专题05 有理数运算章节15种易错题型（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算15类易错题型，以典例带变式构建从基础运算到综合应用的递进训练，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|4题型（符号/运算律/省略形式/幂概念）|突出符号规则、运算顺序等核心易错点|从加法法则到乘方概念，构建运算基础逻辑链| |概念综合|3题型（相反数倒数综合/乘方符号/错误识别）|综合概念辨析与运算纠错|概念与运算结合，强化推理严谨性| |应用拓展|8题型（简便运算/实际应用/新定义等）|结合生活情境与创新题型|从数学运算到现实问题解决，培养应用意识|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05有理数运算章节15种易错题型 (题型突破举一反三) 题型01有理数加法中的符号问题 E 典例精析 【典例1】A E 举一反王 【变式1】c 【变式2】S 【变式3】 【答案】 题型02有理数的运算建 典例精析 【典例2】C 举一反三 【变式1】 【答案】(1) 因贵 【变式2】 【答案】(1)399 (2)4.5 (3)36 (4)6 (5)110 1/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 67 【变式3】 【答案】) 5 (2)91 题型03 省略加法和括号形式 三典例精析 【典例3】B 举一反三 【变式1】D 【变式2】 【答案】 3 3+6-10 【变式3】 【答案】(116+7+9-(29+11) 2)4.4-(3.1+1.3)+(4.5-2.5) -G到引 (4)(3.4-2.4)-(0.5+3.5)+4.7 题型04相反数、绝对值、倒数综合 典例精析 【典例4】 【答案】-14或16/16或-14 举一反三 【变式1】 【答案】0 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】(1)-5 (2)-9 【分析】本题主要考查相反数，绝对值的意义，倒数及代数式的值，熟练掌握相反数，绝对值的意义，倒 数及代数式的值是解题的关键： (1)由题意易得a=4,b=3,c=-l,d=-5,然后问题可求解： (2)由(1)及abc>0可得a=-4,b=3,c=-1,然后代入进行求解即可. 【变式3】 【答案】(1)8或-8 (2)-8或-2 (3)-24 题型05有理数幂的概念理解 典例精析 【典例5】D 三举一反三 【变式1】 3 【答案】 47-0.75 6 【变式2】C 【变式3】A 题型06乘方运算中的符号规建 典例精析 【典例6】D 三举一反目 【变式1】D 【变式2】C 【变式3】 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】0 题型07含乘方的有理数混合运算 典例精析 【典例7】 【答案】(1)13 (2)-21 (3)-11 (4)-10 (5)-8 举一反三 【变式1】 【答案】(1)-8 (2)-27 (3)-2 【变式2】 【答案】(1)-5 a好 (3)-8 (4)-27 【变式3】 【答案】(1)4 (2)9 (3)30 (4)5.5-5 【变式4】 1 【答案】()2 (2)-28 (3)4 4/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型08识别有理数混合运算的错误步骤 三 典例精析 【典例8】 【答案】(1) (2) 3 15 解：原式=-8×。-(- +3)2 2 4 3 =-8×- (32 2 -12、9 16 -129 16· 举一反三 【变式1】 【答案】(1)① (2) 原式1x{ 23(2-9) 1 =-1-三×(-7) 6 ,7 =-1+ 6 6 【变式2】 【答案】(1小明：第一步，小红：第二步 (2) 解：×(8到 -16-（(-8 =128×(-8) 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-1024 【变式3】 【答案】(1)小明：一，小红：二 (2) 解：4+(2 -28 =4 题型09有理数的简便运算 E 典例精析 【典例9】B 举一反王 【变式1】 【答案】(1)580： (2)2000: (3)11.2: 1 4)7: (5)57: (6)0.3. 【变式2】 【答案】()15 20 3号 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 44 (5)19 (6)73 题型10有理数混合运算的实际应用 典例精析 【典例10】 【答案】(1)33.6元 (2)24吨 三举一反目 【变式1 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【变式2】 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为45千米 【变式3】 【答案】(13200元 10(x+400) (2) 0 (3)小庆的实付金额为3164元，小龙的实付金额为3112元 题型11有理数混合运算与新定义问题 典例精析 【典例11】 【答案】(1)1 (2)①4-20-7，②-5050 举一反三 【变式1】 【答案】(1)0，-25，-14 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)40 (3) 新运算“⊕”不满足交换律. (-4)⊕3=-4×3+2×(-4) =-12+(-8) =-20, 3⊕(-4)=3×(-4)+2×3 =-12+6 =-6, .-20≠-6 .（4)©3≠3©(-4)， ∴新运算“田”不满足交换律 【变式2】 【答案】a@②子 (2)-3 31g 【变式3】 【答案】(1)-42 (2)b=-2 2023 3)2 【变式4】 【答案】(1)-1,1 (2①a=3,b=-2,②-13 题型12用科学记数法表示较大的数 三典例精析 【典例12】 【答案】1.5516×1010 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】 【答案】4.6×104 【变式2】 【答案】 2000 35000 -2050000 【变式3】 【答案】 6 2730000 【变式4) 【答案】8/八 【变式5】 【答案】5.401×10 题型13求一个数的近似数 典例精析 【典例13】 【答案】3.14 三 举一反 【变式1】 【答案】② 【变式2】 【答案】 716658000 【变式3】 【答案】(1)0.46 (24.0 (3)132.567 (4)86 (5)1.8206 (6)4.630 题型14求近似数的精确度 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 典例精析 【典例14】 【答案】百分 举一反三 【变式1】 【答案】 3.14 十万 【变式2】 【答案】 万 36.95 37.05 【变式3】 【答案】有差别，精确到的数位不同.