.当t=1时,x2-3=1,∴x=±2.当t=6时,x2-3=6,∴x=±3,∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3.以上方法叫做换元法解方程,达到了降次的目的,体现了转化思想. 根据以上内容,解决下列问题,并写出解答过程. (1)请用上述方法解方程:x4-5x2+4=0. (2)已知实数x,y满足(2x2+2y2)2-2(2x2+2y2)-15=0,求x2+y2的值. 【解析】(1)设x2=m, 则原方程变形为m2-5m+4=0, 因式分解得:(m-1)(m-4)=0, 解得:m=1或m=4. 当m=1时,x2=1,解得:x1=-1,x2=1; 当m=4时,x2=4,解得:x3=-2,x4=2; 故原方程的解为x1=-1,x2=1,x3=-2,x4=2. (2)设2x2+2y2=n, 则原方程变形为n2-2n-15=0, 因式分解得:(n+3)(n-5)=0, 解得:n=-3或n=5. 由题意可得2x2+2y2=n>0, 则n=5,那么2x2+2y2=5, 故x2+y2=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 五　因式分解法　 【A层基础夯实】 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 1.(新视角)在解一元二次方程x2+x-6=0时,运用因式分解法将其变为(x+3)(x-2)=0,即x+3=0或x-2=0,这个过程中蕴含的数学思想是( ) A.类比 B.数形结合 C.从特殊到一般 D.转化 2.(2025·张家口模拟)已知一元二次方程的两根分别为x1=7,x2=-4;则这个方程为( ) A.(x-7)(x+4)=0 B.(x+7)(x-4)=0 C.(x+7)(x+4)=0 D.(x-7)(x-4)=0 3.嘉嘉在解方程x(x-3)=x-3时,只得到一个解是x=1,则他漏掉的解是( ) A.x=3 B.x=-3 C.x=0 D.x=-1 4.若实数x,y满足(x+y+3)(x+y-1)=0,则x+y的值为 .  5.用因式分解法解下列一元二次方程: (1)x2=-3x; (2)x2-8x-9=0; (3)4(x+3)2=25(x-2)2; (4)(2-3x)+(3x-2)2+=0. 知识点2　一元二次方程解法的恰当选择 6.(易错警示题·忽视隐含条件)某节数学课上,甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的个数为( ) 甲 乙 丙 两边同时除以(x-1),得x=3 整理得x2-4x=-3, 配方得x2-4x+4=1, ∴(x-2)2=1, ∴x-2=±1, ∴x1=1,x2=3 移项得x(x-1)-3(x-1)=0, ∴(x-3)(x-1)=0, ∴x-3=0或x-1=0, ∴x1=1,x2=3 A.3 B.2 C.1 D.0 7.写出一个既能用直接开平方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程: .  8.用适当的方法解方程: (1)(3x+1)2=25. (2)x2-7x-1=0. (3)(x+3)2=(1-2x)2. (4)3x2+6x-5=0. 【B层能力进阶】 9.下列关于一元二次方程x2-x-2=0的说法中,正确的是( ) A.既可以用直接开平方法解,也可以用配方法解,还可以用公式法解 B.既可以用配方法解,也可以用公式法解,还可以用因式分解法解 C.只可以用公式法解,不可以用配方法解 D.只可以用配方法解,不可以用公式法解 10.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和-3,则下面分解因式正确的是( ) A.x2+bx+c=(x+2)(x-3) B.x2+bx+c=(x-2)(x+3) C.x2+bx+c=(x+2)(x+3) D.x2+bx+c=(x-2)(x-3) 11.(新定义)(2025·泉州期中)对于实数a,b,定义新运算,规则如下:a☆b=b2-ab,则等式6☆x=7中x的值为( ) A.1或-7 B.-1或7 C.-1 D.-7 12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若等腰三角形的边长是方程x2-6x+8=0的解,则这个三角形的周长是 .  13.(新趋势·开放探究)(2025·无锡期中)现有三个代数式:x2+2x+2,y2-y,.它们的值互不相同,且分别与-,0,-x中的某一个值对应相等,则x+y的值为 .  14.设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不等的实数根,并解这个方程. ①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 【C层创新挑战(选做)】 15.(运算能力、创新意识)为解方程(x2-3)2-7(x2-3)+6=0,我们可以将x2-3视为一个整体,然后设x2-3=t,则原方程化为t2-7t+6=0,解此方程得t1=1,t2=6.当t=1时,x2-3=1,∴x=±2.当t=6时,x2-3=6,∴x=±3,∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3.以上方法叫做换元法解方程,达到了降次的目的,体现了转化思想. 根据以上内容,解决下列问题,并写出解答过程. (1)请用上述方法解方程:x4-5x2+4=0. (2)已知实数x,y满足(2x2+2y2)2-2(2x2+2y2)-15=0,求x2+y2的值. 学科网（北京）股份有限公司 $