因为6.1×10精确到千位，而6.10×10精确到百位 题型15算“24”点 典例精析 【典例15】A 三 举一反三 【变式1】 【答案】11+10+5-2=24（答案不唯一） 【变式2】 【答案】(1①(2+3-)×6=24，②(-)×(-3)×(4+4)=24 2(4)×[2+(-3)-5]=24,（4)}-(-3)+5=24,52-(-3)-4=24,2°÷(4)×(-3)=24等（答案不唯-， 符号条件即可) 【变式3】 【答案】(1)4×(12-8+2)，(8-4-2)×12（答案不唯一） (2)① 【变式4】 【答案】(1)能：3×[7+(-7)÷(-7)]=3×8=24 3 2能：7×3+)24 10/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11/11专题05 有理数运算章节15种易错题型 （题型突破·举一反三） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 有理数加法中的符号问题 题型02 有理数的运算律 题型03 省略加法和括号形式 题型04 相反数、绝对值、倒数综合 题型05 有理数幂的概念理解 题型06 乘方运算中的符号规律 题型07 含乘方的有理数混合运算 题型08 识别有理数混合运算中的错误步骤 题型09 有理数中的简便运算 题型10 有理数混合运算的实际应用 题型11 有理数运算与新定义问题 题型12 用科学记数法表示较大的数 题型13 求一个数的近似数 题型14 求近似数的精确度 题型15 算“24”点 ▌题型01 有理数加法中的符号问题 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知 ，，则（ ） A． 且 B． 且 C． 均为正数 D． 均为负数 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． ▌题型02 有理数的运算律 【典例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算下面各题，能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． ▌题型03 省略加法和括号形式 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）把写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）将式子写成省略加号的形式__________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置： (1)；（使正负号相同的加数结合在一起） (2)；（使和为整数的加数结合在一起） (3)；（使分母相同或便于通分的加数结合在一起） (4)．（使计算简便） ▌题型04 相反数、绝对值、倒数综合 【典例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知的相反数是4，，是最大的负整数，没有倒数． (1)求的值． (2)若，求的值． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，， (1)当，求的值； (2)当，求的值； (3)若，且是的倒数，求的值． ▌题型05 有理数幂的概念理解 【典例5】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）计算（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）（1）的底数是__________，指数是__________； （2）的底数是__________，指数是__________； （3）的底数是__________，指数是__________． 【变式2】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 ▌题型06 乘方运算中的符号规律 【典例6】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）_______． ▌题型07 含乘方的有理数混合运算 【典例7】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4) 【变式4】（2025七年级上·浙江·专题练习）计算题： (1)； (2)； (3)． ▌题型08 识别有理数混合运算的错误步骤 【典例8】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式……第一步 …第二步 ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）小明在计算：时，步骤如下： 原式……① ……② ……③ ……④ (1)小明计算过程中第一次出现错误的步骤序号为______； (2)请给出正确的解题过程． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． ▌题型09 有理数的简便运算 【典例9】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) ▌题型10 有理数混合运算的实际应用 【典例10】（26-27七年级上·浙江·开学考试）新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． (1)李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ (2)王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【变式3】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元～4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额； (2)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车．以下是小庆利用两人的购买信息与助手进行交流的部分内容： … 小庆（对助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车．” 助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元．” … 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元． ▌题型11 有理数混合运算与新定义问题 【典例11】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【变式2】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ； ． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若，试计算的值． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． 【变式4】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． ▌题型12 用科学记数法表示较大的数 【典例12】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某部电影的全球总票房为155.16亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为_______． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有_________________页．（结果用科学记数法表示） 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将下列用科学记数法表示的数还原． ______； ______； ______． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州 ·期末）已知是一个7位数，则___________，原数为 ___________． 【变式4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为______个． 【变式5】（24-25七年级上·浙江温州·期末）2023年末，泰安市常住人口万人，常住人口城镇化率为，万人用科学记数法表示为____________人． ▌题型13 求一个数的近似数 【典例13】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）460年，我国古代伟大的数学家祖冲之采用“割圆术”，推算出圆周率在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果为_____． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）医生用两台不同精度的仪器分别测量小王与小李身高，现测得小王身高为，小李身高为．关于小王与小李的身高有下列说法：①小王一定比小李矮；②小王不一定比小李矮；③小王一定比小李高．你赞同的说法是_______（填序号）． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作( )元、省略亿后面的尾数，约为( )亿元． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)0.4605（精确到0.01）； (2)3.955（精确到十分位）； (3)132.5667（精确到千分位）； (4)86.4（精确到个位）； (5)1.820648（精确到小数点后第四位）； (6)4.6298（精确到千分位）． ▌题型14 求近似数的精确度 【典例14】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）用四舍五入法把精确到百分位是______，近似数精确到______位． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）由四舍五入得到的近似数精确到 _____位．由四舍五入得到的近似数37.0，它表示大于或等于 _________，而小于 _________的数． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一名航天员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为千米和千米，这两组数据之间有差别吗？如果没有，请说明理由；如果有，请说明有哪些差别． ▌题型15 算“24”点 【典例15】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【变式2】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【变式4】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）玩个“24点”游戏！从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌有且仅用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．其中红色扑克牌表示负数，黑色扑克牌表示正数，一副去掉大小王的扑克牌一半是红色（红桃和方块），一半是黑色（黑桃，草花），J，Q，K分别表示11，12，13． (1)小飞抽到了黑桃3，黑桃7，红挑7，方块7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ (2)如果抽到了黑桃3，黑桃7，草花3，草花7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ $专题05 有理数运算章节15种易错题型 （题型突破·举一反三） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 有理数加法中的符号问题 题型02 有理数的运算律 题型03 省略加法和括号形式 题型04 相反数、绝对值、倒数综合 题型05 有理数幂的概念理解 题型06 乘方运算中的符号规律 题型07 含乘方的有理数混合运算 题型08 识别有理数混合运算中的错误步骤 题型09 有理数中的简便运算 题型10 有理数混合运算的实际应用 题型11 有理数运算与新定义问题 题型12 用科学记数法表示较大的数 题型13 求一个数的近似数 题型14 求近似数的精确度 题型15 算“24”点 ▌题型01 有理数加法中的符号问题 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知 ，，则（ ） A． 且 B． 且 C． 均为正数 D． 均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的性质的运用，掌握并灵活运用有理数的性质是解答本题的关键．由可得，，为异号，由可得正数绝对值大求解即可． 【详解】解：， ，为异号， 又， 正数绝对值大， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，理解相关运算法则是解题关键．由已知条件得出，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：，， ，, ， ， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． ▌题型02 有理数的运算律 【典例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）原式 ． （2） ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算下面各题，能简便的要简便计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律和乘法运算律，熟练计算是解题的关键． （1）先算除法，再算减法即可； （2）按照从左往右的顺序计算即可； （3）利用乘法分配律即可解答； （4）利用加法交换律和结合律即可解答； （5）利用乘法分配律即可解答； （6）先算小括号，再算中括号，最后算除法即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)91 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用有理数的运算律成为解题的关键． （1）先取括号，然后再运用加法交换律即可解答； （2）先把小数化成分数、然后再化除为乘，然后再运用乘法结合律即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌题型03 省略加法和括号形式 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）把写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先把减法统一成加法，再省去括号和括号前的加号． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算中去括号和省略加号的规则．根据去括号法则（正号不变号，负号变号），将每个选项的算式去括号并省略加号后，与给定的算式比较即可． 【详解】解：选项A：，不合题意； 选项B：，不合题意； 选项C：，不合题意； 选项D：，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）将式子写成省略加号的形式__________． 【答案】 【分析】根据有理数去括号法则化简每个括号内的符号，然后写成省略加号的形式即可，注意若括号前为减号，去括号时需改变括号内各项的符号；本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握省略加法及括号的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 则原式 ； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置： (1)；（使正负号相同的加数结合在一起） (2)；（使和为整数的加数结合在一起） (3)；（使分母相同或便于通分的加数结合在一起） (4)．（使计算简便） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解：     ； （3）解：     ； （4）解： ． ▌题型04 相反数、绝对值、倒数综合 【典例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则______． 【答案】或/16或 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得：，，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】 解：，b互为相反数，c，d互为倒数，， ∴，，， 当时，； 当时，； 综上所述：或16， 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． 【答案】0 【分析】利用相反数、倒数的性质及绝对值的定义，分别得出，，，再代入代数式计算． 【详解】解：因为a与b互为相反数， 所以； 因为c与d互为倒数， 所以； 因为， 所以． 因此，． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，倒数，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知的相反数是4，，是最大的负整数，没有倒数． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相反数，绝对值的意义，倒数及代数式的值，熟练掌握相反数，绝对值的意义，倒数及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由（1）及可得，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由的相反数是4，，是最大的负整数，没有倒数，可得： ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，， (1)当，求的值； (2)当，求的值； (3)若，且是的倒数，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的定义，绝对值的非负性，平方根的概念，代数式的求值，倒数等，根据题中条件确定x，y的值是解题的关键； （1）由，，得，，再根据，确定x，y的值，再求的值即可； （2）由，，得，，再根据，确定x，y的值，再求的值即可； （3）由，，得，，再根据，且是的倒数，确定x，y，z的值，再求的值即可． 【详解】（1）解：由，，得，． ， ，或，． 当，时，； 当，时，； 综上可知，的值为或． （2）解：由，，得，． ， ， ，或，． 当，时，； 当，时，； 综上可知，的值为或． （3）解：由，，得，． ，， ，， 由是的倒数可得，， ， ， ， ． ▌题型05 有理数幂的概念理解 【典例5】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数幂，根据相同的数相加，用乘法，相同的数相乘用乘方，进行作答即可． 【详解】解：； 故选D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）（1）的底数是__________，指数是__________； （2）的底数是__________，指数是__________； （3）的底数是__________，指数是__________． 【答案】 4 4 / 3 6 2 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． （1）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （2）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （3）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可． 【详解】解：（1）的底数是4，指数是4； 故答案为：4；4； （2）的底数是，指数是3； 故答案为：；3； （3）的底数是，指数是2． 故答案为：6；2． 【变式2】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，幂的定义，熟练掌握有理数乘方运算法则，是解题的关键．根据幂的定义，有理数乘方运算法则，进行求解即可． 【详解】解：表示，而非， ，，因此， 的底数为2，指数为4，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． ▌题型06 乘方运算中的符号规律 【典例6】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解． 【详解】解：①是正数； ②，是负数； ③，是正数； ④，是负数； ⑤，是负数； ⑥，是正数， ①③⑥为正数．故选C． 【点睛】本题考查了相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算，正确的化简各数是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）_______． 【答案】0 【分析】由的偶次方等于1，的奇次方等于，，可计算，有1006个奇次方，1005个偶次方，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵的偶次方等于1，的奇次方等于， 则， 由次可知有1006个奇次方，1005个偶次方， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，利用的偶次方等于1，的奇次方等于，组合计算是解决问题的关键． ▌题型07 含乘方的有理数混合运算 【典例7】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式根据有理数减法法则变形后再运用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律的应用，灵活运用运算律是解题关键． （1）先将减法转化为加法，再按顺序计算有理数的加减，得到结果； （2）去括号、去绝对值号后，将带分数化为假分数，通分后进行计算； （3）先算乘方，再将除法转化为乘法，最后按顺序计算乘除，得出结果； （4）运用乘法分配律将括号内的每一项与相乘，再计算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数混合运算、立方根的计算和算术平方根的计算，结合绝对值计算是解题的关键． （1）利用有理数加减运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （4）利用二次根式的性质、绝对值性质和求一个数的立方根计算即可； 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式4】（2025七年级上·浙江·专题练习）计算题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键： （1）根据乘除混合运算法则进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减； （3）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ． ▌题型08 识别有理数混合运算的错误步骤 【典例8】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式……第一步 …第二步 ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 【答案】(1)一 (2) 解：原式 ． 【分析】本题考查了有理数混合运算； （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ， 由题干中的解题过程可得小明在第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）略 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）小明在计算：时，步骤如下： 原式……① ……② ……③ ……④ (1)小明计算过程中第一次出现错误的步骤序号为______； (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)①； (2) 原式 ． 【分析】本题考查了有理数的运算法则． （1）根据小明计算过程中可知第一次出现错误的步骤序号为①； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）根据“负负得正”可知小明计算过程中第一次出现错误的步骤序号为③； 故答案为：①； （2）略 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明：第一步，小红：第二步 (2) 解： 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）小明：第一步将错误地计算为，小红：第二步应该按照从左到右的顺序计算 （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小明：第一步开始出错，小红：第二步开始出错 （2）略 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明：一，小红：二 (2) 解： ． 【分析】本题考查有理数的乘除法，有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）小明的第一步计算和出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小明第一步计算和出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； 故答案为：一，二． （2）略 ▌题型09 有理数的简便运算 【典例9】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的简便运算，有理数的加减法和乘法，掌握有理数的运算律是解题的关键． 【详解】解：把变形成最合适的形式是， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)580； (2)2000； (3)； (4)； (5)57； (6)． 【分析】本题考查有理数四则混合运算，关键是运用运算定律（乘法交换律、结合律、分配律，减法性质等）和运算顺序简算． （1）按有理数的四则混合运算顺序，先除法后加减运算即可求解； （2）用乘法交换律、结合律，拆分后计算； （3）用减法性质，利用加法结合律进行计算； （4）除法转化为乘法，用乘法分配律逆运算计算； （5）用乘法分配律计算； （6）百分数化小数，按有括号的运算顺序，小括号内用乘法交换律计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． ▌题型10 有理数混合运算的实际应用 【典例10】（26-27七年级上·浙江·开学考试）新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． (1)李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ (2)王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)24吨 【分析】（1）根据题意及有理数的乘法计算即可； （2）先计算第一阶梯满额水费，然后再计算第二阶梯满额累计水费，进行比较求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴全部按第一阶梯单价收费：（元） 答：李叔叔家上月应交水费元． （2）解：第一阶梯满额水费：（元） 再计算第二阶梯满额累计水费（即用水25吨时的费用）： （元） ∵， ∴王阿姨家用水量超过15吨但不超过25吨，处于第二阶梯． 第二阶梯部分的水费：（元） 第二阶梯部分的用水量：（吨） 总用水量：（吨） 答：王阿姨家上月用水24吨． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【分析】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解． 【详解】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 【变式3】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元～4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额； (2)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车．以下是小庆利用两人的购买信息与助手进行交流的部分内容： … 小庆（对助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车．” 助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元．” … 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元． 【答案】(1)3200元 (2)元 (3)小庆的实付金额为3164元，小龙的实付金额为3112元 【分析】（1）先判断车型类别，再按“一次性降价减免”的顺序计算实付金额； （2）根据A类电动车的促销规则建立实付金额与原价的关系式，再通过代数变形求出原价的表达式； （3）设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元，根据 “实付反少52元”列方程求解． 【详解】（1）解：原价4100元属于B类电动车，先一次性降价400元，再减免500元， （元）， 答：小庆家实付金额为3200元； （2）解：A类电动车原价在3000元～4000元（含3000元，不含4000元），促销规则为：先九折，再减免400元， 设原价为y元，则：， 即， 答：这辆电动车的原价为元； （3）解：设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元， 根据题意得，， 解得 ∴小庆实付（元），小龙实付（元）． ▌题型11 有理数混合运算与新定义问题 【典例11】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 【答案】(1)1 (2)①4    0  ；② 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：①根据题意：， ， ， ， ； ②， ， ， 同理：，，； ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在学习完（有理数）后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，帮助有理数的运算，定义：一种新运算“⊕”，规则如下：，（a，b不相等） (1)___________；___________；___________． (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)，， (2)40 (3) 新运算“”不满足交换律． ， ， ， 新运算“”不满足交换律． 【分析】本题考查了新运算，有理数的混合运算． （1）根据逐一计算可得； （2）根据法则，先计算，再计算可得； （3）计算和即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，. 故答案为：，，； （2） ； （3）略 【变式2】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算” 然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ； ． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若，试计算的值． 【答案】(1)①​​​​​​​，② (2) (3) 【分析】本题考查了新概念的运算，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算列式运算即可； （2）根据新定义运算列式运算即可； （3）根据新定义运算推出，得到，，再代入运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：运算法则是：绝对值相加，同号得正，异号得负，一个数与0运算可得这个数的绝对值． ； ； 故答案为：​​​​​​​；； （2） 解：原式 ； （3）解：由， 可得：， ∴，， ∴ ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、求代数式的值，理解题中的新运算是解此题的关键． （1）根据列式计算即可； （2）根据得出方程，解方程即可； （3）根据得出，整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 解得：； （3）解：，， ． 【变式4】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）根据题意代入计算即可； （2）①由非负数的性质即可得到答案；②先求出，由得到． 此题考查新定义运算，非负数的性质、有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； ∴， 当时，． ∴， 故答案为：， （2）①∵．， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌题型12 用科学记数法表示较大的数 【典例12】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某部电影的全球总票房为155.16亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法为整数）的形式转换规则． 本题考查科学记数法，将155.16亿转换为科学记数法形式，需满足． 【详解】解：155.16亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有_________________页．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．根据科学记数法来进行求解． 【详解】解：根据题意得《辞海》的页数有： ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将下列用科学记数法表示的数还原． ______； ______； ______． 【答案】 2000 35000 【分析】本题主要考查了科学记数法，还原时，将小数点向右移动n位即可． 【详解】解：，，， 故答案为：2000，35000，． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州 ·期末）已知是一个7位数，则___________，原数为 ___________． 【答案】 6 2730000 【分析】此题主要考查了科学记数法．熟练掌握利用科学记数法表示的数与原数的关系，是解题关键． 用科学记数法表示绝对值较大数，的原数的整数位数是 ． 结合题中原数的整数位数是7，以及n与原数整数位数的关系，即可得出n的值，则原数即可得出． 【详解】∵是一个7位数， ∴，原数为 2730000． 故答案为：6，2730000． 【变式4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为______个． 【答案】8/八 【分析】本题主要考查科学记数法与原数的转化，将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数． 【详解】解：， 原数中有8个0， 故答案为：8． 【变式5】（24-25七年级上·浙江温州·期末）2023年末，泰安市常住人口万人，常住人口城镇化率为，万人用科学记数法表示为____________人． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：万， 故答案为： ▌题型13 求一个数的近似数 【典例13】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）460年，我国古代伟大的数学家祖冲之采用“割圆术”，推算出圆周率在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数．将精确到百分位，需看千分位数字，千分位为1，小于，故舍去． 【详解】解：精确到百分位即保留小数点后两位，数字的百分位是4，千分位是1，1小于5，因此舍去千分位及后的数字，得到． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）医生用两台不同精度的仪器分别测量小王与小李身高，现测得小王身高为，小李身高为．关于小王与小李的身高有下列说法：①小王一定比小李矮；②小王不一定比小李矮；③小王一定比小李高．你赞同的说法是_______（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了近似数的精确度“精确度表示一个近似数与准确数的接近程度．一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的精确度是解题关键．根据近似数的精确度的定义可得小王与小李的实际身高，即可得解． 【详解】解：设小王的实际身高为，小李的实际身高为， ∵现测得小王身高为，小李身高为， ∴，． 则①小王一定比小李矮，说法错误；例如：，， ②小王不一定比小李矮，说法正确； ③小王一定比小李高，说法错误；例如：，， 所以赞同的说法是②， 故答案为：②． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作( )元、省略亿后面的尾数，约为( )亿元． 【答案】 【分析】本题考查了大数的读写，亿以上数的写法，从最高位写起，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【详解】解：一架国产大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千元．横线上的数写作元、省略亿后面的尾数，约为亿元． 故答案为：；． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)0.4605（精确到0.01）； (2)3.955（精确到十分位）； (3)132.5667（精确到千分位）； (4)86.4（精确到个位）； (5)1.820648（精确到小数点后第四位）； (6)4.6298（精确到千分位）． 【答案】(1)0.46 (2)4.0 (3)132.567 (4)86 (5)1.8206 (6)4.630 【分析】求近似数：精确到哪一位，看下一位，采用四舍五入法；接下来，根据用四舍五入法取近似数的方法，对每一个数直接进行解答即可． 【详解】（1）解：0.4605（精确到0.01）≈0.46； （2）解： 3.955（精确到十分位）≈4.0； （3）解：132.5667（精确到千分位）≈132.567； （4）解：86.4（精确到个位）≈86； （5）解：1.820648（精确到小数点后第四位）≈1.8206； （6）解：4.6298（精确到千分位）≈4.630． 【点睛】本题主要考查运用“四舍五入”法求一个数的近以数，解题的关键是要看清精确到哪一位，就根据它的下一位上数是否满5，再进行四舍五入． ▌题型14 求近似数的精确度 【典例14】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 【答案】百分 【分析】根据近似数的精确度，近似值的最后一位数字4位于百分位，因此精确到百分位． 【详解】解：的近似值中，数字4在百分位上，故精确到百分位． 故答案为：百分． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）用四舍五入法把精确到百分位是______，近似数精确到______位． 【答案】 ； 十万 【分析】本题主要考查了小数的近似数取值，关键要看精确到的数位的下一位；以及由近似数判断精确度．运用“四舍五入”法取近似值，要看精确到哪一位，就从它的下一位运用“四舍五入”法取值，同理由近似数判断其精确度，则看近似数的最后一位数字是在原数的哪一位上就是精确到了哪一位． 【详解】解：的千分位是，应舍去， ； ∵近似数有两个有效数字3和0，最后一个有效数字0在十万位上， 精确到十万位． 故答案为：； 十万． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）由四舍五入得到的近似数精确到 _____位．由四舍五入得到的近似数37.0，它表示大于或等于 _________，而小于 _________的数． 【答案】 万 36.95 37.05 【分析】本题考查了近似数与精确度问题，由近似数精确到最后一位结合该位在原数中的位置可得前面的答案，看一个近似数的真值范围要多看一位，再结合四舍五入可得真值的范围． 【详解】解：由四舍五入得到的近似数精确到万位， 由四舍五入得到的近似数精确到十分位， 它表示大于或等于，而小于的数． 故答案为：万，十分，，． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一名航天员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为千米和千米，这两组数据之间有差别吗？如果没有，请说明理由；如果有，请说明有哪些差别． 【答案】有差别，精确到的数位不同．因为精确到千位，而精确到百位 【分析】根据两组数据的精确度进行分析即可． 【详解】解：千米和千米有差别，精确到的数位不同．精确到千位，而精确到百位． 【点睛】本题主要考查了近似数，数据的精确度，解题的关键是掌握数据的有效数字不同，则精确度也不同． ▌题型15 算“24”点 【典例15】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 【变式2】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 【变式4】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）玩个“24点”游戏！从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌有且仅用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．其中红色扑克牌表示负数，黑色扑克牌表示正数，一副去掉大小王的扑克牌一半是红色（红桃和方块），一半是黑色（黑桃，草花），J，Q，K分别表示11，12，13． (1)小飞抽到了黑桃3，黑桃7，红挑7，方块7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ (2)如果抽到了黑桃3，黑桃7，草花3，草花7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ 【答案】(1)能； (2)能；． 【分析】（1）根据规则，小飞抽到的牌，表示的数为：，根据“24点”游戏规则，进行拼凑即可； （2）抽到的牌，表示的数为：，根据“24点”游戏规则，进行拼凑即可． 【详解】（1）解：能； 由题意得：小飞抽到的牌，表示的数为：， 则：； （2）解：能； 抽到的牌，表示的数为：， 则：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．弄清“24点”游戏规则，是解题的关键． $